橢圓及其標準方程-（課堂PPT）

1、1（一）創(chuàng)設(shè)情境、導入新課（一）創(chuàng)設(shè)情境、導入新課2天體的運行天體的運行345生活中的生活中的橢圓橢圓（二）突出認知（二）突出認知 、建構(gòu)概念、建構(gòu)概念6如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的橢橢圓圓一一橢圓的畫法橢圓的畫法7F1F28動畫演示（三）注重本質(zhì)（三）注重本質(zhì) 、理解概念、理解概念9一、橢圓的定義：一、橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù)（大于（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做的點的軌跡叫做橢圓橢圓，這兩個定點叫做這兩個定點叫做橢圓的

2、焦點橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做兩焦點的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距.問題問題1：當常數(shù)等于當常數(shù)等于|F1F2|時時，點，點M的軌跡的軌跡 是什么？是什么？問題問題2：當常數(shù)小于當常數(shù)小于|F1F2|時時，點，點M的軌跡的軌跡 是什么？是什么？線段線段F1F2軌跡不存在軌跡不存在10繩長繩長等于等于兩定點間兩定點間距離即距離即2a=2c 時時,繩長繩長小于小于兩定點間兩定點間距離即距離即2a2c（？）；（？）；4、如果如果2a = 2c，則，則M點的點的軌跡是線段軌跡是線段F1F2.5、如果如果2a 2c)的動的動點點M的軌跡方程。的軌跡方程。 解：以解：以F1F2所在直線為所在直線為X軸，

3、軸， F1F2 的中的中點為原點建立平面直角坐標系，則焦點點為原點建立平面直角坐標系，則焦點F1、F2的坐標分別為的坐標分別為(-c,0)、 (c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y) 設(shè)設(shè)M（x,y)為所求軌跡上的任意一點，為所求軌跡上的任意一點，則則:|MF1|+ |MF2|=2aaycxycx2)()(:2222即15OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊平方得：兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因為因為2a2c，即，即ac，所以，所以a2-c20，令，令a2-c2=b2

4、，其中，其中b0，代入上式可得：，代入上式可得：12222byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)( :ycxycxaaycx兩邊平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時除以兩邊同時除以a2b2得：得：(ab0)這個方程叫做這個方程叫做橢圓的標準方程，橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的它所表示的橢圓的焦點在焦點在x 軸上。軸上。16aA1yOF1F2xB2B1A2cb三、三、橢圓方程的幾何意義：橢圓方程的幾何意義：xyo1F2F0 12222babyax17如果橢圓的如果橢圓的焦點在焦點在y軸上軸上，焦點是焦點是F1(o,-c)、F2

5、(0,c)方程是怎樣呢？方程是怎樣呢？橢圓的第二種形式橢圓的第二種形式：1oFyx2FM0 12222babxay180 12222babyax 0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點點F( (c，0)0)在軸上在軸上F(0(0，c) )在軸上在軸上a,b,c之間的關(guān)系之間的關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 義義12yoFFMx1oFyx2FM四、兩類標準方程的對照表：注注: :哪個分母大，焦點就在相應(yīng)的哪條坐標軸上！哪個分母大，焦點就在相應(yīng)的哪條坐標軸上！19OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(

6、0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay橢圓的標準方程的再認識：（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（3）橢圓的標準方程中三個參數(shù)）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足滿足a2=b2+c2。（4）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的的值。值。（2）橢圓的標準方程中，）橢圓的標準方程中，x2與與y2的分母哪一個大，則焦點在哪的分母哪一個大，則焦點在哪 一個軸上。一個軸上。20例例 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程寫出適合下列條件的橢圓的標準方

7、程 (1) a =4，b=1，焦點在，焦點在 x 軸軸上上； (2) a =4，b=1，焦點在坐標軸上；，焦點在坐標軸上； 11622 yx11622yx11622yx或、21例例2、求滿足下列條件的橢圓的標準方程：、求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩焦點的坐標分別是（兩焦點的坐標分別是（-4，0）、（）、（4，0），）， 橢圓上一點橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于到兩焦點距離之和等于10。(2)兩焦點的坐標分別是（兩焦點的坐標分別是（-2，0）、（）、（2，0），）， 且橢圓經(jīng)過點且橢圓經(jīng)過點P 。)23,25(22(1)兩焦點的坐標分別是（兩焦點的坐標分別是（-4，0）、（）、（4，

8、0），橢），橢圓上一點圓上一點P到兩焦點距離之和等于到兩焦點距離之和等于10。解：因為橢圓的焦點在解：因為橢圓的焦點在X軸上，所以可設(shè)它的方程軸上，所以可設(shè)它的方程 為：為：)0(12222babyax2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以橢圓的標準方程為：所以橢圓的標準方程為：192522yx23(2)兩焦點的坐標分別是（兩焦點的坐標分別是（-2，0）、（）、（2，0），且），且 橢圓經(jīng)過點橢圓經(jīng)過點P 。解：因為橢圓的焦點在解：因為橢圓的焦點在X軸上，所以可設(shè)它的方程為：軸上，所以可設(shè)它的方程為：)0(12222babyax由橢圓的定義可知：又因又因

9、 c=2，所以橢圓的標準方程為：所以橢圓的標準方程為：1 16 6y y1 10 0 x x2 22 2)23,25(102)23()225()23()225(22222a1 10 0所所以以a a 故故 b2=a2-c2=10-22=624課堂練習2：11625)1(22yx11)5(2222mymx11616)3(22yx0225259)4(22yx123)2(22yx11624)6(22kykx1.口答：下列方程哪些表示橢圓？口答：下列方程哪些表示橢圓？22,ba 若是若是,則判定其焦點在何軸？則判定其焦點在何軸？并指明并指明 ，寫出焦點坐標，寫出焦點坐標.?251、方程、方程 ，分別求

10、方程滿足下列條件，分別求方程滿足下列條件的的m的取值范圍：的取值范圍： 表示一個圓；表示一個圓；1m16ym25x2229 mmmmm1625016025析：方程表示圓需要滿足的條件：析：方程表示圓需要滿足的條件：261、方程、方程 ，分別求方程滿足下列條件，分別求方程滿足下列條件的的m的取值范圍：的取值范圍：表示一個圓；表示一個圓；表示一個橢圓表示一個橢圓；1m16ym25x2229)1(m292516mm且mmmm1625016025析：方程表示一個橢圓需要滿足的條件：析：方程表示一個橢圓需要滿足的條件：271、方程、方程 ，分別求方程滿足下列條件，分別求方程滿足下列條件的的m的取值范圍：

11、的取值范圍：表示一個圓；表示一個圓；表示一個橢圓表示一個橢圓；1m16ym25x2229)1(m292516mm且mmmm1625016025析：方程表示一個橢圓需要滿足的條件：析：方程表示一個橢圓需要滿足的條件：281、方程、方程 ，分別求方程滿足下列條件，分別求方程滿足下列條件的的m的取值范圍：的取值范圍：表示一個圓；表示一個圓；表示一個橢圓；表示一個橢圓；表示焦點在表示焦點在x軸上的橢圓。軸上的橢圓。1m16ym25x2229)1(m292516)2(mm且2916m析：表示焦點在析：表示焦點在x軸上的橢圓需要滿足的條件：軸上的橢圓需要滿足的條件：mmmm162501602529_,1A

12、22軸上的充要條件是表示焦點在表示橢圓的充要條件是思考：方程yByx解題感悟：解題感悟： 方程表示橢圓時要看清楚限方程表示橢圓時要看清楚限制條件，焦點在哪個軸上。制條件，焦點在哪個軸上。0, 0, 0BABABA30練習練習3：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲線是焦點在表示的曲線是焦點在y軸軸上的橢圓，求上的橢圓，求k的取值范圍。的取值范圍。1141142222kyxkyx得解：由方程表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓41k1解之得：0k4k的取值范圍為0k|BC|,點點A的軌跡是以的軌跡是以B C為焦點的橢為焦點的橢圓圓(除去與除去與x軸的交點軸的交點).且且2a=12,2c=8,及及a

13、2=b2+c2得得a2=36,b2=20.故點故點A的軌跡方程是的軌跡方程是 (y0).2213620 xy例例4:已知已知ABC的一邊的一邊BC長為長為8,周長為周長為20,求頂點求頂點A的的軌跡方程軌跡方程.解解:以以BC邊所在直線為邊所在直線為x軸軸,BC中點為原點中點為原點,建立如右圖所示建立如右圖所示的直角坐標系的直角坐標系,則則B C兩點的坐標分別為兩點的坐標分別為(-4,0) (4,0).定義法定義法33練習：已知A(1,0),B(1,0)，線段CA、AB、CB的長成等差數(shù)列，則點C的軌跡方程是_.x2/4+y2/3=134橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程(2)352222+=1

14、 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上222=+abc平面內(nèi)到兩個定點平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡）的點的軌跡12- , 0 , 0，F(xiàn)cFc120,-0,，F(xiàn)cFc標準方程標準方程不不 同同 點點相相 同同 點點圖圖 形形焦點坐標焦點坐標定定 義義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系焦點位置的判斷焦點位置的判斷xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO復習舊知36 例1求焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點 的橢圓的標準方程。) 1 , 32(),2, 3(BAx2/15+y

15、2/5=1分析一：當焦點在x軸上時，設(shè)方程x2/a2+y2/b2=1 當焦點在x軸上時，設(shè)方程x2/b2+y2/a2=1分析二：設(shè)方程mx2+ny2=1(m0,n0)37 (2)求與橢圓x2/5y2/41有公共焦點，且過點(3,0)的橢圓的標準方程。 x2/9y2/81 (3)已知橢圓x22y2a2(a0)的左焦點到直線l：xy20的距離為 ，求橢圓方程。 x2/8y2/412211222222cmymxymycmxx軸上可以設(shè)方程為若知橢圓的焦點在軸上可以設(shè)方程為若知橢圓的焦點在38 例例2、在圓上任取一點、在圓上任取一點P，過點，過點P作作x軸軸的垂線段的垂線段PD,D為垂足。當點為垂足。

16、當點P在圓上運動時，線在圓上運動時，線段段PD的中點的中點M的軌跡是什么？為什么？的軌跡是什么？為什么？422 yxoxyPD相關(guān)點法相關(guān)點法(轉(zhuǎn)移法轉(zhuǎn)移法):即利用中間變量求曲線方程即利用中間變量求曲線方程.39的軌跡。求點上，并且在點垂線段軸作向從這個圓上任意一點變式：已知圓MMPPMPPMPPxPyx, 2, 922yxoPPM2219xy40P的最大值）（的面積）三角形（求若是兩個焦點上的一點，是橢圓：例212102121222160,1641003PFPFPFFPFFFFyxP41100100)2(22010)2(3364sin2132561443201443)(1441260cos

17、2-) 1 (2021212212121212121212121221221212221202122212121的最大值為”成立時“當且僅當，又中由余弦定理知在，解：由橢圓定義知PFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFaPFFPFPFSPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFFPFPF2tan1221PFFbPFFS焦點三角形面積公式：42的最大值。）求（面積，求）若（橢圓上任一點。是的兩個焦點，是橢圓、已知的周長。構(gòu)成與橢圓的另一個焦點、兩點，求、的直線與橢圓交于的一個焦點、過橢圓練習211212221,22122PFPF2PFF6PFF1P, 164100FF2ABFFBABAF141;yxyx43的軌跡方程。，求點之積是，且他們的斜率相交于點直線）