軸對(duì)稱中幾何動(dòng)點(diǎn)最值問題總結(jié)

1、軸對(duì)稱中幾何動(dòng)點(diǎn)最值問題總結(jié)軸對(duì)稱的作用是“搬點(diǎn)移線”，可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到“新的圖形”中，為應(yīng)用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對(duì)稱性質(zhì)求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個(gè)：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線段最短。初中階段利用軸對(duì)稱性質(zhì)求最值的題目可以歸結(jié)為：兩點(diǎn)一線，兩點(diǎn)兩線，一點(diǎn)兩線三類線段和的最值問題。下面對(duì)三類線段和的最值問題進(jìn)行分析、討論。（ 1） 兩點(diǎn)一線的最值問題 : （ 兩個(gè)定點(diǎn) + 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)）問題特征：已知兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線的同一側(cè)，在直

2、線上求一動(dòng)點(diǎn)的位置， 使動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn) 線段和最短。核心思路：這類最值問題所求的 線段和中只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 解決這類題目的方法是找出任一定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，交直線于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)滿足最值的位置。方法： 1. 定點(diǎn)過動(dòng)點(diǎn)所在直線做對(duì)稱。2. 連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，則直線段長(zhǎng)度就是我們所求。變異類型：實(shí)際考題中，經(jīng)常利用本身就具有對(duì)稱性質(zhì)的圖形， 比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)就在這個(gè)圖形上。1. 如圖，直線 l 和 l 的同側(cè)兩點(diǎn) A、 B，在直線 l 上求作一點(diǎn) P，使 PA+PB最小。（ 2） 一點(diǎn)兩線的最

3、值問題 : （ 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) +一個(gè)定點(diǎn)）問題特征：已知一個(gè)定點(diǎn)位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)使線段和最短。核心思路：這類問題實(shí)際上是兩點(diǎn)兩線段最值問題的變式，通過做這一定點(diǎn)關(guān)于兩條線的對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線” ，把線段“移”到同一直線上來解決。變異類型：1. 如圖，點(diǎn) P 是 MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在 OM， ON上作點(diǎn) A， B。使 PAB的周長(zhǎng)最小。2. 如圖， 點(diǎn) A 是 MON外的一點(diǎn)， 在射線 OM上作點(diǎn) P，使 PA與點(diǎn) P 到射線 ON的距離之和最小。（ 3） 兩點(diǎn)兩線的最值問題 : （ 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) +兩個(gè)定點(diǎn)）問題特征：兩動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)（一個(gè)主動(dòng)，一個(gè)

4、從動(dòng)），并且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離保持不變。核心思路：用平移方法，可把兩動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類型來解。變異類型：1. 如圖，點(diǎn) P， Q為 MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在 OM， ON上作點(diǎn) A，B。使四邊形 PAQB的周長(zhǎng)最小。2.如圖，已知A（ 1， 3）， B（ 5， 1），長(zhǎng)度為2 的線段PQ 在x 軸上平行移動(dòng)，當(dāng)AP+PQ+QB的值最小時(shí)，點(diǎn)P 的坐標(biāo)為()3.（ 4） 兩點(diǎn)兩線的最值問題 : （ 兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) +兩個(gè)定點(diǎn)）問題特征：兩動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，一動(dòng)點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小。核心思路：利用軸對(duì)稱變換， 使一動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)與定點(diǎn)的線段上（

5、兩點(diǎn)之間線段最短），且這條線段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)所在直線（連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短）時(shí)，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長(zhǎng)。變異類型：演變?yōu)槎噙呅沃荛L(zhǎng)、折線段等最值問題。1. 如圖，點(diǎn) A 是 MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線 ON上作點(diǎn) P，使 PA與點(diǎn) P 到射線 OM的距離之和最小。二、常見題目Part1 、三角形1如圖，在等邊ABC中， AB=6， AD BC， E 是 AC上的一點(diǎn)， M是 AD上的一點(diǎn)，且AE=2，求 EM+EC的最小值。2如圖，在銳角ABC中， AB=42， BAC 45°， BAC的平分線交BC于點(diǎn) D， M、N 分別是 AD和

6、 AB上的動(dòng)點(diǎn)，則 BM+MN的最小值是 _。3如圖， ABC中，AB=2， BAC=30°，若在 AC、AB上各取一點(diǎn) M、N，使 BM+MN的值最小，則這個(gè)最小值。Part2 、正方形1如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 8， M在 DC上，丐 DM 2， N 是 AC上的一動(dòng)點(diǎn)， DN MN的最小值為 _。 即在直線 AC上求一點(diǎn) N，使 DN+MN最小 。2如圖所示，正方形ABCD的面積為12， ABE是等邊三角形，點(diǎn)E 在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線 AC上有一點(diǎn)P，使 PD PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）A23B26C3D63在邊長(zhǎng)為 2 的正方形 ABCD中，點(diǎn) Q為 BC

7、邊的中點(diǎn)，點(diǎn) P為對(duì)角線 AC上一動(dòng)點(diǎn)， 連接PB、 PQ，則 PBQ周長(zhǎng)的最小值為 _ （結(jié)果不取近似值） 。4如圖，四邊形ABCD是正方形，AB = 10cm ， E 為邊 BC的中點(diǎn)， P 為 BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PC+PE的最小值；Part3、矩形1如圖，若四邊形 BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求ABCD是矩形，AB = 10cm，BC = 20cm，EPC+PD的最小值；為邊BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P 為1如圖， 若四邊形ABCD是菱形，Part4 、菱形AB=10cm，ABC=45°，E為邊BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P 為BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC+PE的最小值；Part5 、直角梯形1已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，點(diǎn) P 在 BC 上秱動(dòng)，則當(dāng) PA+PD取最小值時(shí)， APD 中邊 AP 上的高為（）Part6 、一次函數(shù)一次函數(shù)y = kx+ b 的