高等數(shù)學(xué)21 離散型隨機(jī)變量

1、2. 1 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量第二章第二章 隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量及其概率分布一、古典概型：一、古典概型：定義在樣本空間定義在樣本空間 上的實(shí)值函數(shù)上的實(shí)值函數(shù)X=X () 稱為稱為隨機(jī)隨機(jī)X合合格格品品次次品品1 , =( ) =0 , = 1、定義、定義2.1: :變量變量. . 常用大寫字母常用大寫字母 X , , Y , , Z等表示隨機(jī)變量等表示隨機(jī)變量, 其其取值用小寫字母取值用小寫字母 x , , y , , z等表示等表示 .在擲骰子的試驗(yàn)中在擲骰子的試驗(yàn)中, , 用用X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù), 則有則有X () = , , 其中其中 = 1, 2, 3,

2、4, 5, 6在檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量試驗(yàn)中在檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量試驗(yàn)中, , 用用X表示合格品的件數(shù)表示合格品的件數(shù), 若若 = 合格品合格品 , 次品次品 , 則有則有二、離散型隨機(jī)變量的概率分布：二、離散型隨機(jī)變量的概率分布：設(shè)設(shè)X是定義在樣本空間是定義在樣本空間 上的一個(gè)隨機(jī)變量上的一個(gè)隨機(jī)變量, , 若若X的的iip xP Xx() =1、定義、定義2.2: :其取值其取值 xi , i =1,2 , , , 記記全部可能取值只有有限個(gè)或可列無窮多個(gè)全部可能取值只有有限個(gè)或可列無窮多個(gè), , 稱稱X是是一個(gè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 . .2、定義、定義2.3: :設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量是離

3、散型隨機(jī)變量, , 其全部可能取值為其全部可能取值為i =1,2 , , , 稱稱 p(xi) , i =1,2 , 為為X的概率分布的概率分布 .X x1 x2 xi P p1 p2 pi X的的概率分布表概率分布表 或或分分 布布 律律iip x(2)() = 13、離散型隨機(jī)變量概率分布、離散型隨機(jī)變量概率分布 p ( xi ) 的性質(zhì)的性質(zhì): :(1) p ( xi ) 0, (i =1, 2 , );例例2.1從一批有從一批有10個(gè)合格品與個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中個(gè)次品的產(chǎn)品中, 一件一件一件地抽取產(chǎn)品一件地抽取產(chǎn)品, , 每次取出一件產(chǎn)品后總將一件合格每次取出一件產(chǎn)品后總將一件合

4、格品放回該批產(chǎn)品中品放回該批產(chǎn)品中, , 直到取出合格品為止直到取出合格品為止, , 求抽取次求抽取次數(shù)的分布律數(shù)的分布律 . .解解 設(shè)設(shè) X 表示表示“抽取次數(shù)抽取次數(shù)”，它的可能取值是，它的可能取值是1,2,3,4 , 而取每個(gè)值的概率為而取每個(gè)值的概率為P X10= 1 =,13P X3 1133= 2 =13 13169P X32 1272= 3 =,13 13 132197P X.321 136= 4 =13 13 13 132197因此因此X的概率分布為的概率分布為X 1 2 3 4P 10/13 33/169 72/2197 6/2197三、常見的離散型隨機(jī)變量：三、常見的離散

5、型隨機(jī)變量：把一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行把一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次次, , 每次試驗(yàn)的結(jié)果間互每次試驗(yàn)的結(jié)果間互kkn knnp kC ppk =n( ) =(1)(0,1, ) 1、二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布: :不影響不影響, , 每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果: :事件事件發(fā)生發(fā)生, , 稱這樣的試驗(yàn)為稱這樣的試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn), , 該數(shù)學(xué)模型該數(shù)學(xué)模型稱為稱為伯努利模型伯努利模型 .AA或或 定理定理2.1: :在伯努利試驗(yàn)中在伯努利試驗(yàn)中, ,若事件若事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率 P(A)= p (0p 0 ,其其中中 為為參參數(shù)數(shù)( ) .XP記記作作 例例2

6、.4某商店根據(jù)過去的銷售記錄知道某種商品某商店根據(jù)過去的銷售記錄知道某種商品= 10每每月月的的銷銷售售量量可可以以用用參參數(shù)數(shù)為為的的泊泊松松分布來描述分布來描述, , 為了以為了以 95%以上的概率保證以上的概率保證(設(shè)只在月底進(jìn)貨設(shè)只在月底進(jìn)貨)? 解解 設(shè)該商店每月銷售該商品的件數(shù)為設(shè)該商店每月銷售該商品的件數(shù)為 X ，據(jù)題意據(jù)題意, 要求要求 a 使得使得不脫銷不脫銷, 問商店在月底應(yīng)存多少件該種商品問商店在月底應(yīng)存多少件該種商品月底存貨為月底存貨為 a 件件, 則當(dāng)則當(dāng) X a 時(shí)就不會(huì)脫銷時(shí)就不會(huì)脫銷 . P Xa 0.95kakek100100.95!X由由于于 服服從從參參數(shù)

7、數(shù)為為 = =的的泊泊松松分分布布, , 上上式式即即為為10由附錄的泊松分布表知由附錄的泊松分布表知kkek14100100.9166 0.95 .!于是于是, , 這家商店只要在月底存不低于這家商店只要在月底存不低于15件件, , 就能以就能以0.95以上的概率保證下個(gè)月該種商品以上的概率保證下個(gè)月該種商品不會(huì)脫銷不會(huì)脫銷 .kkkn knnnneC ppklim(1)=! 定理定理2.2(泊松定理泊松定理): :固定的非負(fù)整數(shù)固定的非負(fù)整數(shù)k , 有有nn, np設(shè)設(shè) 是是常常數(shù)數(shù)為為任任意意正正整整數(shù)數(shù)= = , , 則則對(duì)對(duì)任任一一0 , 注注 由泊松定理由泊松定理, , 可以將二項(xiàng)

8、分布用泊松分布來近似可以將二項(xiàng)分布用泊松分布來近似: :B n pn, p, 當(dāng)當(dāng)二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布的的參參數(shù)數(shù) 很很大大 而而 很很小小時(shí)時(shí) 可可以以將將( , )np 它它用用參參數(shù)數(shù)為為 = =的的泊泊松松分分布布來來近近似似, , 即即有有kkkn knnneC ppk(1)! 50 , 0. 1np =PX210210.2381 = 0.7619 3、超幾何分布、超幾何分布: :設(shè)設(shè)N , , n , , m為正整數(shù)為正整數(shù), , n N , , m N ; ; 又設(shè)隨機(jī)變量又設(shè)隨機(jī)變量定義定義2.6: :kn kmNmnNC CXP X = k = k =n C有有分分布布律律為為 ,0,1, X則則稱稱 服服從從超超幾幾何何分分布布 . .注注 從一個(gè)有限總體中進(jìn)行不放回抽樣均會(huì)遇到超幾從一個(gè)有限總體中進(jìn)行不放回抽樣均會(huì)遇到超幾何分布何分布 . . 如如, , 從包含從包含MM個(gè)不合格品的個(gè)不合格品的N N個(gè)產(chǎn)品中不放個(gè)產(chǎn)品中不放回地隨機(jī)抽取回地隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè), , 則其中含有的不合格品的個(gè)數(shù)則其中含有