高中數(shù)學(xué)_立體幾何中的向量方法—空間角的計(jì)算教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

1、課題：3.2.3立體幾何中的向量方法空間角的問(wèn)題課型：新授課教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問(wèn)題。2.過(guò)程與方法通過(guò)分析、推導(dǎo)讓學(xué)生掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問(wèn)題。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究思考，廣泛參與，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，會(huì)用空間想像思維解決生活 中實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)重 點(diǎn)掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問(wèn)題教學(xué)難 點(diǎn)掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問(wèn)題教學(xué)方 法通過(guò)觀察.類(lèi)比.思考.交流和討論等.教學(xué)過(guò)程：批注活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)W景、引入課題（5分鐘）問(wèn)題1:在空間中，用空間向量解決立體幾何的步驟？問(wèn)題2:空間中的距離后多少種？用空間向量如何解決？今天

2、我們將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量來(lái)表示并進(jìn)行解決一些角度的應(yīng)用.點(diǎn)題：今天我們學(xué)習(xí)“用空間向量方法求角度問(wèn)題”活動(dòng)二：師生交流、進(jìn)入新知，（20分鐘）問(wèn)題3:回憶立體幾何中后那些空間角？求空間角有那些步驟？1 異向直線所成的角范圍 o° < e <90°方法；平移法；補(bǔ)形法，2 直線與平面所成的角范圍 0° < e <900方法 關(guān)鍵是作垂線，找射影3 二面角方法：定義法；三垂線定理及其逆定理；垂面法4、空間角的計(jì)算步驟一作、二證、三算問(wèn)題 4：設(shè) aai, a2, a3 , b b）,b2 ,b3則（1） a?b c,a ?b

3、（2） cos a, b=aib新課：三種空間角的向量法計(jì)算公式：4 °r T線線角：異面直線 a,b所成的角 ：cos cos a,b ； .，一 r r r線面角：直線a與平面 （法向重n）所成的角：sin cos a,n ；二面角：銳二面角：cos cos mm, n ,其中m,n為兩個(gè)面的法向量?；顒?dòng)三：合作學(xué)習(xí)、探究新知（18分鐘） 利用向量知識(shí)求線線角，線面角，二面角的大小。一、異面線所成角：例1、如圖所示的正方體中，已知尸與£±為四等分點(diǎn)，求異面直線DF與 的夾角的余弦值？方法小結(jié)：1、異面直線a、b.所成的角：在空間中任取一點(diǎn) O,過(guò)點(diǎn)O分別引a/

4、 a , b/ / b ,則a/, b/所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角。兩 條異面直線所成角的范圍：（0,。22、求法：傳統(tǒng)法：把兩條異面直線中的一條放入一個(gè)平面，另一條與 這個(gè)平面有交點(diǎn)，過(guò)這個(gè)交點(diǎn)在平面內(nèi)作第一條的平行線，則這兩條直線所成 的角為兩條異面直線所成的角。然.后解三角形得到。向量法：在直線 a上取兩點(diǎn)A、B,在直線b上取兩點(diǎn)C、D,若直線a uuur uuin與b的夾角為 ，則cos | cos AB, CD |。3、利用向量求異面直線所成的角的步驟為：(1)(2)(3)練習(xí):確定空間兩條直線的方向向量；求兩個(gè)向量夾角的余弦值；確定線線角與向量夾角的關(guān)系；當(dāng)向量夾

5、角為銳角時(shí)，即為兩直線的 夾角；當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí)，兩直線的夾角為向量夾角的補(bǔ)角。RtZkABC中，ZACE = 90 現(xiàn)將沿著平面的法向 量平移到HF1G的位置，已知BC=CA=Cg,取月iCi的中點(diǎn)。1、F，求BD與A"所成的角的余弦值。二、直線與平面所成的角:例2：如圖，在正方體 ABCDYn比J為中，求乂 1B與平面月工國(guó)CD所成的角。方法小結(jié)：1、直線a與平面 所成角：斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角。直線與平面所成角的范圍為：0,。22、求法：求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即 確定過(guò)斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足，這時(shí)經(jīng)常要用面面

6、垂直來(lái)確定垂足的位置。若垂足的位置難以確定，可考慮.用三棱錐體積等量來(lái)求出斜線上一點(diǎn) 到平面的距離。r運(yùn)用向量：設(shè)n是平面 的法向量，A、B是直線m上的點(diǎn)，如果直線uuu r m與平面 所成的角為，則sin |cos AB, n |。3、利用向量法求直線與平面所成角的步驟為：(1) 確定直線的方向向量和平面的法向量；(2) 求兩個(gè)向量夾角的余弦值；(3) 確定線面角與向量夾角的關(guān)系：向量夾角為銳角時(shí)，線面角與這個(gè)夾角互余；向量夾角為鈍角時(shí)，線面角等于這個(gè)夾角減去90 o練習(xí)：在長(zhǎng)方體ABCD-Wl31G%中，AB = &AD = 8四j = 6'M為SjG上的一點(diǎn)，且用1M =

7、 2,點(diǎn)N在線段上，41川=5，求通)與平面ANM所成的角的正 弦值。三、二面角：例3、已知正方體 ABCD-4l%Q%的邊長(zhǎng)為2,。為AC和BD的交點(diǎn)，M為中點(diǎn)。1）求證：直線用 9_L NHC;2）求二面角比一AM-C的余弦值。%方法小結(jié):1、傳統(tǒng)方法：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的平面角必須滿(mǎn)足：1)角的頂點(diǎn)在棱上；2)角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)；3)角的邊都要垂直于二面角的棱。范圍:2、向量法： 設(shè)向量 ,明為二面角兩個(gè)面的法向量，則有cosS co5.一)cos 6uos(1,一*)丁物All Tig結(jié)論：

8、coscos： n1, n2 關(guān)鍵：觀察二面角的范圍3、利用法向量求二面角的步驟(1)確定兩個(gè)平面的法向量(2)求兩個(gè)法向量夾角的余弦值(3)確定二面角的范圍；二面角的范圍要通過(guò)圖形觀察，法向量一般不能體現(xiàn)。練習(xí)：如圖，已知：直角梯形OABC中，OA/BC, U06 =面,且OS=OC = BC=1,OA=2.求：(1)OS與面SAB所成角的余弦值；(2)二面角B-AS-O的余弦值?；顒?dòng)四：歸納整理、提高認(rèn)識(shí)（2分鐘）1 .異面直線所成角：85日 KoSqWz# |2 .直線與平面所成的角：防口。_3 . 二面角： QJ50 二匚口COS = -COS11aL 曰Mi n2活動(dòng)五：作業(yè)布置、提

9、高鞏固1 .書(shū)面作業(yè)：P111 A 組：1、5、6、7板書(shū)設(shè)計(jì)：用向量方法研究立體幾何一角度1、空間中角度種典例1：例2:2、用向量方法解決空間角度的步驟？教學(xué)后記：立體幾何中的向量方法-空間角的計(jì)算-學(xué)情分析1、知識(shí)能力方面：通過(guò)分析、推導(dǎo)讓學(xué)生掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問(wèn) 題。通過(guò)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究思考，廣泛參與，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，會(huì)用空 間想像思維解決生活中實(shí)際問(wèn)題。2、思維發(fā)展方面:學(xué)生抽象邏輯思維還不成熟，在從實(shí)例深入到理論的過(guò)程中，需要老 師的引導(dǎo)和幫助。他們基本上可以掌握辯證思維（一般到特殊的演繹過(guò)程、 特殊到一般的歸納過(guò)程）。3、情感發(fā)展方面：獨(dú)立性自主性是學(xué)生情感發(fā)展的主要

10、特征。學(xué)生的意志行為越來(lái)越多， 他們追求真理正義善良和美好的東西。高層自我調(diào)控在行為控制中占主導(dǎo) 地位，一切外控因素只有內(nèi)化為自我控制時(shí)才能發(fā)揮其作用。立體幾何中的向量方法-空間角的計(jì)算效果分析課堂教學(xué)效果較好，各種教學(xué)手段的運(yùn)用和教學(xué)方法的選擇使課堂教學(xué)效果達(dá)到預(yù)期的計(jì)劃。學(xué)生通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)， 掌握了運(yùn)用向量方法解決立體幾何中的角的計(jì)算問(wèn)題。而且有助于學(xué)生觀察分析能力與計(jì)算能力的培養(yǎng)， 有助于學(xué)生運(yùn)算技能的訓(xùn)練和提高， 對(duì)學(xué)生進(jìn) 一步理解解析法和數(shù)形結(jié)合思想有很好的作用， 也進(jìn)一步鞏固了立體幾何的學(xué)習(xí)與研究方法。從學(xué)生回答問(wèn)題、練習(xí)等可看出新知識(shí)掌握的比較不錯(cuò)。教學(xué)任務(wù)照顧到少數(shù)尖子學(xué)生，

11、也保障了大多數(shù)中下學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。立體幾何中的向量方法-空間角的計(jì)算 教材分析立體幾何中的向量方法被安排在新課標(biāo) 數(shù)學(xué)選修2 - 1的第在此之前三章第二節(jié)，主要討論的是用空間向量處理立體幾何問(wèn)題 安排了空間向量及其運(yùn)算這一節(jié)，將向量由二維拓展為三維，為學(xué)生 學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)作了必要的鋪墊。立體幾何中的向量方法既是前面內(nèi)容 的延展與深化，又是代數(shù)與幾何知識(shí)的交匯點(diǎn)，產(chǎn)生了一種解決幾何 問(wèn)題的新視角，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問(wèn)題提供了 一個(gè)十分有效的工具。同時(shí)它也體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的“注重提 高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”的課程基本理念。立體幾何中的向量方法-空間角的計(jì)算 測(cè)評(píng)練習(xí)1.判斷下列

12、命題對(duì)錯(cuò)(在括號(hào)內(nèi)打或“X”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.()(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.()(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.() 兀.一 (4)兩異面直線夾角的范圍是0,5，直線與平面所成角的范圍是一 兀 一0,二面角的范圍是0，兀.()解析(1)兩直線的方向向量所成的角是兩條直線所成的角或其補(bǔ)角； (2)直線的方向向量a,平面的法向量n,直線與平面所成的角為。， 則 sin 6 = |cos a, n| ;(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角或其補(bǔ)角.答案 (1) x (2) 乂 (3) 乂 (

13、4) V2.（選修21P104練習(xí)2改編）已知兩平面的法向量分別為m （0 ,1,0） , n=（0, 1, 1）,則兩平面所成的二面角為（）A.45B.135C.45 或 135D.90m- n 1：'2解析 cos <m, n> =-=即m n=45 .I mi n| 1 - V22兩平面所成二面角為45或180° -45 = 135 .答案 C3.已知向量m n分別是直線l和平面a的方向向量和法向量，若cos1 ,m, n> =-2,則l與a所成的角為.1一 一解析 設(shè) l 與 a 所成角為。: cos ni n> = 2， sin 。= I,1

14、一八一八 一cos <m, n> I =2,0 < e <90 ,8 =30 .答案 304 .已知正方體ABCDABGD如圖所示，則直線BD和,： 上 CD所成的角為.解析以A為原點(diǎn)，曲曲AA分別為x, y, z軸的“'正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 1,則CD= （ 1, 0,1), Bb= ( 1, 1, 1), cos* BD =1!%3=0.所以?xún)芍本€所成的角為90 答案 905 . （2018 鄭州預(yù)測(cè)）過(guò)正方形ABCD）頂點(diǎn)A作線段PZ平面ABCD若AB= PA則平面ABPW平面CDpf成的二面角為 .解析 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

15、AB= PA= 1,則 A(0, 0, 0),以0, 1, 0), R0, 0, 1),由題意，ACL平面PAB設(shè)E為PD勺中點(diǎn)，連接AE,則AHPD又CDL平面PAD1 1CDLAE 從而 AE1平面 PCD所以AD” (0 , 1, 0), AE= 0,1萬(wàn)分別是平面PAB平面PCD勺法向量，且AD AE> =45° .故平面PABW平面PCDJf成的二面角為45 .答案 45立體幾何中的向量方法-空間角的計(jì)算課后反思立體幾何中的向量方法被安排在新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修21的第三章第二節(jié)，主要討論的是用空間向量處理立體幾何問(wèn)題。 在此之前 安排了空間向量及其運(yùn)算這一節(jié)，將向量由二維拓

16、展為三維，為學(xué)生 學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)作了必要的鋪墊。立體幾何中的向量方法既是前面內(nèi)容 的延展與深化，又是代數(shù)與幾何知識(shí)的交匯點(diǎn)，產(chǎn)生了一種解決幾何 問(wèn)題的新視角，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問(wèn)題提供了 一個(gè)十分有效的工具。同時(shí)它也體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的 “注重提 高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”的課程基本理念 。學(xué)生是教學(xué)的主體，本節(jié)課能給學(xué)生提供各種參與機(jī)會(huì)。為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生化被動(dòng)為主動(dòng)。本節(jié)課我利用多媒體輔助教學(xué)，教學(xué)中我引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例出發(fā)，從中認(rèn)識(shí)向量運(yùn)算解決幾何中運(yùn)算問(wèn)題的必要性。在教學(xué)重難點(diǎn)上，步步設(shè)問(wèn)、啟發(fā)學(xué)生的思維, 通過(guò)課堂練習(xí)、探究活動(dòng)，學(xué)生討論的方式來(lái)加深理解，很

17、好地突破難 點(diǎn)和提高教學(xué)效。讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，充分地動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦， 掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。在本節(jié)課中也有很多不足和需要改進(jìn)的地方，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)更嚴(yán)密、 更科學(xué)。尤其要預(yù)留出學(xué)生討論探究的時(shí)間。 要繼續(xù)提高自己的教學(xué) 素養(yǎng)，提高自己教學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，多聽(tīng)、多學(xué)、多練。 在課堂結(jié)構(gòu) 上，也要再多下功夫，研究學(xué)生的學(xué)情，調(diào)動(dòng)學(xué)生的課堂參與度?？偟膩?lái)說(shuō)，本節(jié)課條理清晰，舉例恰當(dāng)，分析到位，從學(xué)生的課 堂反應(yīng)和練習(xí)效果來(lái)看，整體掌握情況較好，為下一課時(shí)的學(xué)習(xí)打下 了很好的基礎(chǔ)。立體幾何中的向量方法-空間角的計(jì)算-課標(biāo)分析教材分析：立體幾何中的向量方法被安排在新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修21的第三章第二節(jié)，主要討論的

18、是用空間向量處理立體幾何問(wèn)題。 在此之前 安排了空間向量及其運(yùn)算這一節(jié)，將向量由二維拓展為三維，為學(xué)生 學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)作了必要的鋪墊。立體幾何中的向量方法既是前面內(nèi)容 的延展與深化，又是代數(shù)與幾何知識(shí)的交匯點(diǎn)，產(chǎn)生了一種解決幾何 問(wèn)題的新視角，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問(wèn)題提供了 一個(gè)十分有效的工具。同時(shí)它也體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的 “注重提 高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”的課程基本理念。教學(xué)目標(biāo)：(1)知識(shí)與技能：掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問(wèn)題。(2)過(guò)程與方法：通過(guò)分析、推導(dǎo)讓學(xué)生掌握空間立體幾何中用向 量方法求角度問(wèn)題。(3)情感態(tài)度價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究 思考，廣泛參與，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，會(huì)用空間想像思維解決生活中 實(shí)際問(wèn)題。重難點(diǎn)：重點(diǎn)：掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問(wèn)題。