三線共點(diǎn)之探討

1、三 線 共 點(diǎn) 之 探 討一、研究動(dòng)機(jī)在國(guó)立臺(tái)灣師范大學(xué)的某研究所，開了一門國(guó)中生的幾何課程，我正好有機(jī)會(huì)參加這項(xiàng)學(xué)習(xí)。有一回上課中，我們這一組的指導(dǎo)老師給了一道幾何證明題，我從題目的圖形中發(fā)現(xiàn)了題外的一個(gè)可能，這個(gè)圖形是：在一個(gè)三角形的三邊上，分別向外做一個(gè)等邊三角形（如右圖）。我直覺(jué)認(rèn)為，原三角形分別與三個(gè)等邊三角形所組成的四邊形的三條對(duì)角線可能會(huì)相交于同一點(diǎn)，還有那些情況下，三條線會(huì)相交于同一點(diǎn)？我認(rèn)為很值得再進(jìn)一步研究，于是找了幾位同學(xué)共同研究。二、研究目的(一)、與三角形相關(guān)的三條直線什么情況下會(huì)共點(diǎn)？(二)、與各種多邊形相關(guān)的三條直線什么情況下會(huì)共點(diǎn)？(三)、與若干個(gè)多邊形所組合的

2、圖形相關(guān)的三條直線什么情況下會(huì)共點(diǎn)？(四)、圓形與多邊形所組合的圖形相關(guān)的三條直線什么情況下會(huì)共點(diǎn)？三、研究器材紙、筆、計(jì)算機(jī)、The Geometer's Sketchpad四、研究過(guò)程幾何的基本圖形從各類三角形、四邊形、多邊形和圓形。要使圖形產(chǎn)生變化的圖形構(gòu)成元素：點(diǎn)（頂點(diǎn)、中點(diǎn)、切點(diǎn)）、線（直線、線段）、角。由這些元素在限定條件下，直接使圖形產(chǎn)生變化的線有：中線、垂線、中垂線、分角線、對(duì)角線、并行線、切線等。角隨著角度、位置之不同分為：銳角、直角、鈍角、內(nèi)角、外角等。為了要得到三條線可以相交在同一點(diǎn)（共點(diǎn)），我們采取處理問(wèn)題時(shí)重要的科學(xué)方法，那就是觀察與實(shí)驗(yàn)，在獲得事實(shí)之后，再嘗

3、試?yán)盟鶎W(xué)到的知識(shí)加以證明，觀察后的實(shí)驗(yàn)部分我們完全依靠The Geometer's Sketchpad（）來(lái)進(jìn)行。(一)、觀察與實(shí)驗(yàn)：、與三角形相關(guān)的三條直線什么情況下會(huì)共點(diǎn)？()、三角形三邊的中垂線共點(diǎn)（如圖一）。()、三角形的三中線共點(diǎn)（如圖二）。()、三角形三分角線共點(diǎn)（如圖三）。()、三角形過(guò)三頂點(diǎn)與它們對(duì)邊的三垂線共點(diǎn)（如圖四）。、與各種多邊形相關(guān)的三條直線什么情況下會(huì)共點(diǎn)？()、非特定形狀的多邊形沒(méi)有發(fā)現(xiàn)規(guī)則的三線共點(diǎn)情形。()、正五邊形的五條對(duì)稱軸顯現(xiàn)任意三線共點(diǎn)。（如圖五）()、對(duì)稱型的五邊形對(duì)稱軸與兩側(cè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)聯(lián)機(jī)顯現(xiàn)多組三線共點(diǎn)。（如圖六）()、正六邊形的六條對(duì)稱軸

4、顯現(xiàn)任意三線共點(diǎn)。（如圖七）()、有三對(duì)平行邊的六邊形的六條對(duì)稱軸顯現(xiàn)任意三線共點(diǎn)。（如圖八）、與若干個(gè)多邊形所組合的圖形相關(guān)的三條直線什么情況下會(huì)共點(diǎn)？()、三角形三邊分別向外作三個(gè)正三角形，原三角形頂點(diǎn)與正三角形外頂點(diǎn)聯(lián)機(jī)，顯現(xiàn)三線共點(diǎn)。（如圖九）()、三角形三邊分別向外作三個(gè)正方形，原三角形頂點(diǎn)與正方形外邊中點(diǎn)聯(lián)機(jī)，顯現(xiàn)三線共點(diǎn)。（如圖十）()、三角形三邊分別向外作三個(gè)相似等腰三角形，原三角形頂點(diǎn)與相似等腰三角形外頂點(diǎn)聯(lián)機(jī)，顯現(xiàn)三線共點(diǎn)。（如圖十一）()、三角形三邊分別向外作三個(gè)相似矩形，原三角形頂點(diǎn)與相似矩形外邊中點(diǎn)聯(lián)機(jī)，顯現(xiàn)三線共點(diǎn)。（如圖十二）()、三角形三邊分別向外作三個(gè)等腰三角

5、形，原三角形頂點(diǎn)與等腰三角形外頂點(diǎn)聯(lián)機(jī)，若等腰三角形不相似，則未發(fā)現(xiàn)三線共點(diǎn)。（如圖十四）()、三角形三邊分別向外作三個(gè)矩形，原三角形頂點(diǎn)與矩形外邊中點(diǎn)聯(lián)機(jī)，若矩形不相似，則未發(fā)現(xiàn)三線不共點(diǎn)。（如圖十三）、圓形與多邊形所組合的圖形相關(guān)的的三條直線什么情況下會(huì)共點(diǎn)？()、圓形外切四邊形，在對(duì)角線、對(duì)邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)、頂點(diǎn)與非夾邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)，發(fā)現(xiàn)多組三線共點(diǎn)。（如圖十五）()、圓形外切五邊形，在對(duì)角線、對(duì)邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)、頂點(diǎn)與非夾邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)，發(fā)現(xiàn)多組三線共點(diǎn)。（如圖十六）()、圓形外切六邊形，在對(duì)角線、對(duì)邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)、頂點(diǎn)與非夾邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)，發(fā)現(xiàn)多組三線共點(diǎn)。（如圖十七）()、圓形外切七邊形，在對(duì)角線、切點(diǎn)聯(lián)機(jī)、

6、頂點(diǎn)與非夾邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)，發(fā)現(xiàn)多組三線共點(diǎn)。（如圖十八）(二)、歸納與證明：根據(jù)以上以The Geometer's Sketchpad（）繪出圖形所發(fā)現(xiàn)三線共點(diǎn)情形佐以證明如下：、任意三角形()、求證圖一三線共點(diǎn)。令A(yù)BC的二邊、，其中垂線相交于，則，在之中垂在線，得證。()、求證圖二三線共點(diǎn)。令A(yù)BC的二中線、相交于，則CEGBFG，另一中線平分ABG與ACG，必通過(guò)，得證。()、求證圖三三線共點(diǎn)。令A(yù)BC的二分角線、相交于，在另一分角線上，必通過(guò)，得證。()、求證圖四三線共點(diǎn)。、為ABC的三高線，過(guò)、分別作對(duì)邊的并行線相交成，、，、，則、為之中垂線，三線共點(diǎn)，得證。、多于三邊之多邊形(

7、)、求證圖五三線共點(diǎn)。交于，得。交于，則必通過(guò)中點(diǎn)，同理必通過(guò)中點(diǎn)，共點(diǎn)得證。()、求證圖六三線共點(diǎn)。由推得又且平分，必通過(guò)，三線共點(diǎn)，得證。()、求證圖七三線共點(diǎn)。由正六邊形的多組對(duì)應(yīng)線段可得到多組全等三角形，再以中垂線性質(zhì)，到線段二端等距離的點(diǎn)必在線段的中垂在線，多組多線共點(diǎn)，得證。()、求證圖八三線共點(diǎn)。證法與圖七相似，利用三角形全等推得對(duì)應(yīng)線段相等，可證六線共點(diǎn)。、復(fù)合多邊形()、求證圖九三線共點(diǎn)。令弧AB交弧AC于O，由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可知：當(dāng)三角形中一內(nèi)角為120時(shí)，此內(nèi)角頂點(diǎn)即與O重合。當(dāng)三角形中三內(nèi)角都小于120時(shí)，弧AOB=120=弧AOC，AOB=AOC=120，則BO

8、C=120，共點(diǎn)得證。()、求證圖十三線共點(diǎn)。將正方形外邊中點(diǎn)視為相似等腰三角形之頂點(diǎn)，如同上題，另可由Ceva定理得證。()、求證圖十一三線共點(diǎn)。與、同理，由等底等高等面積之關(guān)系及Ceva定理可得證。()、求證圖十二三線共點(diǎn)。將相似矩形外邊中點(diǎn)視為相似等腰三角形之頂點(diǎn)，如同上題，由Ceva定理可得證。、圓形之外切多邊形()、求證圖十五三線共點(diǎn)。過(guò)D作分別平行及交于X、Y。再由可證之交點(diǎn)與之交點(diǎn)重合，三線共點(diǎn)，得證。()、求證圖十六三線共點(diǎn)。與上題證法相同，利用二條線段交點(diǎn)與另二條線段交點(diǎn)重合，可證得三線共點(diǎn)。()、求證圖十七三線共點(diǎn)。與上題證法相同，利用二條線段交點(diǎn)與另二條線段交點(diǎn)重合，可證

9、得三線共點(diǎn)。()、求證圖十八三線共點(diǎn)。與上題證法相同，利用二條線段交點(diǎn)與另二條線段交點(diǎn)重合，可證得三線共點(diǎn)。五、研究結(jié)果(一)、三角形三邊的中垂線共點(diǎn)，為外心。(二)、三角形的三中線共點(diǎn)，為重心。(三)、三角形三分角線共點(diǎn)，為內(nèi)心。(四)、三角形三高線共點(diǎn)，為垂心。(五)、正五邊形的五條對(duì)稱軸，任意三線共點(diǎn)。(六)、對(duì)稱型的五邊形對(duì)稱軸與兩側(cè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（頂點(diǎn)或中點(diǎn)）的二條聯(lián)機(jī)，三線共點(diǎn)。(七)、正六邊形的六條對(duì)稱軸，任意三線共點(diǎn)。(八)、有三對(duì)平行邊的六邊形，對(duì)邊的中點(diǎn)聯(lián)機(jī)三線共點(diǎn)。三組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連接的對(duì)角線，三線共點(diǎn)。(九)、三角形三邊向外側(cè)作三個(gè)正三角形，連接三條對(duì)角線，三線共點(diǎn)。(十)、三角形

10、三邊向外側(cè)作三個(gè)正方形，原三角形頂點(diǎn)與正方形外邊中點(diǎn)聯(lián)機(jī)，三線共點(diǎn)。(十一)、三角形三邊向外側(cè)作三個(gè)相似等腰三角形，連接三條對(duì)角線，三線共點(diǎn)。(十二)、三角形三邊向外側(cè)作三個(gè)相似矩形，原三角形頂點(diǎn)與相似矩形外邊中點(diǎn)聯(lián)機(jī)，三線共點(diǎn)。(十三)、圓形外切四邊形，對(duì)角線及對(duì)邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)，任意三線共點(diǎn)。夾角兩邊端點(diǎn)和對(duì)邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)與對(duì)角線，三線共點(diǎn)。(十四)、圓形外切五邊形，任一頂點(diǎn)和其對(duì)邊切點(diǎn)的聯(lián)機(jī)與其它四個(gè)頂點(diǎn)的二條對(duì)角線，三線共點(diǎn)。(十五)、圓形外切六邊形，三條平分邊數(shù)的對(duì)角線，三線共點(diǎn)。二條平分頂點(diǎn)的切點(diǎn)聯(lián)機(jī)與一條平分邊數(shù)的對(duì)角線，三線共點(diǎn)。(十六)、圓形外切七邊形，二條相間二邊切點(diǎn)聯(lián)機(jī)與相鄰二邊不

11、相交端點(diǎn)聯(lián)機(jī)，三線共點(diǎn)。六、討論在整理好十六例三線共點(diǎn)之后，有同學(xué)提出了疑慮：(一)、實(shí)驗(yàn)（二）中的對(duì)稱多邊形與實(shí)驗(yàn)（四）中的圓外切多邊形，除了已連接的線段發(fā)現(xiàn)了三線共點(diǎn)，是否還有其它聯(lián)機(jī)也能三線共點(diǎn)？有了疑點(diǎn)，我們重新開啟存在計(jì)算機(jī)內(nèi)的圖文件，再增加一些點(diǎn)的聯(lián)機(jī)之后，發(fā)現(xiàn)果然有一些可能遺漏的三線共點(diǎn)情形，經(jīng)過(guò)拉動(dòng)圖形實(shí)驗(yàn)，這些共點(diǎn)仍然存在，確定為三線共點(diǎn)無(wú)誤。（如右圖）(二)、實(shí)驗(yàn)（三）是否還有其它向外側(cè)作圖也會(huì)三線共點(diǎn)？我們經(jīng)過(guò)了幾翻試驗(yàn)，又找出了一種有三線共點(diǎn)的情形，同樣的由三角形三邊分別向外作三個(gè)與原三角形全等的三角形，并且使三個(gè)全等三角形向外的內(nèi)角角度都不相同，它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系角向相同

12、方向旋轉(zhuǎn)排列，這時(shí)三條對(duì)角線出現(xiàn)共點(diǎn)情形，經(jīng)過(guò)動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)無(wú)誤。(三)、這些三線共點(diǎn)情形是否存在著共同的特性？在經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)后，我們發(fā)現(xiàn)所有的三線共點(diǎn)都是在圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系點(diǎn)的聯(lián)機(jī)段發(fā)生的，如果不是在圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系點(diǎn)的聯(lián)機(jī)段，就沒(méi)有發(fā)現(xiàn)三線共點(diǎn)。七、結(jié)論(一)、三角形的三條中垂線、三條中線、三條分角線及三條高線都會(huì)共點(diǎn)，其點(diǎn)分別為外心、重心、內(nèi)心及垂心。這四種三線共點(diǎn)情形，都具有Ceva定理的性質(zhì)。(二)、多（大于）邊形中的頂點(diǎn)、邊上中點(diǎn)間的聯(lián)機(jī)段，如果該多邊形非對(duì)稱圖形時(shí)，除了可能有少數(shù)特例，大都無(wú)三線共點(diǎn)現(xiàn)象；如果該多邊形為對(duì)稱圖形時(shí)，則有多組三線共點(diǎn)現(xiàn)象。(三)、一個(gè)任意三角形，由三邊向外側(cè)作出三個(gè)多邊形，如所作出的多邊形不相似時(shí)，除了可能有少數(shù)特例，都無(wú)三線共點(diǎn)現(xiàn)象；如果該多邊形為相似圖形時(shí)，則會(huì)有三線共點(diǎn)現(xiàn)象。(四