五年級奧數(shù)—數(shù)的奇偶性(一)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第 7 講奇偶性（一）整數(shù)按照能不能被 2 整除，可以分為兩類：（1）能被 2 整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如0, 2,4 , 6, 8 ,10 ,12 , 14 ,16，（2）不能被 2 整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1,所以肯定是一奇一偶。因?yàn)榕紨?shù)能被 2 整除，所以偶數(shù)可以表示為 2n 的形式，其中 n 為整數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)不能 被 2 整除，所以奇數(shù)可以表示為 2n+1 的形式，其中 n 為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些

2、重要性質(zhì)：（1） 兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差） 一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或 差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。（2） 奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù) 的和（或差）是偶數(shù)。（3） 兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都 是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是 偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（5）在能

3、整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得 奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。（6） 偶數(shù)的平方能被 4 整除；奇數(shù)的平方除以 4 的余數(shù)是 1。因?yàn)椋?n）2=4n2=4Xn2,所以（2n）2能被 4 整除；因?yàn)椋?n +1）2=4n2+4n+1=4X（n2+ n） +1,所以（2n+1）2除以 4 余 1。（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。（8） 如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù) （包括 1 和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)； 如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點(diǎn)關(guān)系

4、也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼， 成為整數(shù)問題， 便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例 1 下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+1997+1998。分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。 但如果能不計(jì)算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2），和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無關(guān)。11998 中共有 999 個奇數(shù)，999 是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。例 2 能否在下式的中填上“ +”或“-”，使得等式成立？1 2 3 口 4 口 5 6 口 7 口 8 口 9

5、=66。分析與解：等號左端共有 9 個數(shù)參加加、減運(yùn)算，其中有 5 個奇數(shù)，4 個偶數(shù)。5 個奇 數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4 個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因?yàn)椤捌鏀?shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。例 3 任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5 個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個學(xué)習(xí)必備歡迎下載新的五位數(shù)。那么，這兩個五位數(shù)的和能不能等于分析與解：假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999，則有下式:9 9 9 9 9其中組成兩個加數(shù)的 5 個數(shù)碼完全相同。因?yàn)閮蓚€個位數(shù)相加，和不會大于9+9=18，豎式中和的個位數(shù)是 9,所以個位相加沒有向上進(jìn)位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的

6、和也都等于9。所以組成兩個加數(shù)的10 個數(shù)碼之和等于9+9+9+9+9=45,是奇數(shù)。另一方面，因?yàn)榻M成兩個加數(shù)的5 個數(shù)碼完全相同，所以組成兩個加數(shù)的10 個數(shù)碼之和，等于組成第一個加數(shù)的5 個數(shù)碼之和的 2 倍，是偶數(shù)。奇數(shù)工偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999,所以假設(shè)不成立，即這兩個數(shù)的和不能等于 99999。例 4 在一次校友聚會上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。請問：握過奇數(shù)次手的人 數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手 1 次，對于乙也是握 手 1 次，兩人握手次數(shù)的和是 2。所以一群人握手，不論人數(shù)是奇數(shù)還是

7、偶數(shù)，握手的總次 數(shù)一定是偶數(shù)。把聚會的人分成兩類：A 類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B 類是握手次數(shù)是奇數(shù)的人。A 類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A 類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因?yàn)樗腥宋帐值目偞螖?shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以 B 類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。握奇數(shù)次手的那部分人即 B 類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)， 那么因?yàn)椤捌?數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)”， 所以得到 B 類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結(jié)論矛盾，所 以 B 類人即握過奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。例 5 五（2 ）班部分學(xué)生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學(xué)競賽，每張?jiān)嚲碛?0 道試題。評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一道給 3 分，不答的題，每道給

8、1 分，答錯一道扣 1 分。試問：這部分學(xué)生得分的 總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析與解：本題要求出這部分學(xué)生的總成績是不可能的，所以應(yīng)從每個人得分的情況入手分析。因?yàn)槊康李}無論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數(shù)，共有50 道題，50 個奇數(shù)相加減，結(jié)果是偶數(shù)，所以每個人的得分都是偶數(shù)。因?yàn)槿我鈧€偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這 部分學(xué)生的總分必是偶數(shù)。99999?學(xué)習(xí)必備歡迎下載練習(xí) 71. 能否從四個 3、三個 5、兩個 7 中選出 5 個數(shù)，使這 5 個數(shù)的和等于 22?2. 任意交換一個三位數(shù)的數(shù)字，得一個新的三位數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與新的三位數(shù) 相加，和是 999。這位同學(xué)的計(jì)算有沒有錯

9、？3. 甲、乙兩人做游戲。任意指定七個整數(shù)（允許有相同數(shù)），甲將這七個整數(shù)以任意的順序填在下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計(jì)算出所有同一列的兩個數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），再將這七個差相乘。游戲規(guī)則是：若積 是偶數(shù)，則甲勝；若積是奇數(shù)，則乙勝。請說明誰將獲勝。4. 某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等， 即甲給乙寫幾封信， 乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5. A 市舉辦五年級小學(xué)生 “春暉杯”數(shù)學(xué)競賽，競賽題 30 道，記分方法是：底分 15 分, 每答對一道加 5 分，不答的題，每道加 1 分，答錯一道扣 1

10、分。如果有 333 名學(xué)生參賽，那 么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。 是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。7.紅星影院有 1999 個座位，上、下午各放映一場電影。 有兩所學(xué)校各有 1999 名學(xué)生包 場看這兩場電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個座位上坐的是兩所不同學(xué)校的學(xué) 生，為什么？學(xué)習(xí)必備歡迎下載整數(shù)按照能不能被 2 整除，可以分為兩類：（1）能被 2 整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如0, 2,4 , 6, 8 ,10 , 12 , 14 ,16，（2）不能被 2 整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1, 3, 5, 7, 9, 11, 13

11、, 15, 17,整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1,所以肯定是一奇一偶。因?yàn)榕紨?shù)能被 2 整除，所以偶數(shù)可以表示為 2n 的形式，其中 n 為整數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)不能 被 2 整除，所以奇數(shù)可以表示為 2n+1 的形式，其中 n 為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：（1） 兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差） 一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或 差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。（2） 奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或

12、差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù) 的和（或差）是偶數(shù)。（3） 兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都 是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是 偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得 奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。（6） 偶數(shù)的平方能被 4 整除；奇數(shù)的平方除以 4 的余數(shù)是 1。因?yàn)椋?n）2=4n2=4Xn2,所以（2n）2能被 4 整除；因?yàn)椋?n +1）2=4n2+4n+

13、1=4X（n2+ n） +1,所以（2n+1）2除以 4 余 1。（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。（8） 如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù) （包括 1 和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載練習(xí) 71. 五個奇數(shù)的和不可能等于 22。2. 與例 3 類似，這位同學(xué)計(jì)算有錯誤。3. 甲勝。提示：七個整數(shù)中，奇、偶數(shù)的個數(shù)肯定不等，如果奇（偶）數(shù)多，那么至少有一列的 兩個數(shù)都是奇（偶）數(shù)，這列的差是偶數(shù)，七個差中有一個偶數(shù)，七個差之積必是偶數(shù)，所 以甲勝。4偶數(shù)。提示：因?yàn)檫@次活動是有來有往， 所以總的通信數(shù)是偶數(shù)。 又因?yàn)閷懥伺紨?shù)封信的人寫 信的總數(shù)是偶數(shù)，所以寫了奇數(shù)封信的人寫信的總數(shù)也是偶數(shù)。 因?yàn)橹挥信紨?shù)個奇數(shù)之和是 偶數(shù)，所以寫奇數(shù)封信的人數(shù)是偶數(shù)。5. 奇數(shù)。提示：每個同學(xué)的得分都是奇數(shù)。6. 不可能。提示：假設(shè)在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)，5