排列組合題型歸納

1、排列組合題型歸納排列組合難題二十一種方法排列組合問(wèn)題聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排 列組合問(wèn)題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問(wèn)題、組合問(wèn)題還是排列與組 合綜合問(wèn)題；其次要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理。教學(xué)目標(biāo)1 .進(jìn)一步理解和應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理。2 .掌握解決排列組合問(wèn)題的常用策略;能運(yùn)用解題策略解決簡(jiǎn)單的綜合應(yīng)用題。提高學(xué)生解決問(wèn)題分析問(wèn)題的能力3 .學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決排列組合問(wèn)題.復(fù)習(xí)鞏固1 .分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有町種不同的方法，在第2 類辦法中有%種不同的方法，在第類辦法中有乙種不同的方法，

2、 那么完成這件事共有：種不同的方法.做第1步有州種不同的方法，做第22 .分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成個(gè)步 步有叫種不同的方法，做第步有町,種不同的方法，那么完成這件 事共有：種不同的方法.3 .分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完 成整個(gè)事件.解決排列組合綜合性問(wèn)題的一般過(guò)程如下:1 .認(rèn)真審題弄清要做什么事2 .怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時(shí) 進(jìn)行,確定分多少步及多少類。3 .確定每一步或每一類是排列問(wèn)題（有序）還是組合（

3、無(wú)序）問(wèn)題,元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素.4 .解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解 題策略一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1, 2, 3, 4, 5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解：由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置.先排末位共有C；然后排首位共有C：最后排其它位置共有國(guó)由分步計(jì)數(shù)原理得288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最當(dāng)中必旦息甘*帖七旺 仝、1士匚=至正練習(xí)題：7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不 種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略例2. 7人

4、站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一 個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有大用A” 48。種不同的排法要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用練習(xí)題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的 不同種數(shù)為20 三.不相鄰問(wèn)題插空策略 例3. 一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種?解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有屋種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種

5、A：不同的方法,由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有犬K 種莊粕百口前酒片R 電而出砧二支練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩 個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰， 那么不同插法的種數(shù)為3四.定序問(wèn)題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解：（倍縮法）對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其 他元素一起進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的 全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：A/A（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有5種方法，其 余的三個(gè)位置甲乙丙共有4種坐法，則共有&#

6、163;麗法。思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎？一（插入法）先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共 有 方法士擊 m HiHvrr中 &欣練習(xí)題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸 增加，共有多少排法？五.重排問(wèn)題求易策略例5,把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解：完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有工種分法.把第二名 實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推，由分步計(jì)數(shù)原理共有7。種不同 的排法允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象,練習(xí)題：1 .某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將

7、這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為422 .某8層大樓一樓電梯上來(lái)8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯 的方法二六.環(huán)麗題線排策略例68人圍桌而坐，共有多少種坐法？解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定 一人司并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）!種排法即7!c般地,n個(gè)不同元素作形排列，共有（n-l）18HEMb 由口田II AK目二支r+i向 山 人二聲止面邊練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈1207 .多排問(wèn)題直排策略例7. 8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人

8、坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個(gè) 特殊元素有9種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有£種,其余的 5人在5個(gè)麗上任意排列有占種,則共有絲軍種一他Wt 二等Zk 母夕口練習(xí)題：有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī) 定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同 排法的種數(shù)是工紇8 .排列組合混合問(wèn)題先選后排策略例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少 不同的裝法.解：第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有戊種方法.再把4個(gè)元素（包含一個(gè)復(fù)合元素）裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有用種方法，根據(jù)分步甘:原理裝球的方法共有C）：板 Hi+E

9、K汨 Nk加石仁T麗 壓遙仁歸上旦息甘* 砧練習(xí)題：一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不 同的任務(wù)，每人完成一種任務(wù)，且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加，則不 同的選法有192種9 .小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略例9.用1, 2, 3, 4, 5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1, 5在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把1, 5, 2, 4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排隊(duì)共有勺種排法，再排小 集團(tuán)內(nèi)部共有心8種排法，由分步計(jì)數(shù)原理痛心抬A ；種排法.0爪徐可1士佗為七1旦甫|+|汪啦右Jr U 已練習(xí)題：1 .計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國(guó)畫，排成

10、一 行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為2 . 5男生和5女生站成一排照鼠場(chǎng)相鄰,女生也相鄰的排法有福屋屋種十.元素相同問(wèn)題隔板策略 例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案?解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個(gè)空隙。在9個(gè)空檔中選6個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成7份，對(duì) 應(yīng)地分給7個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有C；種分法。將n個(gè)相同的元素分成m份（n, m為正整數(shù)）,練習(xí)題:1 .10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一有多少裝法？ C；2 . x + y + z + v=1。求這個(gè)方程組

11、的自然數(shù)解的組數(shù)盤。3十一.正難則反總體淘汰策略 例11.從0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于 10的偶數(shù)，不同的取法有多少種？解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取 法有點(diǎn)，只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有和為偶數(shù)的取法共有+再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有C0 + C-9有些排列組合問(wèn)題，正面直接考慮比較復(fù)練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué)，從中任抽5人，正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種？十二.平均分組問(wèn)題除法策略例12. 6本不同

12、的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？解：分三步取書得空色種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6 本書為ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記 為 (AB,CD,EF),貝lj 中 還 有(AB, EF, CD), (CD, AB, EF), (CD, EF, AB) (EF, CD, AB), (EF, AB, CD)共有 A；種取法，而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法，故共有 種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情練習(xí)題：1將13個(gè)球隊(duì)分成3組，一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4個(gè)隊(duì)，有多少分法？2.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人，另兩組3人但正

13、副班長(zhǎng)不能分在同一 組，有多少種不同的分組方法(1540)3 .某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí) 的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為39。)十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演 出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。選上 唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有種,只會(huì)唱的5人 中只有1人選上唱歌人員GGC：種,只會(huì)唱麗人中只有2人選上 唱歌人員有優(yōu)種,由分類計(jì)數(shù)原理共有CjC； + C；C；C： + C；C

14、；種 o解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性練習(xí)題：1 .從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有些2 . 3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人，2號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只 能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船，這3人共 有多少乘船方法.(27)本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：* 以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)* 以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)* 以只會(huì)跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果十四.構(gòu)造模型策略例14.馬路上有編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉

15、其中的3 盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條 件的關(guān)燈方法有多少種？解:把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈 有以種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟練習(xí)題：某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么 不同的坐法有多少種？(120)十五.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1, 2, 3, 4, 5的五個(gè)球和編號(hào)1, 2, 3, 4, 5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5 個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編 號(hào)與盒子的編號(hào)相同有多少投法解：從5個(gè)球中取過(guò)2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有巨種還剩下3球3盒序號(hào)不能 對(duì)應(yīng)，利用

16、實(shí)際操作法，如果剩下3,4, 5號(hào)球，3, 4, 5號(hào)盒3號(hào)球 裝4號(hào)盒時(shí)，則4, 5號(hào)球有只有1種裝法，同理3號(hào)球裝5號(hào)盒 時(shí),4, 5號(hào)球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2種3號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)練習(xí)題:1 .同一寢室4人，每人寫一張賀年卡集中起來(lái),然后每人各拿一張別人的賀 年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？（9）2 .給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種可選顏色，則不同的著色方法有2種十六.分解與合成策略例16. 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析:先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2X3X5 X 7 X11X1

17、3依題意可知偶因數(shù)必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積,所有的偶因【為:有選法所以從5X5 人第仁選法。練習(xí):正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線解：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共72 = 58,每個(gè)四面體有3對(duì)異面直線,正方體中的8個(gè)頂點(diǎn)可連成3x58 = 174對(duì)異面直線分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最基本的胡前壁放 癡一人行知 門麗zk胸號(hào) n 人爪 日新?tīng)柺?化歸策略例17. 25人排成5X5方陣,現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一 列，不同的選法有多少種？解：將這個(gè)問(wèn)題退化成9人排成3X3方陣,現(xiàn)從中選3人，要求3 人不在同一行也不在同一列,有

18、多少選法.這樣每行必有1人從 其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，如此繼 續(xù)下去.從3X3方隊(duì)中選3人的方法有種。再?gòu)?X5方陣選出3X3方陣便可解決問(wèn)題.從5義5方隊(duì)儀）®O© 列處理復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)可“癡一人 口前汩/卅一人輅詼練習(xí)題:某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？(段=35)十八.數(shù)字排序問(wèn)題查字典策略 例18.由0, 1, 2, 3, 4, 5六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的比324105 大的數(shù)？解：N = 2A； +2A： +A：+A； +A； =297數(shù)字排序問(wèn)題可用查 "此吐太曲

19、砧吐?lián)艟毩?xí):用0, 1, 2, 3, 4, 5這六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從 小到大排列起來(lái),第71個(gè)數(shù)是 3140十九.樹(shù)圖策略例19. 3人相互傳球,由甲開(kāi)始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)5次傳求后，球 仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有 N = 10對(duì)于條件比較復(fù)雜的排練習(xí)：分別編有1,2,3,4,5號(hào)碼的人與椅,其中1號(hào)人不坐/號(hào)椅(i = 1,2,3,4,5) 的不同坐法有多少種？ N = 44一 +復(fù)雜分舉問(wèn)題表格笛略M 20.有混、黃、蘭色的球各5只，分別標(biāo)有A、B、C、D、E五個(gè)字母,現(xiàn) 從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法紅111223黃

20、123121321211取法。了：*clc3C2clc2c2一些復(fù)雜的分類選取題,要滿足的條件二十一：住店法策略解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一 類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再 利用乘法原理直接求解例21.七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能 的種數(shù)有-分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生 看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由 乘法原理得7,種.小結(jié)本節(jié)課，我們對(duì)有關(guān)排列組合的幾種常見(jiàn)的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固。排列組 合歷來(lái)是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，通過(guò)

21、我們平時(shí)做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的 特點(diǎn)是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨(dú)特，數(shù)字龐大，難以驗(yàn)證。 同學(xué)們只有對(duì)基本的解題策略熟練掌握。根據(jù)它們的條件,我們就可以選取 不同的技巧來(lái)解決問(wèn)題.對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題,我們可以將幾種策略結(jié) 合起來(lái)應(yīng)用把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，舉一反三，觸類旁通，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)打 下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。一、教學(xué)目標(biāo)：1 熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公 式；2 .能運(yùn)用倒序相加、錯(cuò)位相減、拆 項(xiàng)相消等重要的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求和運(yùn)算；3 .熟記一些常用的數(shù)列的和的公式.二、教學(xué)重點(diǎn): 特殊數(shù)列求和的方法.三、教學(xué)過(guò)程：(-)主要知識(shí)：1 .直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求

22、和公式求 和。(1)等差數(shù)列的求和公式：臬="人+與為(2)等比數(shù)列的求和公式)(切記：公 -q比含字母時(shí)一定要討論)2 .公式法：/女 2 =+22+32 + /= ( + 1)(2 + 1)A.16 3 = 13 +23 +33 +. + /75= "/)1L 2 一3 .錯(cuò)位相減法：比如“等差也將比，求他 .4 .裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。常見(jiàn)拆項(xiàng)公式:1 _ 1 1n(/i +1) n n + 1m=Q? + l)j!1 .b _1(11)()(2-1)(2 + 1) 2 2-1 2n +15 .分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干

23、項(xiàng)，使其 轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。6 .合并求和法:如求lOO? -99n(n + 2)2 n n + 2 +982-972 + +2?/的和o7 .倒序相加法：8 .其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法等 (二)主要方法：1 .求數(shù)列的和注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式；2 .求和過(guò)程中注意分類討論思想的運(yùn)用；3 .轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用；(三)例題分析：例1.求和：sn =i + ii + iii+ - 個(gè) S“ ="+32 +(/ +-L)2 +(x" + 二)2 X廠X求數(shù)列 1, 3+4, 5+6+7, 7+8+9+10,前n項(xiàng)和5.思路分析：通過(guò)分組，直接用公式

24、求和。解：=11 = 14-10+102+ - +10" =-(10A -1)A個(gè)95|1=1(10-1) + (102-1)4-+(10,-1) = 1(10+102+-+10,')-/?lr10(10/,-1)110"|-9-10=-川=9981 S” =(/+L+ 2) + (/+4 + 2) + (/“+3 + 2)廠XX= (x2 +x4 + + x2n) + (-4- + + + !) + 2/7廠 X4廠(1)當(dāng)時(shí)，)+2 = 2)+2 X2-l /_1X2/，(X2-l)(2)當(dāng) x = ±喇,S“=4/ci I、c, /CI 八r/c,八

25、 zj 八i (2" 1) + (3" - 2)5 . ->3 .=(2%-1) + 2k + (24 + 1) + + (2攵-1) + (2-1) = - = -k k222oN 八 3 /1與 、5 ( + l)(2 + l) 3 n(n +1)S =+a)+.- + a = (1 一 +2一十. + -)7(1 + 2 + . + ) = 7.-222622= 3(+ 1)(5 - 2)6總結(jié)：運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比 q = 1或夕W 1討"論。2 .錯(cuò)位相減法求和例2.已知數(shù)列1,3a,5a2,(2-1)4("0),求前H

26、項(xiàng)和。思路分析：已知數(shù)列各項(xiàng)是等差數(shù)列1, 3, 5,2n-l 與等比數(shù)列乃對(duì)應(yīng)項(xiàng)積，可用錯(cuò)位相減法求 和。解：S“ =1 + 31 + 5/+ +(21)/7 aSn = a + 3a2 +5a3 + + (2-1)" (2)(1)-(2): (1- 4)S = 1 + 2 + 2a? + 2。3 + . +一 (2 一 1)/a W 1 時(shí)1 - a)S“ = 1 + !"、)- (2 -1)(1一。/S“ = + a-(2n + )an +(2-1)優(yōu)”(I" a = 1 時(shí),S = n23 .裂項(xiàng)相消法求和例3.求和s“看* +(2)2(2“ 一 1)(2

27、 +1)思路分析:分式求和可用裂項(xiàng)相消法求和.解：4=(綺 =且上小= 1 + 1(-一- (21)(2+ 1) (2k-1)(2 攵+ 1)(21)(2+ 1)2 21 2k+ 1c1一11z 11.1 八 12( +1)Sn =a. +% + a =7? + (1)+ () + + () = 7? + (1)=233 5 2n-l In +12 In +12 + 1心 +1)(=)練習(xí):求s.+3+M+=答案：幅 Ja a aa- 1)一以4-1)"4'5_1)24 .倒序相加法求和例4求證： C； + 3c： + 5C： + + (2 + 1)C； =(H + 1)2&

28、quot;思路分析：由C,：=CL可用倒序相加法求和。證： 令 S“ =C：+3C：+5C：+ 7 + l)C貝!J S” = (2 + 1)C； + (2n - DC；-1 + + 5C： + 3C： + C； v C；=二 + 有：2S“ = (2n + 2)C： + (2n + 2)C： + (2/7 + 2)C； + + (2 + 2)C；S” = (n + DIC； + C： +C；+- + C；J = (n + 1)-2”等式成立5 .其它求和方法還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。例5.已知數(shù)列5，冊(cè)=-2一(一1)",求工O思路分析： % =-2"-2(-1

29、)", 通過(guò)分組，對(duì)n分奇偶討論 求和。解： * =-2 + 2(-1)”, 若 =2,九則S“ =S. =-2(1 + 2 + 3+ + 2?)+ 2*(-1)«Sn = -2(1 + 2 + 3 + + 2 m) = -(2? +1)2？ =+1)若n = 2m-1,則= S9m . = Slin - a9m = 一(2？ +1)2/ + 227n (-1產(chǎn)=-(2/n + l)2m + 2(2m 1)=-4m2 + 2m-2 = 一( +1)2 + ( +1) 2 = -n2 一一2。-n(n + D 0?為正偶數(shù)).,.3 "一2-一2 (為正奇數(shù))預(yù)備：

30、已知f (x) = aix + a2x2 + + 且% 成等差數(shù)列，n 為正偶數(shù)，又/（i）= 2j（-1）= ，試比較/（；）與3的大小。解:/=q +%+%+. + % =n* 2J(l) = % + 2% + % = (6 +%)2=n2n ,d = n2a. +atl = 2n * *d = 2=1 /. afJ =271 1% +(77 -1) J = 2n 4 = 2f(x) = x + 3x2 + 5x3 + + (2/z -l)xn/»； +嗎X少+ (2,I)5)(2)(4)(6)可求得足）=3-心7_（2一心“，；11為正偶數(shù)，/心3（四）鞏固練習(xí):1.求下列數(shù)列的前項(xiàng)和平(1) 5, 55, 555, 5555, ，-(ion-i), ;1 1 1 1 . .1x3 2x4 3x5' n(n + 2)'" % = 丁%7 n +， + l(5 )1