隨機(jī)變量的密度函數(shù)

1、隨機(jī)變量的密度函數(shù)第三章第三章 隨機(jī)變量與概率分布隨機(jī)變量與概率分布l隨機(jī)變量及其種類隨機(jī)變量及其種類l概率分布概率分布l正態(tài)分布正態(tài)分布l二項分布二項分布隨機(jī)變量的密度函數(shù)隨機(jī)變量及其種類隨機(jī)變量及其種類l隨機(jī)變量（隨機(jī)變量（random variable）在一定范圍內(nèi)隨機(jī)取值的變量在一定范圍內(nèi)隨機(jī)取值的變量 以一定的概率分布取值的變量以一定的概率分布取值的變量l分類分類離散型離散型(discrete)隨機(jī)變量隨機(jī)變量：只取有限個可能值（通：只取有限個可能值（通常為整數(shù)）常為整數(shù)） 例：發(fā)病個體數(shù)，產(chǎn)仔數(shù)例：發(fā)病個體數(shù)，產(chǎn)仔數(shù)連續(xù)型連續(xù)型(continuous)隨機(jī)變量隨機(jī)變量：在一定范圍內(nèi)

2、可?。涸谝欢ǚ秶鷥?nèi)可取無限個可能值（實數(shù)）無限個可能值（實數(shù)） 例：產(chǎn)奶量，體長，日增重例：產(chǎn)奶量，體長，日增重隨機(jī)變量的密度函數(shù)概率分布概率分布l概率函數(shù)概率函數(shù)(probability function)隨機(jī)變量取某一特定值的概率函數(shù)（離散型隨機(jī)變量取某一特定值的概率函數(shù)（離散型隨機(jī)變量）隨機(jī)變量）l 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)(probability density function) 隨機(jī)變量取某一特定值的密度函數(shù)（連續(xù)型隨機(jī)變量取某一特定值的密度函數(shù)（連續(xù)型隨機(jī)變量）隨機(jī)變量）l 概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)(probability distribution function)隨機(jī)變量取值

3、小于或等于某特定值的概率隨機(jī)變量取值小于或等于某特定值的概率隨機(jī)變量的密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布l概率函數(shù)概率函數(shù))()(xXPxfX ：隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，x：該隨機(jī)變量的某一可能取值該隨機(jī)變量的某一可能取值xxfxf所有1)(,0)(l概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)xyyfxXPxF)()()(隨機(jī)變量的密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布l例例1：擲一次骰子所得點數(shù)的概率函數(shù)擲一次骰子所得點數(shù)的概率函數(shù)6, 5, 4, 3, 2, 1,61)(xxfx123456f (x)1/61/61/61/61/61/6概率分布列概率分布列隨機(jī)變量的密度函

4、數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布l例例2：擲二次骰子所得點數(shù)之和的概率分布擲二次骰子所得點數(shù)之和的概率分布x234567f(x)1/362/363/364/365/366/36x89101112f(x)5/364/363/362/361/363621)()7(72xxfF366)7()7(21xxPf)()(21xxxPxf隨機(jī)變量的密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布概率分布圖概率分布圖隨機(jī)變量的密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布l隨機(jī)變量的期望隨機(jī)變量的期望(expectation) - 總體平均總體平均數(shù)數(shù))()(iixfxXE

5、對于例對于例1：5 . 3)654321 (6161)(ixXE隨機(jī)變量的密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布l期望的性質(zhì)期望的性質(zhì)aaE)()()()(YEXEYXE)()(XaEaXE(a是常量)()()(YEXEXYE1.2.3.4.（當(dāng)X和Y彼此獨立）隨機(jī)變量的密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布)()()(iixfxHXHEl隨機(jī)變量的函數(shù)的期望隨機(jī)變量的函數(shù)的期望設(shè)H(X)是隨機(jī)變量X的某個函數(shù))()(22iixfxXE例：例：2)(XXH對于例對于例1：167.15)654321 (6161)(22222222ixXE隨機(jī)變量的密度函數(shù)離散

6、型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布l隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的方差(variance) - 總體方差總體方差)()()(222XENxXVari2222222)()(2)()2()(XEXEXEXXEXE對于例對于例1：917. 25 . 3167.15)(2222XE隨機(jī)變量的密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布l方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)1. Var(a) = 0 （a是常量）是常量）2. Var(aX ) = a2Var(X )3. Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) (X和和Y彼此獨立）彼此獨立）4. Var(XY ) = Var(X

7、)Var(Y )/隨機(jī)變量的密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布l概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)滿足以下條件的函數(shù)滿足以下條件的函數(shù)f (x)稱為連續(xù)性隨機(jī)變稱為連續(xù)性隨機(jī)變量量X的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù):0)(xf(x是X的任一可能取值)1)()(dxxfdxxfX的取值范圍badxxfbXaP)()(隨機(jī)變量的密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布l概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)xdyyfxXPxF)()()(l期望期望dxxxfXE)()(l方差方差2222)()()(dxxfxXEXVar隨機(jī)變量的密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布l

8、正態(tài)分布（正態(tài)分布（normal distribution）具有如下概率密度函數(shù)的隨機(jī)變量稱為正態(tài)具有如下概率密度函數(shù)的隨機(jī)變量稱為正態(tài)分布隨機(jī)變量：分布隨機(jī)變量：xxxf2)(exp21)(22 = 期望 2 = 方差（可以證明這個函數(shù)滿足概率密度函數(shù)的（可以證明這個函數(shù)滿足概率密度函數(shù)的3個條件）個條件）),(N2X隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布l正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何表示正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何表示正態(tài)曲線正態(tài)曲線f (x)x曲線下某區(qū)間的面積即為隨機(jī)變量在該區(qū)間取值的概率曲線下某區(qū)間的面積即為隨機(jī)變量在該區(qū)間取值的概率隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布l正態(tài)分布的特點正態(tài)分布

9、的特點只有一個峰，峰值在只有一個峰，峰值在x = 處處曲線關(guān)于曲線關(guān)于x = 對稱，因而平均數(shù)對稱，因而平均數(shù)=眾數(shù)眾數(shù)=中中位數(shù)位數(shù)x軸為曲線向左、右延伸的漸進(jìn)線軸為曲線向左、右延伸的漸進(jìn)線由兩個參數(shù)決定：由兩個參數(shù)決定： 平均數(shù)平均數(shù) 和和 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 決定曲線在決定曲線在x 軸上的位置軸上的位置 決定曲線的形狀決定曲線的形狀隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布平均數(shù)的影響平均數(shù)的影響標(biāo)準(zhǔn)差的影響標(biāo)準(zhǔn)差的影響隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布l標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution) ),(2NX令令XZZ服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布) 1 , 0(

10、 NZ標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對于對于0)(1)(1)(XEZE1)0(1)()(1)(222VarXVarZVar標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布l標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)zzzf2exp21)(20隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布l標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算 附表附表1 (p. 274)uudzzdzzfuZP)2exp(21)()(2隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布(1) P( Z u) 或或 P(Z -u) (u 0)()(uZPuZP直接查表直接查表隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布(2) P( Z -u) 或或 P(Z

11、 u) )(1)()(uZPuZPuZP查表查表隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布)()()(aZPbZPbZaP(3) P( a Z b) )()(1)(bZPaZPbZaP或或隨機(jī)變量的密度函數(shù)例：設(shè) Z N(0, 1)，求 (1) P(Z 0.64) (2) P(Z 1.53) (3) P(-2.12 Z -0.53) (4) P(-0.54 Z 0.84) 正態(tài)分布正態(tài)分布隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布P( -1 Z 1) = 68.26%P( -2 Z 2) = 95.45%P( -3 Z 3) = 99.73%P( -1.96 Z 1.96) = 95%P( -2.58 Z 2

12、.58) = 99% 幾個特殊的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率幾個特殊的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率 隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布68.3%95.5%99.7%隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布l對于給定的兩尾概率對于給定的兩尾概率 求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在x軸上的分位點軸上的分位點附表附表2 （p. 276）)(1uZuP/2/2隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布)(1uZP2)(1uZuP用用2 查附表查附表2，可得一尾概率為，可得一尾概率為 時的分位點時的分位點ul對于給定的一尾概率對于給定的一尾概率 求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在x軸上的分位點軸上的分位點隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布l一般

13、正態(tài)分布的概率計算一般正態(tài)分布的概率計算轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計算轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計算)()()(xZPxXPxXP例： 設(shè) X N(30, 102)，求P(X 40)8413. 0) 1()103040()40(ZPZPXPX N( , 2)隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布P( - X + ) = 68.26%P( - 2 X + 2 ) = 95.45%P( - 3 X + 3 ) = 99.73%P( - 1.96 X + 1.96 ) = 95%P( - 2.58 X + 2.58 ) = 99% 幾個特殊的一般正態(tài)分布概率幾個特殊的一般正態(tài)分布概率 隨機(jī)變量的密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布

14、-3 -2 - + +2 +3x68.3%95.5%99.7%隨機(jī)變量的密度函數(shù)偏度與峭度偏度與峭度l偏度（偏度（skewness） 度量一個分布的對稱性的指標(biāo)度量一個分布的對稱性的指標(biāo)331)(XE2231mmmg l峭度（峭度（kurtosis） 度量一個分布的尖峭或平坦程度的指標(biāo)度量一個分布的尖峭或平坦程度的指標(biāo)3)(442XE32242mmg（總體）（總體）（樣本）（樣本）（總體）（總體）（樣本）（樣本）隨機(jī)變量的密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布l二項分布（二項分布（binomial distribution）假設(shè)：假設(shè)：1. 在相同條件下進(jìn)行了在相同條件下進(jìn)行

15、了n次試驗次試驗 2. 每次試驗只有兩種可能結(jié)果（每次試驗只有兩種可能結(jié)果（1或或0） 3. 結(jié)果為結(jié)果為1的概率為的概率為p，為，為0的概率為的概率為1-p 4. 各次試驗彼此間是獨立的各次試驗彼此間是獨立的 在在n次試驗中，結(jié)果為次試驗中，結(jié)果為1的次數(shù)（的次數(shù)（X = 0，1，2，n）服從二項分布，表示為）服從二項分布，表示為),(BpnX隨機(jī)變量的密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布l二項分布的概率函數(shù)二項分布的概率函數(shù)), 2 , 1 , 0()1 ()!( !)1 ()(nxppxnxnppCxfxnxxnxxnl二項分布的期望二項分布的期望npxfxXEii)()(l二項分布的方差二項分布的方差)1 ()(2pnpXVar隨機(jī)變量的密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布l例例3：一頭母豬一窩產(chǎn)了一頭母豬一窩產(chǎn)了10頭仔豬，分別求其頭仔豬，分別求其中有中有2頭公豬和頭公豬