1.2第一型曲面積分ppt課件

1、E-mail: 一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì)實(shí)例實(shí)例 所謂曲面光滑即曲面所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都有切平面上各點(diǎn)處都有切平面, ,且且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí)當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí), ,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng). .4 4 第一類曲面積分第一類曲面積分( (對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分) )1 1、對(duì)面積的曲面積分的概念、對(duì)面積的曲面積分的概念E-mail: .SM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量（1分割分割,121insMMM ( , , ),iiiis （2）取.),(iiiiisM （3求和求和11( ,).nniiiiiiiMMs （4取極限取極限.)

2、,(lim10 niiiiisM 非勻質(zhì)之質(zhì)量，用元素法解決非勻質(zhì)之質(zhì)量，用元素法解決E-mail: 定義定義叫叫被被積積函函數(shù)數(shù)，其其中中),(zyxf.叫叫積積分分曲曲面面 即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 E-mail: 2.2.第一型曲面積分的性質(zhì)第一型曲面積分的性質(zhì)12,（2）若 可分為分片光滑的曲面及則（1） 設(shè)設(shè)c1、c2為常數(shù)為常數(shù) 那么那么( , , )( , , ),f x y zg x y z（3）設(shè)在曲面 上則（4） AdSA，其中 曲面 的面積E-mail: （1） ：z=z(x, y), (x, y)Dxy假定假定 z(x, y) C1(D

3、xy), f (x, y, z) C( )dSznd有有 d =cosdS 或或cosddSddSnMzxy0DxySSnddSM二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算E-mail: 有有 d =cosdS 或或cosddS因?yàn)橐驗(yàn)? 1 , ,(yzxzn所以所以2211cosyzxz故故22d1d dxySzzx y于是于是22( , , )d( , , ( , ) 1d dxyxyDf x y zSf x y z x yzzx yE-mail: ;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(那么那么.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy

4、dSzyxf),( , )xx y z（3） 若曲面：那那么么:( , )yy x z（2） 若曲面E-mail: ( , ) S: ( , ) ( , )( , )xx u vyy u vu vDzz u v （4 4）若若曲曲面面222222uuuuvuvu vvvvExyzFx xy yz zGxyz 記記2S( , , ) ( , ), ( , ), ( , )Df x y z dsf x u vy u v z u vEGF dudv 則則( , , )1Sf x y z 特特別別地地，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，就就得得到到 的的面面積積公公式式2DAEGF dudvE-mail: 例例1 1 計(jì)算計(jì)

5、算zSd其中其中 為球面為球面 x2+y2+z2=a2被平被平面面z=h(0ha)截出的頂部截出的頂部.解：解：222:yxazDxy: x2+y2a2h2222222, zxxaxyzyyaxy又又zyxaODxyhE-mail: 有有222221yxaayzxz故故xyDyxayxazS2222)(dddxyDyxayxa222dd2202220ddhararrahaaln2E-mail: 解解 4321 . 0321 xyzdS所所以以 E-mail: dxdyzzdSyx221 ,3)1()1(122dxdydxdy dSxyz 4原式原式dxdyyxxyxyD)1(3 ,14yxz

6、上，上，在在 xdyyxxdx1010)1(3310(1)33.6120 xxdx xyzdSE-mail: 例例3 3 計(jì)算計(jì)算，Syxd)(22其中其中 是圓錐面是圓錐面22yxz與平面與平面 z=1 所圍圓錐體的整個(gè)外表面所圍圓錐體的整個(gè)外表面.xyz1Dxy2解：解：21 1：22yxzDxy: x2+y21又又2222 zxxxyzyyxyE-mail: 有有2122yzxz故故yxyxSyxxyDdd )(2d )(2222110320dd2rr22E-mail: 2：z=1Dxy: x2+y21又又0 , 0yzxz有有1122yzxz故故22222()d()d d2xyDxyS

7、xyx y從而從而) 12(2d )(22Syxxyz1Dxy2E-mail: 例例4 4解解0)(ydSzx從而從而zxdS原式22:( , )|2 xyxozDx yxyx在面的投影域?yàn)閤關(guān)于 軸對(duì)稱E-mail: 222 2Dx xy dxdy2cos2002 2cosdrr rdr 520642 24cos215d 22221xyxyDx xyzzdxdy原式=2222221xyDxyx xydxdyxy222xyDx xy dxdy (被積函數(shù)是關(guān)于y的偶函數(shù), 且Dxy關(guān)于軸對(duì)稱）x (D為Dxy對(duì)稱區(qū)域的一半) E-mail: 5例例計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分 2SIz dS 22

8、22S: xyza 其其中中解法解法1:由對(duì)稱性，容易看出由對(duì)稱性，容易看出222SSSx dSy dSz dS 所以所以 2221()3SIxyzdS 2S3adS 443a E-mail: 解法解法2 :2 :S的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 :cos sin ,sin sin ,cosxayaza ( , ):02 ,0D 222 sin,0,EaFGa 因因所以所以 22sindSEGF d dad d 22224004cossin3Idaada E-mail: 練練習(xí)習(xí)1 1I() Sxyz ds 計(jì)計(jì)算算 ，其其中中，S S為為上上半半球球面面222zRxy解解:I SSSxdSydSz

9、dS 由對(duì)稱性由對(duì)稱性0SSxdSydS ISzdS 故故S,:xoy將將 投投影影到到平平面面 則則22S: ( , )xyzRyx yD - -x x 222= ( , )|xyDx yxyR 所以所以22223I=1=xyxyxyDDRyzzdxdy RdxdyR -x-xE-mail: 練習(xí)練習(xí)2 2被被積積函函數(shù)數(shù) ),(zyxf222zyx ,解解關(guān)關(guān)于于坐坐標(biāo)標(biāo)面面、原原點(diǎn)點(diǎn)均均對(duì)對(duì)稱稱 , 積積分分曲曲面面 也也具具有有對(duì)對(duì)稱稱性性 , 故故原原積積分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)E-mail: 1 ：azyx , 即即yxaz dxdyz

10、zdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a E-mail: 解解依對(duì)稱性知：依對(duì)稱性知： 坐坐標(biāo)標(biāo)面面對(duì)對(duì)稱稱軸軸對(duì)對(duì)稱稱，關(guān)關(guān)于于拋拋物物面面zyxz22 有有 14成立成立，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzE-mail: dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yxE-mail: 利利用用極極坐坐標(biāo)標(biāo) trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 E-mail: 計(jì)計(jì)算算 xdS, 其其中中 是是圓圓柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所圍圍成成的的空空間間立立體體的的表表面面.例例7 7E-mail: 解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 y