四大強(qiáng)度理論

1、第10章強(qiáng)度理論10.1強(qiáng)度理論的概念構(gòu)件的強(qiáng)度問題是材料力學(xué)所研究的最基本問題之一。通常認(rèn)為當(dāng)構(gòu)件承受的載 荷達(dá)到一定大小時(shí)，其材料就會(huì)在應(yīng)力狀態(tài)最危險(xiǎn)的一點(diǎn)處首先發(fā)生破壞。故為了保 證構(gòu)件能正常地工作，必須找出材料進(jìn)入危險(xiǎn)狀態(tài)的原因，并根據(jù)一定的強(qiáng)度條件設(shè) 計(jì)或校核構(gòu)件的截面尺寸。各種材料因強(qiáng)度不足而引起的失效現(xiàn)象是不同的。如以普通碳鋼為代表的塑性材 料，以發(fā)生屈服現(xiàn)象、出現(xiàn)塑性變形為失效的標(biāo)志。對(duì)以鑄鐵為代表的脆性材料，失 效現(xiàn)象則是突然斷裂。在單向受力情況下，出現(xiàn)塑性變形時(shí)的屈服點(diǎn)匚s和發(fā)生斷裂時(shí) 的強(qiáng)度極限6可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。二s和匚b統(tǒng)稱為失效應(yīng)力，以安全系數(shù)除失效應(yīng)力得到 許用應(yīng)力！

2、，于是建立強(qiáng)度條件 可見，在單向應(yīng)力狀態(tài)下，強(qiáng)度條件都是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的。實(shí)際構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)往往不是單向的。實(shí)現(xiàn)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的實(shí)驗(yàn)，要比單向拉伸或壓縮困難得多。常用的方法是把材料加工成薄壁圓筒（圖10-1），在內(nèi)壓P作用下，筒壁為二向應(yīng)力狀態(tài)。如再配以軸向拉力F，可使兩個(gè)主應(yīng)力之比等于各種預(yù)定的數(shù)值。這種薄壁筒試驗(yàn)除作用內(nèi)壓和軸力外，有時(shí)還在兩端作用扭矩，這樣還 可得到更普遍的情況。此外，還有一些實(shí)現(xiàn)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的其他實(shí)驗(yàn)方法。盡管如此，要完全復(fù)現(xiàn)實(shí)際中遇到的各種復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)并不容易。況且復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)中應(yīng)力組合 的方式和比值又有各種可能。如果象單向拉伸一樣，靠實(shí)驗(yàn)來確定失效狀態(tài)，建立強(qiáng)

3、度條件，則必須對(duì)各式各樣的應(yīng)力狀態(tài)一一進(jìn)行試驗(yàn)，確定失效應(yīng)力，然后建立強(qiáng)度 條件。由于技術(shù)上的困難和工作的繁重，往往是難以實(shí)現(xiàn)的。解決這類問題，經(jīng)常是 依據(jù)部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果，經(jīng)過推理，提出一些假說，推測(cè)材料失效的原因，從而建立強(qiáng)度 條件。經(jīng)過分析和歸納發(fā)現(xiàn)，盡管失效現(xiàn)象比較呑，強(qiáng)度不足引起的失效現(xiàn)象主要還是屈服和斷裂兩種類型。同時(shí)，衡量受力和變形程度的量又有應(yīng)力、應(yīng)變和變形能等。人們?cè)陂L期的生產(chǎn)活動(dòng)中，綜合分析材料的失效現(xiàn)象和資料，對(duì)強(qiáng)度失效提出各種假 說。這類假說認(rèn)為，材料之所以按某種方式（斷裂或屈服）失效，是應(yīng)力、應(yīng)變或變形能等因素中某一因素引起的。 按照這類假說，無論是簡單應(yīng)力狀態(tài)還是復(fù)雜應(yīng)

4、力狀態(tài)， 引起失效的因素是相同的。也就是說，造成失效的原因與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。這類假說稱 為強(qiáng)度理論。利用強(qiáng)度理論，便可由簡單應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下 的強(qiáng)度條件。至于某種強(qiáng)度理論是否成立，在什么條件下能夠成立，還必須經(jīng)受科學(xué) 實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐的檢驗(yàn)。本章只介紹四種常用強(qiáng)度理論，這些都是在常溫、靜載下，適用于均勻、連續(xù)、 各向同性材料的強(qiáng)度理論。當(dāng)然，強(qiáng)度理論遠(yuǎn)不止這幾種。而且，現(xiàn)有的各種強(qiáng)度理論還不能說已經(jīng)圓滿地解決所有的強(qiáng)度問題，這方面還有待發(fā)展。10.2四種常用強(qiáng)度理論前面提到，強(qiáng)度失效的主要形式有屈服和斷裂兩種。相應(yīng)地，強(qiáng)度理論也分成兩 類，一類是解釋斷裂失效的，其中有最大拉應(yīng)

5、力理論和最大伸長線應(yīng)變理論。另一類 是解釋屈服失效。其中有最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論。10.2.1最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）意大利科學(xué)家伽利略（Galilei）于1638年在兩種新的科學(xué)一書中首先提出最大 正應(yīng)力理論，后來經(jīng)過修正為最大拉應(yīng)力理論，由于它是最早提出的強(qiáng)度理論，所以 也稱為第一強(qiáng)度理論。 這一理論認(rèn)為：最大拉應(yīng)力是使材料發(fā)生斷裂破壞的主要因素。 即認(rèn)為不論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材 料就發(fā)生斷裂。既然最大拉應(yīng)力的極限值與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，于是就可用單向應(yīng)力狀態(tài) 確定這一極限值。單向拉伸時(shí)只有 門；匕二=0 ,當(dāng)二1達(dá)到強(qiáng)度極限 6時(shí)即發(fā)

6、生斷 裂。故據(jù)此理論得知，不論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力C1達(dá)到匚b就導(dǎo)致斷裂。于是得斷裂準(zhǔn)則5 =磯（10 1）將極限應(yīng)力Cb除以安全系數(shù)得許用應(yīng)力故按第一強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條件是G :：卜丨（102）試驗(yàn)證明，這一理論與鑄鐵、陶瓷、玻璃、巖石和混凝土等脆性材料的拉斷試驗(yàn) 結(jié)果相符，例如由鑄鐵制成的構(gòu)件，不論它是在簡單拉伸、扭轉(zhuǎn)、二向或三向拉伸的 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，其脆性斷裂破壞總是發(fā)生在最大拉應(yīng)力所在的截面上。但是這一理 論沒有考慮其他兩個(gè)主應(yīng)力的影響，且對(duì)沒有拉應(yīng)力的狀態(tài)（如單向壓縮、三向壓縮等）也無法應(yīng)用。10.2.2最大伸長線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）法國科學(xué)家馬里奧（E. Mari

7、otte）在1682年提出最大線應(yīng)變理論，后經(jīng)修正為最大 伸長線應(yīng)變理論。這一理論認(rèn)為最大伸長線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。即認(rèn)為不論 什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大伸長線應(yīng)變；1達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值時(shí)，材料即發(fā)生斷裂。1的極限值既然與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，就可由單向拉伸來確定。設(shè)單向拉伸直 到斷裂仍可用虎克定律計(jì)算應(yīng)變，則拉斷時(shí)伸長線應(yīng)變的極限值應(yīng)為cb E。按照這一理論，任意應(yīng)力狀態(tài)下，只要4達(dá)到極限值 6. E，材料就發(fā)生斷裂。故得斷裂準(zhǔn)則為(a)二1 - " ；2 U3 7(10 3)由廣義虎克定律代入（a）得到斷裂準(zhǔn)則將6除以安全系數(shù)得許用應(yīng)力L-I,于是按第二強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條

8、件是；1 - " :2 ；3 _ ! J(10 4)石料或混凝土等脆性材料受軸向壓縮時(shí)，如在試驗(yàn)機(jī)與試塊的接觸面上加添潤滑 劑，以減小摩擦力的影響，試塊將沿垂直于壓力的方向裂開。裂開的方向也就是;1的方向。鑄鐵在拉-壓二向應(yīng)力，且壓應(yīng)力較大的情況下，試驗(yàn)結(jié)果也與這一理論接近。 按照這一理論，鑄鐵在二向拉伸時(shí)應(yīng)比單向拉伸安全，但試驗(yàn)結(jié)果并不能證實(shí)這一點(diǎn)。在這種情況下，第一強(qiáng)度理論比較接近試驗(yàn)結(jié)果。10.2.3最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)法國科學(xué)家?guī)靷?C.A. Coulomb)在1773年提出最大切應(yīng)力理論，這一理論認(rèn)為最大切應(yīng)力是引起屈服的主要因素。即認(rèn)為不論什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大

9、切應(yīng)力Tnax達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生屈服。在單向拉伸下，當(dāng)橫截面上的拉應(yīng)力到達(dá)極限應(yīng)力Ts時(shí)，與軸線成45 的斜截面上相應(yīng)的最大切應(yīng)力為Tax=bs/2 ,此時(shí)材料出現(xiàn)屈服?？梢姸 2就是導(dǎo)致屈服的最大切應(yīng)力的極限值。 因這一極限值與 應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，故在任意應(yīng)力狀態(tài)下，只要Tax達(dá)到bs/2，就引起材料的屈服。由于對(duì)任意應(yīng)力狀態(tài)有 Tax =(5 -貯3)/2，于是得屈服準(zhǔn)則(b):1 -；3( 10-5)將6除以安全系數(shù)得許用應(yīng)力得到按第三強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條件門-；3丨(10-6)最大切應(yīng)力理論較為滿意地解釋了屈服現(xiàn)象。例如，低碳鋼拉伸時(shí)沿與軸線成 45 的方向出現(xiàn)滑

10、移線，這是材料內(nèi)部沿這一方向滑移的痕跡。根據(jù)這一理論得到的屈服 準(zhǔn)則和強(qiáng)度條件，形式簡單，概念明確，目前廣泛應(yīng)用于機(jī)械工業(yè)中。但該理論忽略 了中間主應(yīng)力 三的影響，使得在二向應(yīng)力狀態(tài)下，按這一理論所得的結(jié)果與試驗(yàn)值相比偏于安全。10.2.4形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論)意大利力學(xué)家貝爾特拉密(E. Beltrami)在1885年提出能量理論，1904年胡伯(M . T . Huber)將其修正為形狀改變比能理論。胡伯認(rèn)為形狀改變比能是引起屈服的主要因素。即認(rèn)為不論什么應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀改變比能Uf達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生屈服。單向拉伸時(shí)屈服點(diǎn)為匚s，相應(yīng)的形狀改變比能為12

11、62。這就是導(dǎo)致屈服的形狀改變比能的極限值。對(duì)任意應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀6E改變比能Uf達(dá)到上述極限值，便引起材料的屈服。故形狀改變比能屈服準(zhǔn)則為uis26E在任意應(yīng)力狀態(tài)下，形狀改變必能為 代入式(c)，整理后得屈服準(zhǔn)則為石1 -CT2 ( +(CT2 -CT3 f +(CT3 -CT1 f =CTs(C)(10-7)若將2代入式(10-7)，即得到:3-2 2亠匚2 -；：.一3 2 * ；：.-3 j!. IOsT P(10-8)將;二除以安全系數(shù)得許用應(yīng)力，于是，按第四強(qiáng)度理論得到的強(qiáng)度條件為(d).T2 ' T2 T2 i=： t式(d)是根據(jù)形狀改變比能理論建立的屈服準(zhǔn)則的另一

12、種表達(dá)形式。由此可以看出，這 個(gè)理論在本質(zhì)上仍然認(rèn)為切應(yīng)力是使材料屈服的決定性因素。鋼、銅、鋁等塑性材料的薄管試驗(yàn)表明，這一理論與試驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)接近，它比第 三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果。在純剪切的情況下，由屈服準(zhǔn)則式(10-7)得出的結(jié)果比式(10-5)的結(jié)果大15%，這是兩者差異最大的情況?？梢园阉膫€(gè)強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件寫成以下的統(tǒng)一形式G _ !丁 1(109)式中G稱為相當(dāng)應(yīng)力。它是由三個(gè)主應(yīng)力按一定形式組合而成的，實(shí)質(zhì)上是個(gè)抽象的概念，即G是與復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)危險(xiǎn)程度相當(dāng)?shù)膯屋S拉應(yīng)力(圖10-2)。按照從第一強(qiáng)度理論到第四強(qiáng)度理論的順序，相當(dāng)應(yīng)力分別為O r 1 01硏2 =5 _咖2 +CT3

13、 )r3 = 7(10-10)64=2亠“2 i3亠宀 i1 彳'以上介紹了四種常用的強(qiáng)度理論。鑄鐵、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，通常 以斷裂的形式失效，宜采用第一和第二強(qiáng)度理論。碳鋼、銅、鋁等塑性材料，通常以 屈服的形式失效，宜采用第三和第四強(qiáng)度理論。圖 10 2應(yīng)該指出，不同材料固然可以發(fā)生不同形式的失效，但即使是同一材料，處于不 同應(yīng)力狀態(tài)下也可能有不同的失效形式。例如碳鋼在單向拉伸下以屈服的形式失效， 但碳鋼制成的螺紋根部因應(yīng)力集中引起三向拉伸就會(huì)出現(xiàn)斷裂。又如鑄鐵單向受拉時(shí) 以斷裂的形式失效，但淬火鋼球壓在厚鑄鐵板上，接觸點(diǎn)附近的材料處于三向受壓狀 態(tài)，隨著壓力的增大，鑄鐵

14、板會(huì)出現(xiàn)明顯的凹坑，這表明已出現(xiàn)屈服現(xiàn)象。無論是塑 性材料還是脆性材料，在三向拉應(yīng)力相近的情況下，都將以斷裂的形式失效，在三向 壓應(yīng)力相近的情況下，都可引起塑性變形。因此，我們把塑性材料和脆性材料理解為材料處于塑性狀態(tài)或脆性狀態(tài)更為確切些。 應(yīng)用強(qiáng)度理論解決實(shí)際問題的步驟是：1）分析計(jì)算構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)上的應(yīng)力。2）確定危險(xiǎn)點(diǎn)的主應(yīng)力 :1、:2和；3。3）選用適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論計(jì)算其相當(dāng)應(yīng)力G，然后運(yùn)用強(qiáng)度條件 G 卜I進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。例10-1 由Q235鋼制蒸汽鍋爐的壁厚 t= 10mm，內(nèi)徑D = 1000mm（圖10-3）。蒸 汽壓力P= 3MPa , b 1= 160MPa。試校核鍋爐的強(qiáng)度。

15、圖 10- 3解鍋爐橫截面和縱向截面上的應(yīng)力是鍋爐壁內(nèi)一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力是=150MPa，：.2 =；丁 =75MPa，二3 : 0對(duì)Q235鋼這類塑性材料，應(yīng)運(yùn)用第四強(qiáng)度理論。由式（10-10）得所以鍋爐滿足第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件。也可以用第三強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核。由式（10-10）得可見也滿足第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件。例10-2 構(gòu)件內(nèi)某危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖10-4所示，試按四個(gè)強(qiáng)度理論建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件。圖 10 4解三個(gè)主應(yīng)力分別為 四個(gè)強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為例10-3試按強(qiáng)度理論建立純剪切應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件，并尋求塑性材料許用剪 應(yīng)力h與許用拉應(yīng)力b之間的關(guān)系。圖 10 5解 純剪切應(yīng)力狀

16、態(tài)為二向應(yīng)力狀態(tài)，如圖10-5所示。其三個(gè)主應(yīng)力分別為：叼=t 血=0、$ = t。對(duì)塑性材料應(yīng)采用最大切應(yīng)力理論。按最大切應(yīng)力理論得出的強(qiáng)度條件為 而剪切的強(qiáng)度條件是 比較上兩式可見即T為"的12。這是按最大切應(yīng)力理論求得的T與b之間的關(guān)系。如按形狀改變比能理論，則純剪切的強(qiáng)度條件是與剪切強(qiáng)度條件 T T比較，得即t約為b的0.6倍。這是按第四強(qiáng)度理論得到的t與b之間的關(guān)系。它與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較接近。習(xí)題10-1從低碳鋼零件中某點(diǎn)取出一單元體，其應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，試按第三和第四 強(qiáng)度理論計(jì)算單元體的相當(dāng)應(yīng)力。單元體上的應(yīng)力為（單位：MPa）(1)；：. =40 , s a =40，：

17、=60。；：. =60 , ；一 . .go = 80 ,.= 40。；?。? =50 , ；一 . .go -0. =80。 c, - 40，:曠90、=50. =0。題10-1圖10-2上題中若材料為鑄鐵，試按第一和第二強(qiáng)度理論計(jì)算單元體的相當(dāng)應(yīng)力，"=0.3。10-3試對(duì)鋁合金（塑性材料）零件進(jìn)行強(qiáng)度校核，已知！I -120MPa。危險(xiǎn)點(diǎn)的主應(yīng)力為（單位：MPa）（1） ；?1 =80， ；2 =70，匚 3 = -40。（2） ；1 =0，；一12 = _30 ， 3 = -100。（3 ） ；1 - -50，；2 -70，；3 -160。（4 ） c1 =140，二2 =1

18、40，二3 =110。10-4 試對(duì)鑄鐵零件進(jìn)行強(qiáng)度校核，已知許用拉應(yīng)力！J=30MPa，=0.3。危險(xiǎn)點(diǎn)的主應(yīng)力為（單位：MPa）（1） ；=30，:2 =20，:3 T5。（2）'1 =29，”-'2 =20，=3 - -20。（3 ） _'1 =29，“2 =0，”-3 - -20。10-5鋼制圓柱形薄壁容器，直徑為800mm，壁厚t= 4mm。！I -120MPa。試用強(qiáng)度理淪確定能承受的最大內(nèi)壓力p。10-6圖示為鋼軌與火車車輪接觸點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。已知 g =-650MPa , 匚2 =700MPa，匚3 =-900MPa。鋼軌材料的許用應(yīng)力 ！-250MPa。試用強(qiáng)度理論校 核接觸點(diǎn)處材料的強(qiáng)度。題10-6圖10-7某薄壁球殼的內(nèi)徑為 200mm,其內(nèi)部壓強(qiáng)P = 15MPa，鋼的許用應(yīng)力 U-160MPa。試按第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)薄殼的壁厚。題10-7圖題10-8圖10-8圖示簡支梁，已知其材料的許用應(yīng)力）-170MPa , !）-100M