高等數(shù)學(xué)向量代數(shù)與空間解析幾何復(fù)習(xí)

1、第五章向量代數(shù)與空間解析幾何向量既有大小又有方向的量表示：AB或a (幾何表示)向量的大小稱為向量的模，記作 |AB |、|a|、|a|x y z1. 萬向 余弦：(cos , cos , cos ), r=(x,y,z),| r|r | |r | |r |2221二 x y z2 .單位向量 a (cos ,cos ,cos )模為1的向量。3 .模 | a | . x2 y2 z2a a4 .向量加法(減法)a b (x1 x2, y1 y2，z) z2)5 . a - b= | a | - | b | cosx1x2 y1y2 z1z26 ±b a b= 0 (a b= b a

2、)6.叉積、外積i j k| ab| =| a | b |sin =axayazbxbybzaa b= - b a)_x_ 2 亙x2y2z27 .數(shù)乘：k a ka (kx, ky,kz)例 1 | a | 2,| b | 1 a 與 b 夾角為一，求 | a b |。3fff解 |a b | (a b) (a b) . a a 2ab b b|a|2 2 | a | b | cos | b |2I-.22 2 2 1 cos 1、7例 2 設(shè)(a b) c 2 ,求(a b) (b c) (c a)。解 根據(jù)向量的運(yùn)算法則(a b) (b c) (c a)(a b) b (a b) c (

3、c a)(a b) b (c a) (a b) c (c a)(a b) (c a) (a b) c a(a b) c (a c) a (b c) a(a b) c (a b) c2(a b) c 4例3設(shè)向量a i j k, b 3i 4j 5k , x a b, 為實數(shù)，試證：當(dāng)模 x 最小時，向量x必須垂直于向量 bo解由a i j k, b 3i 4j 5k 得|a|2 3,|b|2 50 , a b 12,于是|x|2 (a b)2 |a|22|b|2 2 a b2 6 233 2450 2 50 一 一25256 ,715一b一,一,一252525256由此可知，當(dāng) 時，模|x|最

4、小，因而x a25,715故 x b , , (3, 4,5) 0252525所以，當(dāng)模x最小時，向量x必須垂直于向量 bo8.向量的投影Prj a b= | b| cos 為向量b在向量a上的投影。a - b= | a | Prj a b空間平面與直線空間平面垂直的點(diǎn)的集合。點(diǎn)法式方程：與定點(diǎn) p0(x0, y0,z0)連線和非零向量n= (a, b, c)a(x Xo) b(yy。) c(z zo)0。平面的一般方程:Ax By Cz0, n= (A, B,。截距式方程：- a三點(diǎn)式方程X2X3XiXiXi例 i 求過 O(0,0,0),解(i)點(diǎn)法式n=yiZiy2y3yiyiA(i,3

5、,2)OA OB則平面方程為(x 0) 5( y解(2)設(shè)平面方程為 Ax By代入 A(i,3,2), B(2, i, i)得z2z3ziziB(2,0)i,7(zCz DA 3B2A Bi)點(diǎn)的平面方程0)0,2C(i,5, 7)。0 ,即 x 5y 7z代入O(0,0,0)得D0。0。0小解之得B 5A, C 7A代入方程消去 A得方程為x 5y 7z例2 平面通過點(diǎn)(i,2,3),它在正x軸,正y軸上的截距相等，問此平面在三坐標(biāo)面上截距為何值時，它與三個坐標(biāo)平面圍成的四面體的體積最??？并寫出此平面方程。解依題意設(shè)所求平面的截距式方程為 i ,由于點(diǎn)(i,2,3)在此平面上，故 i四面體

6、之體積V a63a aa 33aoa 3人9令V0得 a 9,c 9。26(x 1) 2(y 2) 3(z 3) 0,(1)例3求過點(diǎn)A(1,1, 1),B( 2, 2,2)和C(1, 1,2)三點(diǎn)的平面方程。x 1解由三點(diǎn)式方程30故所求方程為3( x 1) 9( y 1)6(z 1) 0,即 x 3y 2z 0空間直線方向向量：平行于一已知直線的任一向量稱為直線的方向向量。易知直線上的任一向量都平行于直線的方向向量若設(shè)已知向量為v(l,m, n),則直線的對稱式方程為xX0y v。z Z0n般式方程:Ax B1y C1z D10A,x B2 y C2z D2 0x x0 mt,參數(shù)式方程：

7、 y y0 nt,zZ0pt.例1求過點(diǎn)(1,1,2)點(diǎn)，且與直線y 3x 1平行的直線方程z 2x 5x x解將直線寫成 y 3x 1 ,以x為參數(shù)，則v (1,3,2),故直線方程為z 2x 5x 1 y 1 z 2132例2求過點(diǎn)p0( 1,2, 3)且平行于平面 ：6x 2y 3z 1 0 ,又與直線x_y_J z_J相交的直線方程。325解設(shè)Q(x,y,z)為兩直線的交點(diǎn)，則 P0Q/ , P0Q n 0,即又Q在L上：人 y- 3(2)325令(2) =t解得x, y, z代入 解得t 0 ,在反代入(2)得Q的坐標(biāo)為(-,-,3),得直線為x - y 2 z 3-2- 36&qu

8、ot;點(diǎn)、平面、直線的位置關(guān)系1 .點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)Po(Xo, yo Zo)到平面Ax+By+z+D=0得距離公式為：d =| Axo By°Cz°D |、.A2 B2 C2例1求平面x 2y 2z 6 o和平面4x y 8z 8 o的交角平分面方程。平分面上的點(diǎn)到兩面之間距離相等，故|x 2y 2z 6|4x y 8z 8|2222.421282整理得：x 7 y14x 26 o 或 7x 5y 2z io o例2求平行于平面xy z 9且與球面x2 y2 z2 4相切的平面方程。解由于所求平面與x y z 9平行，故可設(shè)其為:x y z D o。因為與球面x222y2

9、z24相切，所以球心(o,o,o)到 的距離|o o o D |222”1112,解之,2%G,故所求平面方程為x y z 273 o 和 x y z 2 如 o2.點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)M1到直線L的距離為|M0Ml SI s|x例3求點(diǎn)Mo(3, 4,4)到直線一4 y 5 z 2的爪十 的旦巨離。221解 MoM (1,9, 2) , |s| <22( 2)2 123,于是所求距離d |MoM s| |5i 5j 20k |s|5 1 1 16 5,23 .兩平面之間的夾角平面1和平面 2的夾角，cosIAA2C1C212互相垂直相當(dāng)于AA22互相平行或重合相當(dāng)于A2B1B2B2C： .

10、 A2B； C2C1c2 =0；B1C1B2C2:2x 3y 3z 8 0上的投影直線的4 .兩直線的夾角兩直線的法線向量的夾角(通常指銳角)叫做兩直線的夾角直線L1和L2的夾角cos =嗎2n1n22plp21 2222222m1 A p1 , m2 n2 p2兩直線L1、12互相垂直相當(dāng)于 m1m2n1n2p1p2 = 0;兩直線LL2互相平行或重合相當(dāng)于m1上上1.m2n2p25 .直線與平面的夾角直線s=(m n, p),平面n= (A, B, O 夾角為sin| Am Mn Cp |A2 B2 C2 ,m2 n2 p2ABC直線垂直于平相當(dāng)于-BC ；mnp直線平行于或直線在平面上相

11、當(dāng)于Am+Bn+C0.(11)' 7的平面束方程為(12)6 .平面束過直線 L Ax By C1z D10,A2X B2y C2Z D20A1xB1yC1zD1(A2x B2y C2z D2) 0例1 求直線l : -一2X-y -1在平面312方程。 x 3y 4 0 一，解 直線l的方程即為y，故過l的平面束方程為2x 3z 1 0x 3y 4(2x 3z 1)0(1 2 )x 3y 3 z因為此平面與平面垂直，故有(1 2 ,3, 3 ) (2,3,3) 11 50解得一,于是與2x522(1 )x 3y53y 3z 8 0垂直的平面方程為33z5即9x5y 11z 3 0,從

12、而所求投影直線方程為9x 5y 11z 3 02x 3y 3z 8 0f(y,z)x 0其它(旋轉(zhuǎn)曲面方程)繞誰轉(zhuǎn)誰不變，令一個用另兩個變量的平方和的平方根代入故繞z軸旋轉(zhuǎn)，yJx2 y2 ,得f ( vx2 y2,z) 0為旋轉(zhuǎn)曲面方程。2 2x z222222例1a2 c2 1繞x軸轉(zhuǎn)得勺y 2z 1,繞z軸轉(zhuǎn)得x 2y41。aa ca cy 0例2曲線x x(t), y y(t), z z(t)繞z軸旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)曲面方程。解繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時，x2 y2x2(t0) y2(t0), z z(t°), t° t 1(z),代入上式得222121 ,xyx(t (z)y (t (z)例3求x "z繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程。3 26解 承上題：x2y2 x2(t0)y2(t0),令) z t , x 3t, y 2t , z3 2 6則 x2 y2 13t2 13 -613 2 z36x 1 y z 1例4求直線l : 1 在平面 ：x y 2z 1 0上的投影直線10的萬程,111并求I。繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程。“ 一八 ， x y 10, 一、,解將直線1改寫為 "，所以經(jīng)過1的平面方程可設(shè)為y z 1 0x y z (y z 1) 0,即 x (