高等數(shù)學(xué)：1-8 初等函數(shù)的連續(xù)性、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1、二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性一、四則運算的連續(xù)性一、四則運算的連續(xù)性第八節(jié)第八節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性、閉初等函數(shù)的連續(xù)性、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).)0)()()(),()(),()(,)(),(1 000處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點則則處連續(xù)處連續(xù)在點在點若函數(shù)若函數(shù)定理定理xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxctgxtgx一、四則運算的連續(xù)性一、四

2、則運算的連續(xù)性例如例如,2,2sin上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù)在在同理同理 xy.,cot,arctan上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù). .),()(, ) ( )( 2 單調(diào)減少）且連續(xù)單調(diào)減少）且連續(xù)上單值、單調(diào)增加（或上單值、單調(diào)增加（或也在對應(yīng)的區(qū)間也在對應(yīng)的區(qū)間那么它的反函數(shù)那么它的反函數(shù)且連續(xù)且連續(xù)或單調(diào)減少或單調(diào)減少單調(diào)增加單調(diào)增加上單值、上單值、在區(qū)間在區(qū)間如

3、果函數(shù)如果函數(shù)定理定理xyxIxxfyyIyxIxfy 二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性).(lim)()(lim,)(,)(lim3000 xfafxfaufaxxxxxxx 則有則有連續(xù)連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)若若定理定理.)1ln(lim 10 xxx 求求例例. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解.1lim 20 xexx 求求例例. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx .)(,)

4、(,)(,)(400000也連續(xù)也連續(xù)在點在點合函數(shù)合函數(shù)則復(fù)則復(fù)連續(xù)連續(xù)在點在點而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定理定理xxxfyuuufyuxxxxu 例如例如,), 0()0,(1內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xy三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.（已經(jīng)證明）（已經(jīng)證明）;), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0( aaayx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在三、初等函數(shù)的連續(xù)

5、性三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .,), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,不同值不同值討論討論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) ) xy xaalog ,uay .log xua 定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD這些點的鄰域內(nèi)沒有定義這些

6、點的鄰域內(nèi)沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0點的鄰域內(nèi)沒有定義點的鄰域內(nèi)沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間注意注意注意注意2. 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法-代入法代入法.)()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx. 1sinlim 31 xxe求求例例1sin1 e原式原式. 1sin e.11lim 420 xxx 求求例例解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx. 0 xxax)1(loglim50 求求例例xxax)1(loglim0 .ln1a )1(log1lim0

7、 xxax 解解ealog xxax10)1(limlog 四四 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) .)( )()()()()()( ,),( 0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對于任一使得對于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對于在區(qū)間對于在區(qū)間定義定義IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y,sgn xy 1 最大值和最小值定理最大值和最小值

8、定理 定理定理7(7(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值函數(shù)一定有最大值和最小值. .).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.x)(xfy 2 1 baOy 定理定理8(8(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證明證明, , )( 上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)b

9、axf，設(shè)設(shè) )(max),(min ,xfMxfmbaba ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則有則有.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf,bax 則對則對x2 )(xfy yOx)(xfy 12yO1 .)(, 0)(000的零點的零點稱為函數(shù)稱為函數(shù)則則使使如果如果定義定義xfxxfx . ),(0)(內(nèi)至少存在一個實根內(nèi)至少存在一個實根在在即方程即方程baxf () ( ) , ( ) ( )( ( )( )0), ( , ) ( )() ( )0.f xa bf af bf af ba bf xabf定理9 零點定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號 即那末在開區(qū)

10、間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點，使2 介值定理介值定理 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點位于端點位于的兩個的兩個若連續(xù)曲線弧若連續(xù)曲線弧xxxfy () ( ) , ( ) ( ), ( , ) ( )().f xa bf aAf bBABCa bfC ab定理10 介值定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值及那末，對于 與 之間的任意一個數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點 ，使得x)(xfy 1 abyO3 2 幾何解釋幾何解釋:證明證明,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )

11、()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一個交點至少有一個交點與水平直線與水平直線連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy MBAmabx)(xfy 2x1xCOy1 2 3 32 410 (0,1) .xx 例6 證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一根證明證明, 14)(23 xxxf令令1 , 0 )( 在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即 . )1 , 0( 014 23 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xx 推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最大值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .Mm, 上連續(xù)上連續(xù) ( ) , ,( ),( ). ( , ),( ).f xa bf aaf bba bf 例7 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù) 且證明使得證明證明,)()(xxfxF 令令,)(baxF在在則則aafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即,上連續(xù)上連續(xù) . sin,.xaxbab例8 證明方程至少有一個正根 并且它不