數(shù)學(xué)在金融中的應(yīng)用研究

1、數(shù)學(xué)在金融中的應(yīng)用研究摘要：數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代科學(xué)的重要根底之一，自古以來(lái)就扮演著推動(dòng)全領(lǐng)域開(kāi)展的重要角色，其重要性不言而喻。金融領(lǐng)域作為統(tǒng)領(lǐng)世界資本要素流動(dòng)的主要領(lǐng)域，在經(jīng)濟(jì)全球化開(kāi)展的時(shí)代，贏得了社會(huì)各界的廣泛關(guān)注?；谶@一根底，淺析數(shù)學(xué)在金融中的應(yīng)用，從金融數(shù)學(xué)的概念定義出發(fā)，解析了期權(quán)定價(jià)模型，證券投資組合模型和資產(chǎn)估價(jià)模型三種經(jīng)典的金融問(wèn)題，并解釋了數(shù)學(xué)在其中扮演的強(qiáng)大作用。關(guān)鍵詞：金融數(shù)學(xué)；期權(quán)定價(jià)模型；證券投資組合模型；資產(chǎn)估價(jià)模型中圖分類(lèi)號(hào)：F83文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j ki.1672-3198.2021.06.0591引言數(shù)學(xué)是一門(mén)極為廣博的學(xué)科，其應(yīng)用普及各個(gè)

2、學(xué)科，作為一種工具性科目，往往占據(jù)了局部理論的核心位置。數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域中扎根已久，衍生出金融數(shù)學(xué)這一種具有交叉特色的，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論和方法引入金融領(lǐng)域的一門(mén)新興科目，具有重要的應(yīng)用前景。本文基于這一背景，淺析數(shù)學(xué)在金融中的應(yīng)用。2概念定義數(shù)學(xué)在金融中的應(yīng)用主要表達(dá)為金融數(shù)學(xué)這一新興學(xué)科，本門(mén)科目的重中之重是數(shù)學(xué)上常見(jiàn)的隨機(jī)分析、最優(yōu)控制和組合分析、線性規(guī)劃等等，其核心問(wèn)題是不確定條件下的最優(yōu)投資策略的選擇理論和資產(chǎn)的定價(jià)理論等等，多年以來(lái)，在實(shí)際金融市場(chǎng)中，為金融工具創(chuàng)新和金融運(yùn)作的穩(wěn)定產(chǎn)生著直接的影響和推動(dòng)性，得到了廣泛應(yīng)用。數(shù)學(xué)在金融中的應(yīng)用，主要與諸如心理投資學(xué)等等的純理論分析相背離，

3、具有鮮明的量化特征，或者說(shuō)，其所著力于解決的問(wèn)題主要是在多種不確定條件下選擇多組合證券，分析證券組合的最優(yōu)策略，進(jìn)行組合投資資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題。這一類(lèi)問(wèn)題的共同特征，就是需要基于大量計(jì)算過(guò)程，完善市場(chǎng)選擇的敏感性和有效性。在此之中，必須要引述出金融活動(dòng)的三大重要概念。其一，套利行為。套利，即在兩個(gè)及以上的細(xì)分市場(chǎng)中，用有利的價(jià)格買(mǎi)進(jìn)金融資產(chǎn)，并在合理的時(shí)機(jī)進(jìn)行賣(mài)出以賺取其中差值的金融活動(dòng)行為。買(mǎi)入和賣(mài)出的過(guò)程往往是在不同的細(xì)分市場(chǎng)或者不同的金融產(chǎn)品之間發(fā)生的，這需要一系列精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)工具的利用，來(lái)把握套利行為的時(shí)機(jī)。其二，最優(yōu)理論。最優(yōu)理論的主要核心是收益最優(yōu)化，這是金融活動(dòng)的主要出發(fā)點(diǎn)之一，在此之中

4、，對(duì)金融資產(chǎn)進(jìn)行合理定價(jià)具有重要意義，利用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行復(fù)雜的多層次定價(jià)，包含債券和證券組合等等。其三，均衡理論。諸多金融學(xué)家通過(guò)數(shù)學(xué)工具對(duì)金融方面的供需平衡進(jìn)行綜合分析。毫無(wú)疑問(wèn)，金融行業(yè)的最核心局部是貨幣流通過(guò)程，這其中所顯示出的顯性和隱性資金流，需要依靠于大量的數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)加以完整衡量。同時(shí)，金融問(wèn)題由于具有很大程度的不確定性，對(duì)一系列數(shù)學(xué)層面的隨機(jī)控制機(jī)理有著深厚的關(guān)系。另外，對(duì)金融經(jīng)濟(jì)中存在的風(fēng)險(xiǎn)和投入進(jìn)行估算也具有較大的優(yōu)越性，上述機(jī)制共同促進(jìn)了數(shù)學(xué)工具在金融領(lǐng)域的應(yīng)用和開(kāi)展。3應(yīng)用解析數(shù)學(xué)在金融學(xué)科中的應(yīng)用較為廣泛，但相比于純粹的數(shù)學(xué)領(lǐng)域而言，金融類(lèi)數(shù)學(xué)方法與常規(guī)的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論有著無(wú)法

5、分割的關(guān)系，兩者互相影響，共同作用。利用數(shù)學(xué)進(jìn)行量化操作來(lái)支持一般經(jīng)濟(jì)學(xué)模型框架，是業(yè)界最常用的方法之一。究其根源，數(shù)學(xué)的存在可以幫助金融操作人員更加直觀的對(duì)金融問(wèn)題進(jìn)行分析研究。其中包括諸多精細(xì)化表達(dá)，主要以各類(lèi)框架為主。3.1期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)是金融領(lǐng)域中一種常用的金融衍生工具，其代表了一種特定合約，這一類(lèi)合約的持有人能夠在未來(lái)的某一個(gè)特定日期或其之前對(duì)合約固定的金融資產(chǎn)以約定的價(jià)格買(mǎi)入或者賣(mài)出。這類(lèi)合約由于具有鮮明的風(fēng)險(xiǎn)躲避作用，在實(shí)際金融領(lǐng)域中往往能夠發(fā)揮重要的作用，基于此考慮，建立一個(gè)對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)的數(shù)學(xué)模型顯得至關(guān)重要。在此細(xì)分領(lǐng)域，最重要的研究成果就是Black-Scholes期權(quán)

6、定價(jià)模型。此模型自1997年提出以來(lái)，已經(jīng)在實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中發(fā)揮了重要作用。首先，從本模型的假設(shè)開(kāi)始。對(duì)于一個(gè)經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型框架而言，一共具有七個(gè)主要假設(shè)，包括如下：其一，市場(chǎng)的股票定價(jià)行為符合類(lèi)似與對(duì)數(shù)正態(tài)分布的模式；其二，在期權(quán)合約的有效期內(nèi)，整個(gè)金融體系具有固定的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和金融資產(chǎn)收益變量；其三，在交易過(guò)程中的摩擦本錢(qián)忽略不計(jì)，即市場(chǎng)滿足無(wú)摩擦特征，證券具有可分割特征；其四，期權(quán)是在到期前不可使用的歐式期權(quán)；其五，金融資產(chǎn)在期權(quán)到期之前無(wú)收益；其六，投資者不可以進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利；最后，證券交易是持續(xù)的?；谌缟峡紤]，經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型

7、以公式的形式顯示如下：在本公式中，C為期權(quán)合約的初始價(jià)格，L為期權(quán)所含義的交割價(jià)格，S為金融資產(chǎn)在交易時(shí)刻的現(xiàn)價(jià)，T代表了有效期，另外，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，2為年度化方差，N那么為正態(tài)分布變量的分布函數(shù)。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型一經(jīng)提出，就獲得了當(dāng)時(shí)的世界最大期權(quán)交易商芝加哥期權(quán)交易所的關(guān)注，很快投入使用。這一基于數(shù)學(xué)方法構(gòu)建的創(chuàng)新性金融模型在實(shí)際層面上發(fā)揮了極為重要的作用，也昭示著數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域中的越來(lái)越多的廣泛關(guān)注。3.2證券投資組合模型相比于期權(quán)定價(jià)模型，在證券投資方向的證券投資組合模型與實(shí)際金融市場(chǎng)的影響更大，對(duì)此的研究中，具有跨時(shí)代意義的Markowitz投資組合模型必須被

8、提起。證券投資行為本質(zhì)上是一種財(cái)富的追求行為，這一過(guò)程中包含這固定收益型證券無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，和風(fēng)險(xiǎn)型證券。作為一個(gè)穩(wěn)健的投資者，必須將這兩者以一種適宜的比例加以組合，從而實(shí)現(xiàn)給定期望風(fēng)險(xiǎn)水平下的期望收益最大化，或者實(shí)現(xiàn)給定期望收益水平下的風(fēng)險(xiǎn)最小化。首先從Markowitz投資組合模型的假設(shè)開(kāi)始，在這一理論中，主要有三點(diǎn)假設(shè)：其一，股票市場(chǎng)上的投資者具有躲避風(fēng)險(xiǎn)的趨向，在追求期望收益水平最大化的情況下也追求風(fēng)險(xiǎn)水平的最小化；其二，投資組合選取的主要考察參數(shù)是收益率的期望值與方差；最后，每個(gè)投資者都在單一的投資期限里。Markowitz投資組合模型以公式列示如下：其中，rp代表組合收益，ri和rj分別代

9、表第i和第j種資產(chǎn)的收益，wi和wj分別代表第i和第j種資產(chǎn)的權(quán)重，2rp為整體的組合風(fēng)險(xiǎn)，covri，rj為協(xié)方差。這一模型代表了數(shù)學(xué)上經(jīng)典的二次規(guī)劃問(wèn)題，對(duì)其的求解必須基于微分學(xué)中常見(jiàn)的拉格朗日方法。根據(jù)這一模型，構(gòu)建一個(gè)合理的證券投資組合，必須在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平下，形成投資組合。是一個(gè)完整的最優(yōu)化思想。3.3資產(chǎn)估價(jià)模型相比于另外兩種主要理論，資產(chǎn)估價(jià)理論顯得更加簡(jiǎn)單清晰。這一模型的提出者是美國(guó)的著名數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家Fischer，這一模型的最根本假設(shè)為，對(duì)于任意一種金融資產(chǎn)而言，當(dāng)前資產(chǎn)的價(jià)值必須等于維持其現(xiàn)金流合理運(yùn)行的現(xiàn)金流貼現(xiàn)值組合，這一理論的價(jià)值在于其是目前主流所有資產(chǎn)估價(jià)模型的根底

10、，這種根據(jù)資金的時(shí)效性和考慮了貨幣時(shí)間價(jià)值的理論在諸多復(fù)雜理論中間具有不可忽視的重要意義。最常見(jiàn)的資產(chǎn)估價(jià)模型以公式列示如下：其中，PV代表現(xiàn)值總額，n為金融資產(chǎn)期數(shù)，Ct為t時(shí)刻的現(xiàn)金流量，Rt為貼現(xiàn)率。這一公式的絕對(duì)作用在于，成認(rèn)了現(xiàn)金流分析在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要作用，為所有接下來(lái)的證券投資價(jià)值的資本變化估算奠定了適宜的根底。4結(jié)論數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域中的價(jià)值是無(wú)法估量的，無(wú)論是復(fù)雜的研究方法，抑或是解決相關(guān)模型和計(jì)算各類(lèi)參數(shù)的手段，數(shù)學(xué)都能夠在金融領(lǐng)域中扮演著至關(guān)重要的角色。在現(xiàn)今金融領(lǐng)域不斷開(kāi)展的根底下，數(shù)據(jù)量的膨脹速度遠(yuǎn)超我們的想象，對(duì)金融數(shù)據(jù)的合理化處理必須依賴于更加復(fù)雜的模型和計(jì)算效果，所以，利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)從根本上提升相關(guān)模型的合理程度，開(kāi)始成了量化思想指導(dǎo)下新時(shí)代金融業(yè)的更深層次拓展，全領(lǐng)域?qū)τ诳缃缛瞬诺男枨笠沧兊迷絹?lái)越大。參考文獻(xiàn)【1】黃耀.金融數(shù)學(xué)中的