周道祥彈性力學 第二章(8,9,10)

1、28 28 按位移求解平面問題按位移求解平面問題( (位移法位移法) ) 一、平面應力問題一、平面應力問題： 1. 由物理方程 （2-12）解出2、把幾何方程（2-3）代入(2-12a）（aEEExyxyxyyyxx)1(2)(1)(122)162()()1(2)(1)(122byuxvExuyvEyvxuExyyx-以位移分量作為基本未知量以位移分量作為基本未知量把（216a）代入平衡微分方程（22）： 式（217）即為用位移表示的平衡微分方程，為按位移求解平面應力問題的基本微分方程。（表示按位移求解平面應力問題時，解出的應力必須滿足平衡微分方程）)172(0)2121(10)2121(12

2、22222222222yxfxvyxuyvEfyuyxvxuE3、 應力邊界條件： 把 （216a） 代入應力邊界條件 （215）結結論論：按按位位移移求求解解平平面面應應力力問問題題,可可歸歸納納為為根根據據(217) 式式確確定定位位移移分分量量，并并且且要要求求滿滿足足邊邊界界條條件件（218）或或 （214） ，再再用用（28）式式求求出出應應變變分分量量，用用（216） 確確定定應應力力分分量量。 4、位移邊界條件：仍為（214）式 (218)式即為用位移表示的應力邊界條件，為按位移求解平面應力問題時的應力邊界條件。)182()(21)(1)(21)(122ysxsfyuxvlxuy

3、vmEfyuxvmyvxulE二、平面應變問題：對平面應力方程的E、作如下變換后即可得到平面應變問題的相應方程和邊界條件：1,112EE1、為按位移求解平面應力問題，要聯立求解兩個二階偏微分方程，因此比較麻煩，但在有限元法中較方便。2、按位移求解，原則上可適用于任何平面問題，無論體力是不是常量，不論是哪一種邊界問題。三、討論： 2.9 2.9 按應力求解平面問題相容方程按應力求解平面問題相容方程2 2、變形相容（協調）方程（同一平面內、變形相容（協調）方程（同一平面內 間的關系）間的關系）基本未知量基本未知量yxyxyxxyyx,);,(;,基本方程：用應力分量表示基本方程：用應力分量表示1.

4、1.平衡微分方程平衡微分方程0 xyxxfyx0yyxyfyx（2-2）由幾何方程：由幾何方程：）（32yuxvyvxuxyyx將將xyvyxuyx對對求兩階導數求兩階導數yxxvyuyxxyxyyx222222yxvxxyuyyx23222322相加相加)192(22222yxxyxyyx注：（注：（2-92-9）用應變表示的相容方程。表示同一平面內）用應變表示的相容方程。表示同一平面內一點處的三個應變分量必須相互協調，才能保證變形一點處的三個應變分量必須相互協調，才能保證變形發(fā)生開裂或相互嵌入（位移連續(xù)），位移存在且是發(fā)生開裂或相互嵌入（位移連續(xù)），位移存在且是x x，y y的連續(xù)函數。的

5、連續(xù)函數。開裂嵌入連續(xù)用應力分量表示相容方程：用應力分量表示相容方程：由物理方程由物理方程）（12111xyxyxyyyxxGEE代入（代入（2-92-9）式得到）式得到yxxyxyxyyx2222212(2-20)由平衡方程由平衡方程0 xyxxfyx0yyxyfyxxfxyxxxyx222yfyyxyyxy222兩式相加兩式相加yfyxfxyxyyxxxy222222yxxyxyxyyx2222212代入（2-20）式：化簡（2-2）和（2-20）式化簡（2-2）和（2-20）式（2-21a2-21a）應力表示的相容方程）應力表示的相容方程結論：結論：整理、化簡整理、化簡：注：對于平面應變

6、問題用注：對于平面應變問題用1代換yfxfxyyxyx112222（221b）1 1、按應力求解平面應力（應變）問題，可歸、按應力求解平面應力（應變）問題，可歸結為根據（結為根據（2-22-2）平平及（及（2-212-21）容容）求出應力分）求出應力分量量 ，并要求在邊界上滿足應力邊界條件，并要求在邊界上滿足應力邊界條件（2-152-15）邊邊，及位移單值條件，及位移單值條件。yfxfxyyxyx12222(2-21a) 2-10 2-10 應力函數應力函數常體積力常體積力一一. 簡化相容方程簡化相容方程當體力為常量時，當體力為常量時，f fx x=C,f=C,fy y=C=C（2-212-2

7、1）容容簡化為簡化為：02222yxxy22222yx若令拉普拉斯算子拉普拉斯算子02yx（222）二二. .應力函數應力函數為非齊次偏微分方程組為非齊次偏微分方程組結論結論 1.1.當體力為常量時，按應力求解平面應力（應變）當體力為常量時，按應力求解平面應力（應變）問題，可歸結為根據（問題，可歸結為根據（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容求出求出應力分量應力分量 , ,并要求在邊界上滿足應力邊界條件并要求在邊界上滿足應力邊界條件（2-152-15）邊邊及位移單值條件。及位移單值條件。研究（研究（2-2）平平及（及（2-22）容容的求解的求解由（由（2 22 2）平平式式0 xy

8、xxfyx0yyxyfyx1.1.對應的齊次偏微分方程的通解對應的齊次偏微分方程的通解所以存在一個具有全微分的函數所以存在一個具有全微分的函數A A（x x，y y）根據微分方程解的理論，根據微分方程解的理論， （2 22 2）平平的解由兩部分的解由兩部分組成對應的齊次偏微分方程的通解及其一個特解。組成對應的齊次偏微分方程的通解及其一個特解。0yxyxx0yxyxy由第一式有由第一式有xyxyx全微分的充要條件全微分的充要條件QdyPdxdFFxQyP有則存在若,同理：將第二式寫為yxyxy根據全微分充要條件，同樣也存在另一個函數B（x，y）xyxAPxy),(1（a）yyxAQx,1（b）y

9、yxBQxy,2(d)xyxBPy,2（c）比較（ a）（ c ）兩式,由剪應力互等定理yyxBxyxA,xBPyAQ齊次偏微分方程的通解yxxyxyyx22222;平面應力函數（Airy應力函數）同理可以找到一個函數 （x，y），有yxxy0;*xyxyyyxxyfxf3.平衡方程的通解yxyfxxfyxyyyxx22222（223）0 xyxxfyx0yyxyfyxxyxyxyyyyxxx*2.2.平衡方程特解平衡方程特解3.3.平衡方程平衡方程的通解的通解0;*xyxyyyxxyfxfyxyfxxfyxyyyxx22222（2-23）0 xyxxfyx0yyxyfyxxyxyxyyyyx

10、xx*將將（2-23）代入（2-22）容容022222222xyxy02222yxxy（2-22）容容可記為可記為：02204或這里這里（x x，y y）為雙調和函數）為雙調和函數注：滿足注：滿足02的的函數稱函數稱 調和函數調和函數展開后展開后：024422444yyxx（224）結論：結論：1.1.當當應力函數應力函數為滿足雙調和方程的雙調和函數時為滿足雙調和方程的雙調和函數時（2 22323）可以同時滿足）可以同時滿足（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容，故，故（2 22323）為）為（2-22-2）平平及（及（2-222-22）容容的解。的解。（2 22424）為用應力函

11、數表示的相容方程）為用應力函數表示的相容方程2.2.當體力為常量時，按應力求解平面應力（應變）當體力為常量時，按應力求解平面應力（應變）問題，可歸結為根據（問題，可歸結為根據（2-242-24）容容求出應力函數求出應力函數 ，然后根據（然后根據（2 22323）求出應力分量）求出應力分量 并要求在邊并要求在邊界上滿足應力邊界條件（界上滿足應力邊界條件（2-152-15）邊邊，及位移單值條，及位移單值條件（多連體時）。件（多連體時）。 多連體的位移單值條件多連體的位移單值條件 單連體：具有一個連續(xù)的邊界單連體：具有一個連續(xù)的邊界。多連體：具有兩個以上互不相交的連續(xù)的邊界。多連體：具有兩個以上互不

12、相交的連續(xù)的邊界。位移單值條件：一點處的位移是單值位移單值條件：一點處的位移是單值的。的。*按應力求解時，要利用位移單值條件，才能按應力求解時，要利用位移單值條件，才能完全確立應力分量完全確立應力分量 例題例題 習題習題2 23 3（略）（略）解：解：1.1.驗證是否滿足平衡微分方程驗證是否滿足平衡微分方程由：0 xyxxfyx0yyxyfyx將x=y=-q,xy=0代入00)0()(yxq00)()0(yqx故滿足故滿足qxyqO將將 x x= = y y=-q,=-q, xyxy=0=0代入，自然滿足代入，自然滿足三三. .滿足邊界條件滿足邊界條件：qqlqmxyxyyxxyyfxfxyy

13、xyx12222由由：由由：ysysxyxsxysxfmfmqmfqlfyx,將將 x x= = y y=-q,=-q, xyxy=0=0，代入代入二二. .滿足相容方程滿足相容方程三三. .滿足邊界條件滿足邊界條件：將將 x x= = y y=-q,=-q, xyxy=0=0代入，自然滿足代入，自然滿足qqlqmxyxyyxxyyfxfxyyxyx12222由：由：ysysxyxsxysxfmfmqmfqlfyx,將x=y=-q,xy=0，代入四四. .位移單值條件位移單值條件：2 2）求位移）求位移：qmqmqmqmlqlqlqlmql)()0()0()(滿足1 1）求應變：）求應變：01)1()(1)1()(1xyxyxyyyxxGEqEEqE0) 1() 1(yuxvEqyvEqxuxyyx（1）（2）（3）)()1()()1(21xfyEqvyfxEqu代入（代入（3）得）得dxxdfdyydf)()(21于是有于是有 ：,)(1dy