周道祥彈性力學(xué) 第二章(8,9,10)

1、28 28 按位移求解平面問題按位移求解平面問題( (位移法位移法) ) 一、平面應(yīng)力問題一、平面應(yīng)力問題： 1. 由物理方程 （2-12）解出2、把幾何方程（2-3）代入(2-12a）（aEEExyxyxyyyxx)1(2)(1)(122)162()()1(2)(1)(122byuxvExuyvEyvxuExyyx-以位移分量作為基本未知量以位移分量作為基本未知量把（216a）代入平衡微分方程（22）： 式（217）即為用位移表示的平衡微分方程，為按位移求解平面應(yīng)力問題的基本微分方程。（表示按位移求解平面應(yīng)力問題時，解出的應(yīng)力必須滿足平衡微分方程）)172(0)2121(10)2121(12

2、22222222222yxfxvyxuyvEfyuyxvxuE3、 應(yīng)力邊界條件： 把 （216a） 代入應(yīng)力邊界條件 （215）結(jié)結(jié)論論：按按位位移移求求解解平平面面應(yīng)應(yīng)力力問問題題,可可歸歸納納為為根根據(jù)據(jù)(217) 式式確確定定位位移移分分量量，并并且且要要求求滿滿足足邊邊界界條條件件（218）或或 （214） ，再再用用（28）式式求求出出應(yīng)應(yīng)變變分分量量，用用（216） 確確定定應(yīng)應(yīng)力力分分量量。 4、位移邊界條件：仍為（214）式 (218)式即為用位移表示的應(yīng)力邊界條件，為按位移求解平面應(yīng)力問題時的應(yīng)力邊界條件。)182()(21)(1)(21)(122ysxsfyuxvlxuy

3、vmEfyuxvmyvxulE二、平面應(yīng)變問題：對平面應(yīng)力方程的E、作如下變換后即可得到平面應(yīng)變問題的相應(yīng)方程和邊界條件：1,112EE1、為按位移求解平面應(yīng)力問題，要聯(lián)立求解兩個二階偏微分方程，因此比較麻煩，但在有限元法中較方便。2、按位移求解，原則上可適用于任何平面問題，無論體力是不是常量，不論是哪一種邊界問題。三、討論： 2.9 2.9 按應(yīng)力求解平面問題相容方程按應(yīng)力求解平面問題相容方程2 2、變形相容（協(xié)調(diào)）方程（同一平面內(nèi)、變形相容（協(xié)調(diào)）方程（同一平面內(nèi) 間的關(guān)系）間的關(guān)系）基本未知量基本未知量yxyxyxxyyx,);,(;,基本方程：用應(yīng)力分量表示基本方程：用應(yīng)力分量表示1.

4、1.平衡微分方程平衡微分方程0 xyxxfyx0yyxyfyx（2-2）由幾何方程：由幾何方程：）（32yuxvyvxuxyyx將將xyvyxuyx對對求兩階導(dǎo)數(shù)求兩階導(dǎo)數(shù)yxxvyuyxxyxyyx222222yxvxxyuyyx23222322相加相加)192(22222yxxyxyyx注：（注：（2-92-9）用應(yīng)變表示的相容方程。表示同一平面內(nèi)）用應(yīng)變表示的相容方程。表示同一平面內(nèi)一點處的三個應(yīng)變分量必須相互協(xié)調(diào)，才能保證變形一點處的三個應(yīng)變分量必須相互協(xié)調(diào)，才能保證變形發(fā)生開裂或相互嵌入（位移連續(xù)），位移存在且是發(fā)生開裂或相互嵌入（位移連續(xù)），位移存在且是x x，y y的連續(xù)函數(shù)。的

5、連續(xù)函數(shù)。開裂嵌入連續(xù)用應(yīng)力分量表示相容方程：用應(yīng)力分量表示相容方程：由物理方程由物理方程）（12111xyxyxyyyxxGEE代入（代入（2-92-9）式得到）式得到y(tǒng)xxyxyxyyx2222212(2-20)由平衡方程由平衡方程0 xyxxfyx0yyxyfyxxfxyxxxyx222yfyyxyyxy222兩式相加兩式相加yfyxfxyxyyxxxy222222yxxyxyxyyx2222212代入（2-20）式：化簡（2-2）和（2-20）式化簡（2-2）和（2-20）式（2-21a2-21a）應(yīng)力表示的相容方程）應(yīng)力表示的相容方程結(jié)論：結(jié)論：整理、化簡整理、化簡：注：對于平面應(yīng)變

6、問題用注：對于平面應(yīng)變問題用1代換yfxfxyyxyx112222（221b）1 1、按應(yīng)力求解平面應(yīng)力（應(yīng)變）問題，可歸、按應(yīng)力求解平面應(yīng)力（應(yīng)變）問題，可歸結(jié)為根據(jù)（結(jié)為根據(jù)（2-22-2）平平及（及（2-212-21）容容）求出應(yīng)力分）求出應(yīng)力分量量 ，并要求在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件，并要求在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（2-152-15）邊邊，及位移單值條件，及位移單值條件。yfxfxyyxyx12222(2-21a) 2-10 2-10 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)常體積力常體積力一一. 簡化相容方程簡化相容方程當(dāng)體力為常量時，當(dāng)體力為常量時，f fx x=C,f=C,fy y=C=C（2-212-2

7、1）容容簡化為簡化為：02222yxxy22222yx若令拉普拉斯算子拉普拉斯算子02yx（222）二二. .應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)為非齊次偏微分方程組為非齊次偏微分方程組結(jié)論結(jié)論 1.1.當(dāng)體力為常量時，按應(yīng)力求解平面應(yīng)力（應(yīng)變）當(dāng)體力為常量時，按應(yīng)力求解平面應(yīng)力（應(yīng)變）問題，可歸結(jié)為根據(jù)（問題，可歸結(jié)為根據(jù)（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容求出求出應(yīng)力分量應(yīng)力分量 , ,并要求在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件并要求在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（2-152-15）邊邊及位移單值條件。及位移單值條件。研究（研究（2-2）平平及（及（2-22）容容的求解的求解由（由（2 22 2）平平式式0 xy

8、xxfyx0yyxyfyx1.1.對應(yīng)的齊次偏微分方程的通解對應(yīng)的齊次偏微分方程的通解所以存在一個具有全微分的函數(shù)所以存在一個具有全微分的函數(shù)A A（x x，y y）根據(jù)微分方程解的理論，根據(jù)微分方程解的理論， （2 22 2）平平的解由兩部分的解由兩部分組成對應(yīng)的齊次偏微分方程的通解及其一個特解。組成對應(yīng)的齊次偏微分方程的通解及其一個特解。0yxyxx0yxyxy由第一式有由第一式有xyxyx全微分的充要條件全微分的充要條件QdyPdxdFFxQyP有則存在若,同理：將第二式寫為yxyxy根據(jù)全微分充要條件，同樣也存在另一個函數(shù)B（x，y）xyxAPxy),(1（a）yyxAQx,1（b）y

9、yxBQxy,2(d)xyxBPy,2（c）比較（ a）（ c ）兩式,由剪應(yīng)力互等定理yyxBxyxA,xBPyAQ齊次偏微分方程的通解yxxyxyyx22222;平面應(yīng)力函數(shù)（Airy應(yīng)力函數(shù)）同理可以找到一個函數(shù) （x，y），有yxxy0;*xyxyyyxxyfxf3.平衡方程的通解yxyfxxfyxyyyxx22222（223）0 xyxxfyx0yyxyfyxxyxyxyyyyxxx*2.2.平衡方程特解平衡方程特解3.3.平衡方程平衡方程的通解的通解0;*xyxyyyxxyfxfyxyfxxfyxyyyxx22222（2-23）0 xyxxfyx0yyxyfyxxyxyxyyyyx

10、xx*將將（2-23）代入（2-22）容容022222222xyxy02222yxxy（2-22）容容可記為可記為：02204或這里這里（x x，y y）為雙調(diào)和函數(shù)）為雙調(diào)和函數(shù)注：滿足注：滿足02的的函數(shù)稱函數(shù)稱 調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)展開后展開后：024422444yyxx（224）結(jié)論：結(jié)論：1.1.當(dāng)當(dāng)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)為滿足雙調(diào)和方程的雙調(diào)和函數(shù)時為滿足雙調(diào)和方程的雙調(diào)和函數(shù)時（2 22323）可以同時滿足）可以同時滿足（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容，故，故（2 22323）為）為（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容的解。的解。（2 22424）為用應(yīng)力函

11、數(shù)表示的相容方程）為用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程2.2.當(dāng)體力為常量時，按應(yīng)力求解平面應(yīng)力（應(yīng)變）當(dāng)體力為常量時，按應(yīng)力求解平面應(yīng)力（應(yīng)變）問題，可歸結(jié)為根據(jù)（問題，可歸結(jié)為根據(jù)（2-242-24）容容求出應(yīng)力函數(shù)求出應(yīng)力函數(shù) ，然后根據(jù)（然后根據(jù)（2 22323）求出應(yīng)力分量）求出應(yīng)力分量 并要求在邊并要求在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（界上滿足應(yīng)力邊界條件（2-152-15）邊邊，及位移單值條，及位移單值條件（多連體時）。件（多連體時）。 多連體的位移單值條件多連體的位移單值條件 單連體：具有一個連續(xù)的邊界單連體：具有一個連續(xù)的邊界。多連體：具有兩個以上互不相交的連續(xù)的邊界。多連體：具有兩個以上互不

12、相交的連續(xù)的邊界。位移單值條件：一點處的位移是單值位移單值條件：一點處的位移是單值的。的。*按應(yīng)力求解時，要利用位移單值條件，才能按應(yīng)力求解時，要利用位移單值條件，才能完全確立應(yīng)力分量完全確立應(yīng)力分量 例題例題 習(xí)題習(xí)題2 23 3（略）（略）解：解：1.1.驗證是否滿足平衡微分方程驗證是否滿足平衡微分方程由：0 xyxxfyx0yyxyfyx將x=y=-q,xy=0代入00)0()(yxq00)()0(yqx故滿足故滿足qxyqO將將 x x= = y y=-q,=-q, xyxy=0=0代入，自然滿足代入，自然滿足三三. .滿足邊界條件滿足邊界條件：qqlqmxyxyyxxyyfxfxyy

13、xyx12222由由：由由：ysysxyxsxysxfmfmqmfqlfyx,將將 x x= = y y=-q,=-q, xyxy=0=0，代入代入二二. .滿足相容方程滿足相容方程三三. .滿足邊界條件滿足邊界條件：將將 x x= = y y=-q,=-q, xyxy=0=0代入，自然滿足代入，自然滿足qqlqmxyxyyxxyyfxfxyyxyx12222由：由：ysysxyxsxysxfmfmqmfqlfyx,將x=y=-q,xy=0，代入四四. .位移單值條件位移單值條件：2 2）求位移）求位移：qmqmqmqmlqlqlqlmql)()0()0()(滿足1 1）求應(yīng)變：）求應(yīng)變：01)1()(1)1()(1xyxyxyyyxxGEqEEqE0) 1() 1(yuxvEqyvEqxuxyyx（1）（2）（3）)()1()()1(21xfyEqvyfxEqu代入（代入（3）得）得dxxdfdyydf)()(21于是有于是有 ：,)(1dy