清華大學大學物理-電勢

1、清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢1 陳信義編陳信義編 第第3章章 電勢電勢電磁學（第三冊）電磁學（第三冊）清華大學大學物理清華大學大學物理- -電勢電勢2目目 錄錄【演示實驗演示實驗】高壓帶電操作、電容器儲能高壓帶電操作、電容器儲能3.1 靜電場的保守性靜電場的保守性3.3 電勢疊加原理電勢疊加原理3.2 電勢差和電勢電勢差和電勢3.4 電勢梯度電勢梯度3.5 電荷在外場中的靜電勢能電荷在外場中的靜電勢能3.6 電荷系的靜電能電荷系的靜電能3.7 靜電場的能量靜電場的能量補充：補充：靜電場環(huán)路定理的微分形式靜電場環(huán)路定理的微分形式清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢33.1 靜

2、電場的保守性靜電場的保守性一、靜電場是保守場一、靜電場是保守場1、點電荷的靜電場是保守場、點電荷的靜電場是保守場 單位正電荷沿任意路徑由點單位正電荷沿任意路徑由點ab b，電，電場力作的功場力作的功只與起、終點位置有關，與只與起、終點位置有關，與移動的路徑無關。移動的路徑無關。rrqE420 有心力場有心力場清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢4L babababLabaUUrqrqrrqrrrqW 0020204444d dd d清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢52、任意電荷體系的靜電場是保守場、任意電荷體系的靜電場是保守場電荷體系由點電荷組成電荷體系由點電荷組成場疊加原理場

3、疊加原理 ibaiibLaibLaiibLarErErErEd dd dd dd d路徑無關路徑無關路徑無關路徑無關 保守性的表述保守性的表述二、靜電場的環(huán)路定理二、靜電場的環(huán)路定理 )(0LrEd d靜電場強沿任意閉合路徑的積分等于零靜電場強沿任意閉合路徑的積分等于零 L清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢6二二、高斯定理與環(huán)路定理完備描述靜電場高斯定理與環(huán)路定理完備描述靜電場( (對任意電場都成立對任意電場都成立) ) )(01dSiSqSE ( (只對靜電場成立只對靜電場成立) ) )(0dLrE【思考思考】勻速運動電荷勻速運動電荷的電場是靜電場嗎？的電場是靜電場嗎？v+Q所以不是

4、靜電場！所以不是靜電場！環(huán)路積分不為零，環(huán)路積分不為零，清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢73.2 電勢差和電勢電勢差和電勢 babarEUUd d靜電場是保守場靜電場是保守場定義電勢差定義電勢差一、電勢差一、電勢差電勢的減少電場力作的功電勢的減少電場力作的功單位正電荷的單位正電荷的電勢能的差。電勢能的差。把單位正電荷由點把單位正電荷由點ab電場力作的功。電場力作的功。清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢8二、電勢二、電勢把單位正電荷自該點移到電勢零點，把單位正電荷自該點移到電勢零點，電電場力作的功。場力作的功。 把單位正電荷自電勢零點移到該點把單位正電荷自電勢零點移到該點外外力

5、作的功。力作的功。 0)(pprEpUd d00 pU選選 p0 點為電勢零點：點為電勢零點： ，則，則 p點電勢點電勢清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢9m電荷分布在有限范圍電荷分布在有限范圍選無窮遠為電勢零點選無窮遠為電勢零點 prdEpU)(通常選地球為無窮遠電勢零點。通常選地球為無窮遠電勢零點。m電荷分布到無限遠時，電勢零點不能選在無電荷分布到無限遠時，電勢零點不能選在無限遠。限遠。電勢零點的選擇：電勢零點的選擇：【演示實驗演示實驗】高壓帶電操作高壓帶電操作清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢10三、三、 幾種帶電體的電勢分布幾種帶電體的電勢分布rqrrqrUr004d4

6、)(2 1、靜止點電荷的電勢靜止點電荷的電勢選無窮遠為電勢零點選無窮遠為電勢零點清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢112、均勻帶電球面的電勢均勻帶電球面的電勢 球面外點的電勢等于處球面外點的電勢等于處于球心的于球心的“點電荷點電荷”在該在該點的電勢。點的電勢。 球面內(nèi)等電勢球面內(nèi)等電勢, , 等于球等于球面上的電勢。面上的電勢。rq0URR RrrqrrqRrRqrrqrrErUrRRrr,44,440)(000022d dd dd dd d清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢12 RrrqRrrRRqrU,4,38)(02230 3、均勻帶電球體的電勢均勻帶電球體的電勢RqrR

7、rrrqERrrRqrE , 41, 41202301 22302138dd)(rRRqrErErURRr :Rr RqU0423)0( 球心：球心：0rURqR清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢134、無限長圓柱面無限長圓柱面( (線電荷密度線電荷密度 ) ) 的電勢的電勢電勢分布：電勢分布： 選選 點為電勢零點點為電勢零點)(00rrp RrrE ,20 電場分布：電場分布：RrE , 0RrpRrpp0r0)ln(2dd)(:0000RrrRrErrrErURr )ln(2)(:000rrrrrErURr d d清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢14電勢零點不能選在無限遠

8、！電勢零點不能選在無限遠！ RrrrRrRrrU),ln(2),ln(2)(0000 rr0R0rp0清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢153.3 電勢疊加原理電勢疊加原理注意：注意：各電荷的電勢零點必須相同。各電荷的電勢零點必須相同。應用電場疊加原理證明應用電場疊加原理證明 ：)()(00pUrErEpUiiippipp d dd d iiEE 在電荷體系的電場中，某點電勢等于各電在電荷體系的電場中，某點電勢等于各電荷單獨在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和荷單獨在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和 iiUU清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢161、點電荷體系、點電荷體系 niiirqpU104)(

9、 2、連續(xù)分布的電荷體系、連續(xù)分布的電荷體系 電電荷荷體體系系rdqpU04)( dqpriqiqjdqpr清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢qROx p【例例】均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢 rqpU04)(d d qqrd d041220044xRqrq rdq清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢18【例例】兩同心帶電球兩同心帶電球面，求面，求 A，B，C 點的點的電勢。電勢。q1q2R1R2ABCrArBrCAAArqqrqrq0210201444 2021012144RqRqUUUCCC 202012144RqrqUUUBBBB AAAUUU21單獨在該

10、點的電勢的和單獨在該點的電勢的和!清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢193.4 電勢梯度電勢梯度一、等勢面一、等勢面電勢相等的點組成的曲面。電勢相等的點組成的曲面。1、電場線與等勢面處處正交，并指向電勢電場線與等勢面處處正交，并指向電勢降低的方向。降低的方向。 2、兩等勢面相距較近處的場強大，相距兩等勢面相距較近處的場強大，相距較遠處場強較小。較遠處場強較小。等勢面特征：等勢面特征：清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢20等勢面等勢面電場線電場線點電荷的等勢面點電荷的等勢面清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢21+等勢面等勢面電偶極子的等勢面電偶極子的等勢面電場線電場線清華

11、大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢22兩相等點電荷的等勢面兩相等點電荷的等勢面等勢面等勢面電場線電場線清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢23等勢面等勢面電場線電場線清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢24等勢面等勢面電場線電場線平行板電容器平行板電容器清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢25人心臟的等電勢人心臟的等電勢線，類似于電偶線，類似于電偶極子。極子。清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢26二、場強和電勢的關系二、場強和電勢的關系證明見力學證明見力學4.8由勢能求保守力。由勢能求保守力。電勢梯度矢量：電勢梯度矢量：U 靜電場中某點的電場強度，等于該點電靜電場

12、中某點的電場強度，等于該點電勢的負梯度勢的負梯度 kzUjyUixUUE靜電場強等于負電勢梯度矢量。靜電場強等于負電勢梯度矢量。清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢27 U 垂直于過該點的等勢垂直于過該點的等勢面，方向是電勢升高最快的方向。面，方向是電勢升高最快的方向。 U 的基本特征：的基本特征： 證明：證明： 垂直于等勢面，垂直于等勢面， 和和 與等勢面相切與等勢面相切n km nmk , ,以等勢面以等勢面U上上 p點為原點作直角坐標系點為原點作直角坐標系UU+D DUn km P清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢28nUnnUnmUmkUkU UU+D DUn km P

13、垂直于過該點的等勢面。垂直于過該點的等勢面。U 所以，所以， 電場線與等勢面處處正交。兩等勢面相距電場線與等勢面處處正交。兩等勢面相距較近處的場強大，相距較遠處場強較小。較近處的場強大，相距較遠處場強較小。因此因此清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢29所以，所以， 的方向是電勢升高最快的方向。的方向是電勢升高最快的方向。U nUnUlUlU cos UU+D DUn km PlnUnU 電場線指向電勢降低最快的方向。電場線指向電勢降低最快的方向。 清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢30【例例】均勻帶電球面，由電勢分布求場強分布。均勻帶電球面，由電勢分布求場強分布。場強沿徑向場強

14、沿徑向 只要計算徑向分量只要計算徑向分量0rURq RrrqRrRqrU,4,4)(00 RrrqrqrRrRqrrrUE,44, 04)(2000清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢31電荷的電量電荷的電量該點的電勢該點的電勢qUW“電荷與電場的相互作用能電荷與電場的相互作用能”3.5 電荷在外場中的靜電勢能電荷在外場中的靜電勢能【例例】氫原子中電子的靜電勢能氫原子中電子的靜電勢能“電子與電場（質(zhì)子）的相互作用能電子與電場（質(zhì)子）的相互作用能”原子核（質(zhì)子）的電勢：原子核（質(zhì)子）的電勢：rerU04)( 電子的靜電勢能：電子的靜電勢能：rerUeW024)()( 清華大學大學物理清華大

15、學大學物理-電勢電勢32【例例】電偶極子在均勻外電場中的電勢能電偶極子在均勻外電場中的電勢能 WWWEpW , （受力矩：（受力矩： ）EpM EpW 【思考思考】勢能勢能W隨隨p的取向如何變化？的取向如何變化？-qE l+ql qp 證明：證明： cosdEllEUU qUqU UUq清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢333.6 電荷體系的靜電能電荷體系的靜電能一、點電荷體系的相互作用能一、點電荷體系的相互作用能其中其中Ui 為為 qi 所在處，由所在處，由 qi 以外的以外的其它電荷其它電荷所所產(chǎn)生的電勢。產(chǎn)生的電勢。 把把 n 個靜止點電荷從現(xiàn)有位置彼此分散到個靜止點電荷從現(xiàn)有位

16、置彼此分散到無窮遠時，它們間的靜電力所作的功，稱為無窮遠時，它們間的靜電力所作的功，稱為這這 n 個點電荷間的相互作用能個點電荷間的相互作用能iniiUqW 121清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢34證明：證明：1、n=2rqqrrqqWr02120214d4 固定固定q1，把，把q2移到無限遠電場力做的功移到無限遠電場力做的功rqUrqU0210124,4 221121UqUqW 寫成對稱形式即寫成對稱形式即q2q1r1122qUqUW 清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢352、n=3q3q2q1 11333133222322111221qUqUqUqUqUqUW 類推，得

17、類推，得iniiUqW 121 33231223211131221qUUqUUqUU 33221121qUqUqU 清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢36式中式中U為在帶電體上，所有電荷在電荷元為在帶電體上，所有電荷在電荷元dq 處的電勢。處的電勢。二、連續(xù)分布的電荷體系的靜電能二、連續(xù)分布的電荷體系的靜電能 各電荷元間的靜電相互作用能各電荷元間的靜電相互作用能（帶電體）（帶電體）qUWd21【思考思考】為什么不包括電荷元為什么不包括電荷元dq 的自能？的自能？清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢37Rq【例例】均勻帶電球體的靜電能均勻帶電球體的靜電能分割成同心薄球殼分割成同心薄

18、球殼（dq）rdrdq)3(8)(2230rRRqrU qqrUWd)(21:點模型的發(fā)散困難點模型的發(fā)散困難RqW02203 :電荷元電荷元dq 的自能為零的自能為零所在處的電勢為所在處的電勢為,靜電能為靜電能為 WR,0若若q不變不變,0, 0WR若若 不變不變,Rq02203 RrrRqrRRq0232230d4343821 清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢38【例例】電子的經(jīng)典半徑電子的經(jīng)典半徑cerecm022203 另一種估算另一種估算:m m152020221082. 244 cmerrecmecce m m15202107 . 1203 cmerec 清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢39體系靜電能體系靜電能 = 相互作用能相互作用能自能自能三、連續(xù)帶電體體系的三、連續(xù)帶電體體系的靜電能靜電能體系體系Q1Q2Q3清華大學大學物理清華大學大學物理-電勢電勢403.7 靜電場的能量靜電場的能量均勻帶電球面的靜電能均勻帶電球面的靜電能: )(d21球球面面qUWRq靜電能貯存在電場中靜電能貯存在