20150318數(shù)值分析學生版作業(yè)

1、2014-2015(2)計算機與信息工程學院數(shù)值分析作業(yè)計科專業(yè)_級_班 姓名:_學號:_第一章 緒論一、單項選擇題1.用3.1415作為 的近似值時具有（ ）位有效數(shù)字。（A）3 （B）4 （C） 5 （D）62.已知數(shù)x1=721 x2=0.721 x3=0.700 x4=7*10-2是由四舍五入得到的，則它們的有效數(shù)字的位數(shù)應分別為( )。(A) 3，3，3，1 ( B) 3，3，3，3 (C) 3，3，1，1 ( D) 3，3，3，2二、填空題1.在一些數(shù)值計算中,對數(shù)據(jù)只能取有限位表示,如 ,這時所產(chǎn)生的誤差稱為_誤差.（填誤差的類型）2. 為盡量避免有效數(shù)字的嚴重損失，當時，應將表

2、達式改寫為_以保證計算結(jié)果比較精確.3.在數(shù)值計算中，通常取 ，此時產(chǎn)生的誤差為_誤差（填誤差的類型）.4.設x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有_位有效數(shù)字。三、計算題1、（本題5分）試確定作為的近似值具有幾位有效數(shù)字，并確定其相對誤差限。第二章 插值法一、單項選擇題1. 通過點 的拉格朗日插值基函數(shù)滿足 ( ).(A ) ( B) (C ) (D) 2. 是給定的互異節(jié)點，是以它們?yōu)椴逯倒?jié)點的插值多項式，則是一個( ).(A) n+1次多項式 (B) n次多項式 (C) 次數(shù)小于n的多項式 (D) 次數(shù)不超過n的多項式二、填空題1. 設有節(jié)點 ，其對應的函數(shù) 的值分別為

3、，則二次拉格朗日插值基函數(shù) .2.已知則.2. 已知 那么以1，2為節(jié)點的拉格朗日線性插值多項式為_.3. 當x=1，-1，2時，對應的函數(shù)值分別為f(-1)=0，f(0)=2，f(4)=10，則f(x)的拉格朗日插值多項式是 .4. 設 ，則關(guān)于節(jié)點 的二階向前差分為_.5. 當插值節(jié)點為等距分布時，若所求節(jié)點靠近首節(jié)點，應該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的 _，若所求節(jié)點靠近尾節(jié)點，應該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的 _；如果要估計結(jié)果的舍入誤差，應該選用插值公式中的 _.6. 設,則的二次牛頓插值多項式為_. 7. 設為的n次拉格朗日插值多項式，則其插值余項為_.8. 已知則 ,_.9. 設則

4、差商.10. 設是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，則_； 。三、計算題1 給定數(shù)據(jù) 0235 1-3-42（1）寫出 的3次Lagrange插值多項式 ；（2）寫出 的3次Newton插值多項式 .2. 已知-1245-2457(1) 用拉格朗日插值法求的三次插值多項式；(2) 求x， 使=0。3. 給定數(shù)據(jù)求三次拉格朗日插值多項式.4.已知函數(shù)在如下節(jié)點處的函數(shù)值-10121430（1） 建立以上數(shù)據(jù)的差分表；（2） 根據(jù)后三個節(jié)點建立二階牛頓后插公式，并計算的近似值；5.已知y=，=4，=9，用線性插值求的近似值。6.已知x1234F(x)021512計算三階差商f1,3,4,7。7.

5、已知 1347f()021512求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項式。8.設為次多項式，為個互異點，為的次插值多項式。若，試證。第三章 函數(shù)逼近于計算一、填空題1.用二次多項式 其中 是待定參數(shù)，擬合點 ，那么參數(shù) 是使誤差平方和_取最小值的解。2.已知數(shù)據(jù)對 ,用直線擬合這 個點,則參數(shù) 滿足的法方程組是_.二、計算題1.已知一組實驗數(shù)據(jù)如下 12345 44.5688.5求它的擬合曲線（直線）.2、已知一組試驗數(shù)據(jù)如下20 40 60 80 1004.35 7.55 10.40 13.80 16.80求它的擬合曲線（直線）。3求在0,1上求關(guān)于的一次最佳平方逼近多項式. 4.已知如下數(shù)據(jù)表

6、，試用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多項式。x-1012y12506. 求在區(qū)間1/4,1上的關(guān)于權(quán)函數(shù)的一次最佳平方逼近多項式.7. 求在區(qū)間上的最佳二次逼近多項式.8. 已知-2-101242135求的形如的二次擬合曲線，并求的近似值。9.已知n+1個數(shù)據(jù)點，請用多種方法建立這些數(shù)據(jù)點之間的函數(shù)關(guān)系，并說明各種函數(shù)的適用條件。10.用最小二乘法解下列超定線性方程組：11.求在0，1上的一次平方逼近多項式。第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分一、單項選擇題1.已知求積公式 ，則（ ）. 2.已知 時牛頓-科特斯求積公式，科特斯系數(shù) ，那么（ ）.(A) (B) (C) (D) 3. 已知節(jié)點 插值型

7、兩點求導公式是（ ）. 4.求積分公式 是( )次代數(shù)精度.( A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二、填空題1.求積分公式 具有_次代數(shù)精度.2.設求積公式 ，若對_的多項式積分公式精確成立，而至少有一個 次多項式不成立，則稱該求積公式具有 次代數(shù)精度.3.已知 時，科特斯系數(shù) ，那么 .4. 求初值問題近似解的梯形公式是_.5. n個求積節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為_次，n個求積節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度為 .6. 5個節(jié)點的牛頓-柯特斯公式代數(shù)精度是 .7.個節(jié)點的Gauss型求積公式具有_次的代數(shù)精度.8.為使求積公式的代數(shù)精度盡量高，應使 ， ， ，此時公式具有

8、次的代數(shù)精度。9.數(shù)值微分公式的代數(shù)精度為_.三、計算題1. 試用的牛頓-科特斯求積公式計算定積分 .2.已知(1)推導以這三點為求積節(jié)點在上的插值型求積公式；(2)指明求積公式所具有的代數(shù)精度；(3)用所求公式計算.3. 試求使求積公式的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度。4.確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度. 5.已知的函數(shù)值如下：1.82.02.22.42.63.14.46.08.01.00用復合梯形公式和復合辛普森公式求的近似值. 6.已知的函數(shù)值如下表 用復合梯形公式和復合Simpson公式求的近似值.第五章 常微分方程數(shù)值解法一、單項

9、選擇題1.解常微分方程初值問題的平均形式的改進歐拉法公式是,那么分別為( ). 2. 求解常微分方程的二階R-K方法的局部截斷誤差為( ). .3.解微分方程初值問題的方法，（ ）的局部截斷誤差為.(A) 歐拉法 (B) 改進歐拉法(C) 三階龍格庫塔法 (D) 四階龍格庫塔法二、計算題1. 寫出四階經(jīng)典龍格-庫塔法求解初值問題 的計算公式,并取步長 ,計算 的近似值,小數(shù)點后至少保留4位.2.用Euler方法求解初值問題，取在區(qū)間計算,結(jié)果保留到小數(shù)點后4位.3.初值問題 有精確，試證明： 用Euler法以為步長所得近似解的整體截斷誤差為4.寫出用四階經(jīng)典的龍格庫塔方法求解下列初值問題的計算

10、公式：（無需計算）, ,5.用改進歐拉法求解 ，取兩位小數(shù)。6. 取步長，用梯形法解常微分方程初值問題 7.寫出前進歐拉公式、后退歐拉公式，并由這兩個公式構(gòu)造一個預估校正公式求解下列常微分方程的數(shù)值解。第六章 方程求根一、單項選擇題1. 求解方程,若可以表示成,則用簡單迭代法求根,那么滿足( ),近似根序列,一定收斂. 2.下列說法不正確的是( ). (A) 二分法不能用于求函數(shù)的復根. (B) 方程求根的迭代解法的迭代函數(shù)為,則迭代收斂的充分條件是 . (C) 用高斯消元法求解線性方程組 時,在沒有舍入誤差的情況下得到的都是精確解. (D) 如果插值節(jié)點相同,在滿足插值條件下用不同方法建立的

11、插值公式是等價的.3.為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是( )。 A. B. C. D. 4. 求解方程在(1, 2)內(nèi)根的下列迭代法(1) (2) (3) (4) 中，收斂的迭代法是（ ）.A(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)二、填空題1.牛頓下山法的下山條件為_.2.因為方程在區(qū)間上滿足_, 所以在區(qū)間內(nèi)有根。3求方程 的近似根，用迭代公式，取初始值 ，那么 .4.已知方程 在區(qū)間 內(nèi)有根,構(gòu)造方程的一種迭代格式為,則該迭代法_收斂的(填是或不) .5.設可微,求

12、方程根的牛頓迭代格式是_.6.用牛頓下山法求解方程根的迭代公式是_，下山條件是 。7.在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導數(shù)不變號，則初始點x0的選取依據(jù)為 。8.使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、 迭代計算。9. 求方程根的Newton迭代格式為 。10.迭代過程收斂的一個充分條件是迭代函數(shù)滿足_。11. 設可微,求方程根的牛頓迭代格式是_。12. 用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根，迭代進行二步后根所在區(qū)間為_.13. 用二分法求(x)=0(xa,b )根的條件是_.三、計算題1.用Newton迭代法求方程的實根，要求.2.用牛頓法求在附近的

13、根，根的準確值，要求計算結(jié)果準確到四位有效數(shù)字3.設a為常數(shù)，建立計算的牛頓迭代公式，并求的近似值，要求計算結(jié)果保留小數(shù)點后5位。（6分）第七章 解線性方程組的直接方法一、單項選擇題1.線性方程組 能用高斯消去法求解的充分必要條件是( ).(A) A為對稱矩陣 (B) A為實矩陣(C) (D) A的各階順序主子式不為零2.當線性方程組的系數(shù)矩陣是( )時,用列主元消去法解,的主對角線上的元素一定是主元.（A）上三角形矩陣 （B）主對角線元素不為0的矩陣（C）對稱且嚴格對角占優(yōu)矩陣 （D） 正定對稱矩陣3.用選主元的方法解線性方程組,是為了( ). (A) 提高計算速度 (B) 減少舍入誤差(C

14、) 減少相對誤 (D ) 方便計算4.在近似計算中，要注意以下原則：（1）計算速度快 （2）避免大數(shù)“吃掉”小數(shù)，（3）防止溢出 （4）減少計算次數(shù)列主元消元法解方程組是（ ）.A(1)和(2) B.(2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)5. 線性方程組 AX=B 能用高斯消元法求解的充分必要條件是（ ）。A. A 為對稱矩陣 B. A為實矩陣C. A0 D. A的各階順序主子式不為零二、填空題1.設向量,則 , , 2.已知，則 (1分)， .3.設向量 ,則 4.使用消元法解線性方程組時，系數(shù)矩陣可以分解為下三角矩陣和上三角矩陣的乘積，即 若采用高斯消元法解，其中，則_

15、，_；5.將作Doolittle分解(即分解),則L=_,U=_. 三、計算題1.用高斯消去法解線性方程組2.用高斯消去法求解方程組3.用列主元消去法解線性方程組. 4用列主元消去法解線性方程組5. （本題10分）用LU分解法解線性方程組.6. 求矩陣的LU分解，并求方程組的解，其中.第八章 解線性方程組的迭代法一、填空題1.設矩陣A是對稱正定矩陣，利用_迭代法解線性方程組，其迭代解數(shù)列一定收斂。 2.用20.對任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是 。3.用迭代法解線性方程組時，使迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充分必要條件是 .4.松弛法 ()解方程組的迭代公式是_.三、計算題1 給定線性方程組（1）寫出Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；（2）考查Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格