2020高考數(shù)學(xué)解答題核心素養(yǎng)題型《專題01函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題》+答題指導(dǎo)(解析版)

1、專題01函數(shù)與號(hào)數(shù)綜合問(wèn)題【題型解讀】題型特點(diǎn)命題趨勢(shì)1 .極值、最值、導(dǎo)數(shù)幾何意義及單調(diào)性的綜合問(wèn)題.2 .利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的綜合問(wèn)題.1 .以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為解題工具，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、 最值問(wèn)題的求法，以及參數(shù)的取值范圍問(wèn)題.2 .不等式的證明問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，常與不等式、二次函數(shù) 等相聯(lián)系.問(wèn)題的解決通常采用構(gòu)造新函數(shù)的方法?題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)以含參數(shù)的函數(shù)為載體，結(jié)合具體函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究函數(shù)的性質(zhì)，是高考的熱點(diǎn).主要考查：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值或最值；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，求參數(shù)的范圍.【例1】

2、 已知函數(shù)f (x) = ax2 31n x,其中a為常數(shù). x(1)當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)2, f 2處的切線的斜率為1時(shí)，求函數(shù)f(x)在3, 3上的最小值； 332(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0 , +8)上既有極大值又有極小值，求a的取值范圍.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1) fz (x) =a+A-,由 f x x| =a + 9-9= 1 可得 a=1,即 f(x) = x-31n x,(x) = 1+馬322xx3 x23x+ 2(x-1) (x 2)2x3，當(dāng) xC 2,3有:9x32，22(2,3f (x)一0十f(x)單調(diào)遞減1 31n 2單調(diào)遞增3從而在2, 3上，f(x)

3、有最小值，且最小值為 f(2) =1 31n 2.(2) f (x) = a+ x3 ax2-3x+2(x0),由題設(shè)可得方程 ax23x+2=0有兩個(gè)不等的正實(shí)根.不妨設(shè)這 = 9 8a 0,xi + X2= -0,兩個(gè)根為X1, X2,且X1WX2,則a2 XiX2=-0 a解得0a0,所以f(X)在(0 , +)上單 X調(diào)遞增.若a0,則當(dāng) xC 0, 1 時(shí)，f (x)0；當(dāng) xC 1, +00aa1時(shí)，f (x)0.所以f(x)在0, 一上單調(diào) a1遞增,在a, +00上單調(diào)遞減.(2)由(1)知，當(dāng)a0時(shí)，f (x)在x= -處取得取大值，取大值為a111a =ln a+aTn a

4、+ai.因此 f1一 2a 2 等價(jià)于 In a+a10.令 g(a)=ln a+a- 1,則 ag(a)在(0 , +0)上單調(diào)遞增，g(1)=0.于是，當(dāng)0a1時(shí)，g(a)1時(shí)，g( a)0.因此，a的取值范圍是(0,1).【突破訓(xùn)練2】(2019 黃岡聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x2+aln x.(1)當(dāng)a= 2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；_,2 ,(2)若g(x) =f (X)+ -在1 , +8)上是單倜函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍. x【答案】見(jiàn)解析一一 ,2 .,.，【解析】(1) f (x)=2x-.令f(x) 0,得x 1;令f(x) v 0,得0vxv1.所以f (x)的單倜遞

5、增區(qū)間X是(1 , +8), f(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).22 ,(2)若函數(shù) g(x)在1 , +8)上是單倜增函數(shù)，則 g (x) 0在1 , +8)上恒成立，即 a2x在1 ,x 、2_ 2+ 0)上恒成乂.設(shè)() ( x) = - - 2x ,因?yàn)?)(x)在1 , 十)上單倜遞減，所以() ( x) max= () (1) =0,所以 a 0. x若函數(shù)g(x)在1 , +8)上是單調(diào)減函數(shù)，則 g，(x)wo在1 , +8)上恒成立，無(wú)解.綜上，實(shí)數(shù) a的取值范圍為0 , +8).?題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或曲線交點(diǎn)問(wèn)題導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程交匯是近年命題的熱點(diǎn)，常轉(zhuǎn)化為研

6、究函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，研究函數(shù)的極(最)值的正負(fù).主要考查：(1)確定函數(shù)的零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)由函數(shù)的零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)的情況求參數(shù)的取值范圍.【例2】(2018 全國(guó)卷n )已知函數(shù)f(x) = exax2.若a=1,證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x) 1;(2)若f(x)在(0, +8)只有一個(gè)零點(diǎn)，求 a.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)證明：當(dāng) a=1 時(shí)，f (x) 1 等價(jià)于(x2+1)ex1W0.設(shè)函數(shù) g(x) = (x2+1)e x-1,則 g (x) =一(x22x+1)ex=(x1)%, 當(dāng) xwi 時(shí)，g (x)0 時(shí)，g(x)W0,即 f (x) 1.(2)設(shè)函數(shù)h(x) =

7、 1-ax2e x.f(x)在(0 ,十)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0 , +o)只有一個(gè)零點(diǎn).3)當(dāng)20時(shí)，h(x)0, h(x)沒(méi)有零點(diǎn)；(五)當(dāng)20時(shí),h (x) = ax(x2)e x.當(dāng) xC (0,2)時(shí)，h (x)0.所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2, +8)單調(diào)遞增.故h(2) =1了是h(x)在(0, +8)的最小值.2若h(2)0 ,即a7, h(x)在(0, +8)沒(méi)有零點(diǎn); 42e若h(2) =0,即a= 4, h(x)在(0, +8)只有一個(gè)零點(diǎn)；2若h(2)e-,由于h(0) =1,所以h(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn)，由(1)知當(dāng)x0時(shí)，exx2,16

8、a3所以 h(4 a) = 1 e4a = 1 16a3e2a 21 16a342a=1 -10.a故h(x)在(2,4 a)也有一個(gè)零點(diǎn)，因此 h(x)在(0, +8)有兩個(gè)零點(diǎn).2綜上，f(x)在(0, +8)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=：.4【素養(yǎng)解讀】(1)在問(wèn)題(1)的證明過(guò)程中，考查了邏輯推理的核心素養(yǎng).(2)在問(wèn)題(2)中，通過(guò)對(duì)參數(shù) a的分類(lèi)討論以及在不同的取值范圍內(nèi)列式計(jì)算的過(guò)程中考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的 核心素養(yǎng).V*【突破訓(xùn)練3】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為一4,且關(guān)于x的不等式f(x)0的解集為x| -1 x0.所以 f(x)min = f (1) =4a=4, a= 1.故函數(shù) f

9、(x)的解析式為2f (x) =x -2x- 3.x2-2x-33(2)由(1)知 g(x) =4ln x = x- -4ln x-2,xx3 4(x 1) (x 3)所以g(x)的定義域?yàn)?0 , +8) , gz ( x) = 1 +x2-x=x2，令 g(x)=0,得x1=1,x2 =3.當(dāng)x變化時(shí)，g (x), g(x)的取值變化情況如下表：x(0,1)1(1,3)3(3 , +2g (x)十0一0十g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當(dāng) 0xW3 時(shí)，g(x)g(1) =- 43 時(shí)，g(e5) =e5 斗一20225 1 22= 90. e又因?yàn)間(x)在(3, +8)上單

10、調(diào)遞增，因而 g(x)在(3, +8)上只有1個(gè)零點(diǎn)，故g(x)僅有1個(gè)零點(diǎn).【突破訓(xùn)練 4】(2019 黃岡起點(diǎn)考試)已知函數(shù)f(x)=x22ln x, h(x) =x2-x + a.(1)求函數(shù)f (x)的極值；(2)設(shè)函數(shù)k(x) = f(x) h(x),若函數(shù)k(x)在1,3上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.【答案】見(jiàn)解析2【解析】(1)由題息知f (x)=2x-，x0,令f (x) = 0,得x=1.f ( x) , f (x)隨x的變化情況如下表 x所示：x(0,1)1(1 , +)f (x)一0十f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)的極小值為f(1) =1,無(wú)極大

11、值.2(2)因?yàn)?k(x) = f (x) - h( x) = - 2ln x+x- a,所以 k (x)= -+1, x0,令 k (x) = 0,得 x=2.當(dāng) x x 1,2)時(shí)，k (x)0.故k(x)在1,2)上單調(diào)遞減，在(2,3上單調(diào)遞增，所k (1) 0,a1,以 k (2) 2-2ln 2 ,所以2 2ln 2 a0,a a；能成立？ f(x) minWb；f(x) a 恒成立？ f(x) mina, f(x) a f(x) b 恒成立？ f(x) maxW b, f(x) g(x)恒成立F (x)f(x) g(x)?F(x)min0 ;？ xi C Mf(x1)g(x 2)

12、 ? f(x)ming(x)max；？ xi e m? xzef(x1)g(x 2) ? f(x)ming(x)？ xi e m? XzCf(x1)g(x 2) ? f(x)maxg(x)？ xi e mf(x1)g(x 2) ? f(x)maxg(x)max.【例3】(2018 浙江卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=yX ln x.若 f(x)在 x = xi, X2(x2X2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明:f (Xi) +f (X2)8- 81n2.【答案】見(jiàn)解析【解析】證明 函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)=j ；由f (刈=f (刈得2 .x x11112 .1 X1 X1= ,因?yàn)?X1WX2, 2 ：X

13、2 x2一 111.r所以 ,=8由基本不等式得X22X1+gX2 JXX2.因?yàn)?X1WX2,所以 X1X2256.由題意得 f(x。一In( X1X2).設(shè) g(x) =21-In x,【素養(yǎng)解讀】+ f(X2) = #1 In X1 + yX2In X2=1則 g (x) = 4xh/X-4).X(0,16)16(16 , +00)g (x)一0十g(x)單調(diào)遞減2 4ln 2單調(diào)遞增所以 g(x)在256 , +8)上單調(diào)遞增.故g(xiX2)g(256) = 8 8ln 2 ,即 f(Xi) + f(X2)8 8ln 2.本題的證明過(guò)程不僅考查了邏輯推理的核心素養(yǎng)，還在構(gòu)造函數(shù)1g(

14、X)=(2)證明：當(dāng)X1時(shí),g(X)0；1(3)證明：當(dāng)a2時(shí),f(X) g(X)在區(qū)間(1 , +8)恒成立.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)由題意得,12ax2 -1f (x) =2ax-=-(x0).X Xawo 時(shí)，f，( x)0 時(shí)，由 f (x)=0,得 x = 1，xC。, 后時(shí)，(x)0, f(x)單調(diào)遞增. 2a(2)證明：令 s(x) =exT x,則 s (x) = e11.當(dāng) x1 時(shí)，s (x)0, s(x)遞增，則 s(x)s(1) =0,所以 exTx,從而 g(x) = ； eU0.(3)證明：當(dāng)a，令 h(x)=f(x) -g(x)( xl).當(dāng)x1時(shí),，/、 c

15、 11h (x) =2axF fx x1 x 111 x3-2x+1 x2-2x+1e x- x+ x2-x=x x20.因此，h(x)在區(qū)間(1 , 十)上單調(diào)遞增.又因?yàn)?h(1)=0,所以當(dāng) x1 時(shí)，h(x) =f (x) -g(x)0 ,即f (x)g(x)恒成立.【例41 (2019 蘭州模擬)已知函數(shù)f(x) = ax2+bx+xln x的圖象在(1 , f(1)處的切線方程為 3x-y-2 =0.(1)求實(shí)數(shù)a, b的值；(2)設(shè)g(x) =x2x,若kC Z,且k(x 2)vf(x)g(x)對(duì)任意的x2恒成立，求k的最大值.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1) f (x) = 2ax

16、+ b+ 1+ ln x,所以 2a+ b+ 1 = 3 且 a+b= 1,解得 a= 1, b= 0.(2)由(1)與題意知 k2 恒成立，設(shè) h(x)=x + xln x(x2) ,則 h ) x2x 2x2x 4 2ln x，2 x 2 ，一，=xZ72一廠，令m(x)= x42lnx(x2),則 m( x)= 1 =-x0,所以函數(shù) mx)為(2,+8)上的增函數(shù).因?yàn)閚(8) =4 2ln 86 2ln e 3 = 66= 0,所以函數(shù)m(x)在(8,10)上有唯一零點(diǎn)x。，即有x。一42lnx0=0 成立，故當(dāng)2Vxx 時(shí)，n(x)0 ,即 h(x)0;當(dāng)x00,即h(x)0,所以

17、函數(shù)h(x)在(2 ,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+)上單調(diào)遞增，所以h(x)min =x0 4 .xo 1 + -xo + xoln x02x0 _x0_ x0_ ，一h(x0)= xo-2= x2=,，所以 k2),x 2這既考查了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，又考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(2)計(jì)算過(guò)程中，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)換成函數(shù)的最值，考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).“【突破訓(xùn)練6】In x(2019 貴州適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x) = axex(aC R), g(x)= -(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)存在x0C(0, +oo),使不等式f (x) wg(x) ex成立，求a的取值范圍.【答案】見(jiàn)解析【解析】 因?yàn)閒 (x)=a ex, xCR.當(dāng)awo時(shí)，f (x)0 時(shí)，令 f (x)=0 得 x=ln a.由f (x)0得f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8, in a)；由f (x)0得f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(In a, +8)