上海交大計算結(jié)構力學課件ppt平面問題的有限元法01

1、CHAPTER02 平面問題的有限元2.1 引言l 平面應力和平面應變問題的有限元分析l 位移有限元建立的一般方法l 三角形單元、矩形單元l 線性單元、高階單元l 軸對稱單元2.2 彈性力學平面問題基本方程平面應力和平面應變桿系結(jié)構: 長度遠大于兩個方向的尺度 變形在軸向采用了平面假設 只有一個未知函數(shù) 非桿系: 比如深梁,平面假定不再成立 圖2-1 平面應力平面應力: 厚度很小, 載荷(包括位移邊界)和平面平行,沿均勻分布,因此可以近似地認為沿向所有的應力分量為零.圖2-2 平面應變平面應變: 橫向尺度遠小于縱向尺度, 載荷(包括位移邊界)和平面平行,沿均勻分布,認為沿位移分量為零.（1）平

2、面應力: 沿厚度很薄，可以認為沿厚度均勻各個分量和無關，只和有關 板的兩個面上沒有外力， 因此兩個面上有： 也即對薄片所有點有： 并進一步有: 于是： 注意: （2）平面應變: 沿沒有位移， 只有和不為零. 但， 平面應力和平面應變的關系以下僅研究平面應力2.2 平面問題的三角形單元格式2.2.1 三角形單元任意的一個平面采用三角形單元離散節(jié)點編號單元節(jié)點位移：如果單元節(jié)點位移已知，如何給出單元內(nèi)部任意一點的位移， 其中FEM的思想：單元內(nèi)部插值2.2.2 單元分析若節(jié)點位移已知，如何求單元內(nèi)部任意一點的位移，稱為位移模式或位移函數(shù)一般取為多項式，多項式選?。河傻拖蚋?為待定在節(jié)點上應滿足節(jié)點

3、位移 依照方程組求解的行列式方法，可以求出，它應該是節(jié)點坐標和節(jié)點位移的函數(shù)。其中A是單元三角形的面積 上述相同同理可以求出其中A是單元三角形的面積 上述相同代入假定的位移表達式經(jīng)過演算：也可以同上。最后給出位移的形式為：其中： 或：或 由于N是線性函數(shù)，因此任意一點的位移就表現(xiàn)為單元節(jié)點位移（取決于）的線性組合（取決于N）或就是插值，因此N也叫做插值函數(shù)。整個有限元的核心就是構造N和N所具有的性質(zhì)（也是今后構造N所必須滿足的條件）（1） （2） 任意點插值函數(shù)的和為1 意味著如果單元三個節(jié)點位移相同（具有剛體位移），則內(nèi)部任意一點也有這個位移。從而有： 由于單元受相鄰單元的影響，必然產(chǎn)生剛體

4、位移，因此我們在構造N的時候必須使得位移模式包含剛體位移。（3） 單元與單元邊界上的位移是唯一的。保證唯一的連續(xù)性，否則單元之間出現(xiàn)間隙或重疊。（驗證留做作業(yè)）將位移、應變、應力表示為節(jié)點位移的函數(shù)。注意由于是和的線性函數(shù)，因此是常數(shù)因此我們得到的常應變單元和常應力單元。作業(yè)21 驗證上述三角形單元邊界上位移的連續(xù)性。應變是否連續(xù)？2.2.3三角形單元有限元平衡方程-最小勢能原理其中：單元的剛度矩陣：可以看出，此時為矩陣體積力等效節(jié)點載荷列陣：表面分布力等效節(jié)點載荷列陣：根據(jù)最小勢能原理： 于是得到總體平衡方程為： 或：討論：(1) 關于等效節(jié)點力概念的解釋： 外力做功=因此可以理解為假想的作

5、用在節(jié)點上的力， 其效果是做功的大小不變， 所以稱為等效節(jié)點載荷。(2) 關于單元剛度矩陣的力學含義 只考慮一個單元如果該單元產(chǎn)生的位移為： （B1）上述平衡方程有：這給出了剛矩陣各元素的力學意義。由于產(chǎn)生（B2）位移的載荷應該平衡， 于是進一步有：（3）關于對稱性由于的對稱性， 因此也對稱。（4）剛度矩陣的奇異性行列式值為零，力學解釋：外力下平衡的單元可以有任意的剛體位移， 從而解不唯一。因此要想真正給出解答，必須將位移邊界約束條件反映到平衡方程里。2.2.5 等效節(jié)點載荷列陣 （1） 體積力如果存在重力（一類體積力）的作用，則 計算后 （2）分布力 作用在垂直于軸的三角形邊界（邊長為）上。

6、討論：如果沿長度為線性分布， 則等效節(jié)點力會怎樣？該問題為作業(yè)。2.2.6 整體剛度矩陣的合成舉例說明：（1） 預備知識-關于矩陣分塊其中 .（2）單元剛度矩陣的擴維l 首先將單元剛度矩陣和單元節(jié)點位移列陣的由單元維數(shù)擴充為總體維數(shù)。l 先將每個單元的剛度陣表示為如下的形式， 其中上標為單元號，下標為單元對應的節(jié)點。后面將看到，這個下標也是該單元剛度矩陣在這個位置的元素組裝到總體剛度矩陣時的位置。l 此外還引入矩陣的分塊表示方法。上述矩陣中的各元素均為，0實際表示的是。（3）總體剛度矩陣的形成將上述4個單元的剛度矩陣相加， 即得到總體剛度矩陣。（4）對號入座一個比較簡潔的處理辦法：先給出一個整

7、體剛度矩陣,里面沒有元素，按照各個單元節(jié)點總體編號,將其放在對應的位置中。所謂的“對號入座”。（5）總體剛度矩陣的帶狀特性總體剛度矩陣的帶狀特性，（稀疏性）半帶寬 （最大號碼差+1）總剛中第r行的子矩陣，有很多位置上的元素都等于零，只有當?shù)诙€下標s等于r或者s與r同屬于一個單元的節(jié)點號碼時才不為零，這就說明，在第r行中非零子矩陣的塊數(shù)，應該等于節(jié)點r周圍直接相鄰的節(jié)點數(shù)目加一?？梢?，K的元素一般都不是填滿的，而是呈稀疏狀（帶狀）。把半個斜帶形區(qū)域中各行所具有的非零元素的最大個數(shù)叫做剛度矩陣的半帶寬（包括主對角元），用B表示，即 B = 2 (D+1)。關于帶狀問題的舉例說明矩陣的最小帶寬問題

8、：（1） 注意兩種不同排列方式的差異（2） 軟件中經(jīng)常有帶寬的最小化命令在進行節(jié)點編號時，應該注意要盡量使同一單元的相鄰節(jié)點的號碼差盡可能地小，以便最大限度地縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)省存儲、提高計算效率。 總體剛度矩陣的如下特點：（1）對稱性；（2）稀疏性；（3）帶狀；（4）奇異性。這里關于奇異性的性質(zhì)和上述單元剛度矩陣的含義是一致的, 因為現(xiàn)在得到的有限元總體平衡方程, 并沒有對結(jié)構的位移約束予以考慮. 考慮到總體剛度矩陣的前3個特點，在有限元程序中，剛度矩陣并不是直接二維存儲的， 而上按照一維存儲方式： 其中為第行剛度矩陣的半帶寬， 于是 存儲第1行的一半 存儲第2行的一半 . 2.2.7

9、整體載荷列陣的合成將每個單元的列陣維數(shù)擴充然后相加也是”對號入座” 于是2.2.8 邊界約束的處理將有限元平衡方程合成總體方程后，得到其中為總體剛度矩陣，為總體未知節(jié)點位移列向量，為總體節(jié)點力列向量。由于到目前為此平衡方程中，位移施加一個剛體位移，并不影響平衡狀態(tài)，因此需要有具體的位移邊界約束，從而使得位移位移。以下討論位移邊界條件的施加方法。假設要求滿足的位移邊界為（1） 直接代入直接將代入總體平衡方程，將原來的總體自由度為的平衡方程，變?yōu)樽杂啥葹榈钠胶夥匠?。代價： 剛度矩陣、節(jié)點位移、節(jié)點外載荷編號將打亂原有的順序，不利于程序的編制。（2） 對角元素為1如果對應的位移邊界為零，即。此時可以

10、將的元素改為1，而行和列的其他各元素為零，的第個元素也為0，從而實現(xiàn)所要求的邊界條件。注意這一方法僅適應于的情況，事實上如果，則在剛度矩陣中必須考慮和的影響，從而剛度矩陣中的行和列又不能為零。（3）對角元素乘以大數(shù)法考慮如下的有限元方程:假定該系統(tǒng)中節(jié)點位移 分別被指定為: 將K中與指定的節(jié)點位移有關的主對角元素乘上一個大數(shù)，如 ，同時將R中的對應元素換成指定的節(jié)點位移值與該大數(shù)的乘積。實際上，這種方法就是使K中相應行的修正項遠大于非修正項。這樣第一個方程為:近似地等價于: 這一方法并不改變原有的編號順序。本節(jié)內(nèi)容的要求： 單元剛度矩陣、單元等效載荷列陣 總體剛度矩陣、總體載荷列陣 邊界條件施加 理解總體剛度矩陣帶狀含義作業(yè)2.2 請說明單元剛度矩陣的近似性原因.作業(yè)2.3 證明常應變單元發(fā)生剛體位移時,單元內(nèi)不產(chǎn)