基于參數(shù)方程的橢圓時(shí)間分割插補(bǔ)方法

1、基于參數(shù)方程的橢圓時(shí)間分割插補(bǔ)方法合肥工業(yè)大學(xué)吳焱明王純賢王治森摘要推導(dǎo)出了CNC系統(tǒng)中基于參數(shù)方程的任意方位橢圓的時(shí)間分割插補(bǔ)方法,對該算法進(jìn)行了實(shí)時(shí)性和誤差分析。結(jié)果表明該算法能自動(dòng)過象限,終點(diǎn)判別簡單,編程方便,具有較快的插補(bǔ)速度,能獲得任何要求的插補(bǔ)精度。關(guān)鍵詞橢圓插補(bǔ)參數(shù)方程誤差A(yù)bstractAplanaranyellipseinterpolationbsedonparameterequationwithtimepartitionmethodisproposed.Theinterpolationtimeander-rorareanalyzed.Theanalysisshowstha

2、tthealgo-rithmisofhigh.KeywordsEllipseInterpolationParame-terequationError0引言橢圓是數(shù)控加工中常見的一種二次曲線,而一般的數(shù)控系統(tǒng)只有直線和圓弧插補(bǔ)功能,當(dāng)加工橢圓時(shí)只好用圓弧來擬合逼近,這樣會(huì)造成分段多、光順性差和逼近精度低等問題。本文基于橢圓的參數(shù)方程,推導(dǎo)出了以絕對方式來計(jì)算任意方位橢圓插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)的算法,從而消除了累積誤差,該算法不需要作任何判斷就可自動(dòng)過象限,且終點(diǎn)判別極為簡單,實(shí)時(shí)性好。1插補(bǔ)算法平面任意位置和任意方向的橢圓如圖1所示。X0O0Y0為機(jī)床坐標(biāo)系,以橢圓中心為原點(diǎn),建立圖示坐標(biāo)系XOY和XOY。

3、XOY為X0O0Y0的平移坐標(biāo)系, 為OX與OX的夾角,OX為橢圓的長軸方工,完成編程出錯(cuò)檢查和NC代碼優(yōu)化,同時(shí)為生產(chǎn)現(xiàn)場提供直觀工藝數(shù)據(jù)文件。若將加工過程分析和系統(tǒng)仿真等程序檢驗(yàn)環(huán)節(jié)聯(lián)合使用,不僅可使編程、加工人員擺脫抽象的數(shù)控語言和語法,提高編程質(zhì)量,且有效的縮短數(shù)控加工編程、調(diào)試和生產(chǎn)周期。本文介紹的雙刀架數(shù)控車床加工分析系統(tǒng),已在馬鞍山鋼鐵股份公司委托合肥工業(yè)大學(xué)開發(fā)的“雙刀架數(shù)控車床自動(dòng)編程系統(tǒng)”中得到應(yīng)用,實(shí)踐表明加工過程分析系統(tǒng)的應(yīng)用,對數(shù)控程序編制和零件加工具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。參考文獻(xiàn)3SINUMERIK810TE/GA3系統(tǒng)編程手冊.江吉彬男合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械系博士研究生。(

4、合肥230009)收稿日期:1998-07-22序最優(yōu)化。實(shí)際表明動(dòng)態(tài)分色方式繪制的加工分析圖,不僅為編程人員提供程序預(yù)測和分析手段,而且為現(xiàn)場準(zhǔn)備了形象、直觀的加工工藝文件,方便調(diào)試和加工。刀具監(jiān)控點(diǎn)是程序中設(shè)置的用于刀具工作狀況的檢查點(diǎn)。加工中當(dāng)?shù)毒咂茡p、磨損,切削力過大時(shí),程序會(huì)在刀具監(jiān)控點(diǎn)處發(fā)出報(bào)警,并給出相應(yīng)刀具報(bào)警監(jiān)控號,指明刀具損壞處的加工程序位置。NC代碼中的刀具監(jiān)控點(diǎn)的設(shè)置應(yīng)力求合理,監(jiān)控點(diǎn)設(shè)置太多,影響系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)速度,太少對刀具現(xiàn)行狀況難以及時(shí)監(jiān)測。加工分析系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)繪制加工軌跡同時(shí),將程序中的刀具監(jiān)控點(diǎn)號直接繪在相應(yīng)的設(shè)置軌跡點(diǎn)上,編程人員根據(jù)該軌跡圖,結(jié)合加工生產(chǎn)實(shí)際,能

5、對所有設(shè)置點(diǎn)進(jìn)行分析,調(diào)整不合理的設(shè)置點(diǎn)。3結(jié)束語數(shù)控程序離線分析實(shí)現(xiàn)對數(shù)控程序合理性分析,它通過對數(shù)控程序翻譯,動(dòng)態(tài)直觀的模擬零件加向。在XOY坐標(biāo)系內(nèi)橢圓方程由(1)式表示,ixi=acos出一個(gè)角度的正弦和余弦,且輸入的角度是任意值,(1)因而插補(bǔ)計(jì)算方便,且不需要作任何判斷就可自動(dòng)過象限。參數(shù)曲線的一大特點(diǎn)是插補(bǔ)的終點(diǎn)判別極為簡單,只需要在利用(4)式進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算后,比較 i+1與 e的大小。對逆時(shí)針插補(bǔ),由于插補(bǔ)過程中 i遞增, i+1 e時(shí),取 i+1= e,置插補(bǔ)結(jié)束標(biāo)志。對順時(shí)i遞減,當(dāng) i+1 e時(shí),取針插補(bǔ),由于插補(bǔ)過程中yi=bsin i式中ab i橢圓短軸半徑參變量,逆

6、時(shí)針方向?yàn)檎脮r(shí)間分割法插補(bǔ)橢圓,是在滿足插補(bǔ)精度要求的前提下,用弦線逼近橢圓,如圖2所示。即計(jì)算i,使得在每個(gè)插補(bǔ)周期T內(nèi),在橢圓上截取等距i+1= e,置插補(bǔ)結(jié)束標(biāo)志。離的弦長PiPi+1,該弦長等于編程進(jìn)給速度F和插補(bǔ)周期T的乘積。即PiPi+1 =( xi)+( yi)=FT2實(shí)時(shí)性分析由于插補(bǔ)過程中,終點(diǎn)判別簡單,自動(dòng)過象限,因而計(jì)算量小。編程時(shí)注意到FT為常量,(3)式中sin i,cos i已由前一插補(bǔ)周期算出,同時(shí)注意到80387協(xié)處理器能同時(shí)計(jì)算一個(gè)角度的正弦和余弦。這樣平面內(nèi)任意方位的橢圓插補(bǔ)計(jì)算共包括8次乘法、一次除法、6次加(減)法、一次開方運(yùn)算和一次超越函數(shù)的運(yùn)算。在

7、主頻為40M的80486CPU上,用匯編語言編制插補(bǔ)軟件,實(shí)時(shí)插補(bǔ)一次的運(yùn)行時(shí)間約0.13ms,完全能夠滿足高性能CNC系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性要求。(2)圖1平面內(nèi)任意橢圓圖2橢圓插補(bǔ)示意圖由于 i較小,同時(shí)為了保證實(shí)時(shí)性,因而采用近似計(jì)算,取 xi-sin i i, yicos i i,代入(2)式,則有iFT/asin i+bcos i(3)(4)i i+1= i±3誤差分析由插補(bǔ)公式可知,插補(bǔ)點(diǎn)滿足橢圓方程(1),即插補(bǔ)點(diǎn)總在橢圓上,插補(bǔ)算法沒有累積誤差。插補(bǔ)誤差包括逼近誤差和進(jìn)給速度誤差。逼近誤差是橢圓上連接兩插補(bǔ)點(diǎn)的弦與弧的最大法向差,任意點(diǎn)處的逼近誤差e與進(jìn)給步長間的幾何關(guān)系:M為

8、弦PiPi+1的中點(diǎn),P為弧PiPi+1的中點(diǎn),由于弦長 PiPi+1 和弧長PiPi+1都很短,為簡化計(jì)算,可用 MP 近似代替e。不難求出:MP =-x)+(y-y)22=( 1)2a2cos2 i+bsin i8將(3)式代入(7)式得:式中,“+”用于逆時(shí)針插補(bǔ),“-”用于順時(shí)針插補(bǔ)。則Pi+1在XOY系下的坐標(biāo)為xi+1=acos i+1yi+1=bsin i+1利用坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換公式,得到XOY坐標(biāo)系下Pi+1的坐標(biāo)為Xi+1=acos cos i+1-bsin sin i+1=C1 i+1-C2sin i+1Xi+1=asin cos i+1+bcos sin i+1=C3co

9、s i+1-C4sin i+1顯然(5)式中C1、C2、C3、C4均為常系數(shù)。插補(bǔ)需要得到機(jī)床坐標(biāo)系下坐標(biāo)的增量,坐標(biāo)系間的平移并不影響增量的變化,只需求出 Xi、 Yi即可。Xi=Xi+1-Xi Yi=Yi+1-Yi(6)(5)(7)iie MP =(FT)2(8)8asinicosi顯然,曲率半徑最小處逼近誤差為最大值。在整個(gè)橢圓上,長軸與橢圓的交點(diǎn)曲率半徑最小,則emax=a(FT)/8b(9)式(3)、(4)、(5)、(6)就構(gòu)成了平面任意方位橢圓的插補(bǔ)公式。由于80387的指令FSINCOS能一次計(jì)算在(9)式中取a=b=R,則emax=(FT)2/8R,這就是圓弧時(shí)間分割插補(bǔ)法的插

10、補(bǔ)逼近誤差公式。若插補(bǔ)的橢圓弧段不包括長軸與橢圓的交點(diǎn),則曲率半徑最小點(diǎn)位于插補(bǔ)弧段的兩端點(diǎn)上,即:00emax=(FT)2max,8asin0cos02222 e+b easinecose2222理得:22iiF=FTi+bcos i)2(asin22 i+b22 i2+(12)22222(FT)8(asin i+bcos i)2222則: FmaxFT+(FT)(13)2b8b對于ab的橢圓,(13)式的后一項(xiàng)遠(yuǎn)小于前一項(xiàng),所以:22FmaxFT(14)2b對于a=b=R的圓,式(13)簡化為 Fmax=(FT)2/8R2,速度波動(dòng)量更小。當(dāng)相對速度誤差要控制在一定值 F0內(nèi)時(shí),由(13)

11、式可求得F還要受下式限制F0F2(a-b2)T(10)為了保證插補(bǔ)精度,橢圓插補(bǔ)的逼近誤差必須小于或等于允許逼近誤差 ,于是可以得到下列結(jié)論:a.由(9)式可得,當(dāng)編程進(jìn)給速度F<8 b/a/T時(shí),插補(bǔ)理論精度總能滿足加工要求。b.由(10)式可得,當(dāng)插補(bǔ)的橢圓弧段不包括長軸與橢圓的交點(diǎn)時(shí),由于插補(bǔ)最大逼近誤差emax的減少,因此,允許的最大進(jìn)給速度可以進(jìn)一步提高。c.由(7)式可得保證插補(bǔ)精度的最大進(jìn)給步長max=8/42a2cos2 i+bsin i即使編程進(jìn)給速度大于允許的最大進(jìn)給速度,只要在插補(bǔ)過程中,比較 i與 max,當(dāng) i max時(shí),取 i= max,就能保證插補(bǔ)精度。這樣

12、可以提高工作效率,橢圓長軸與短軸相差越大,曲率變化越明顯,效率提高越顯劇,但進(jìn)給速度不能保持恒定。式(3)的推導(dǎo)過程中,曾作近似,其結(jié)果是使實(shí)際進(jìn)給量FT= PiPi+1 ,并不等于理論值FT,定義理論進(jìn)給速度F與實(shí)際進(jìn)給速度F的差與理論進(jìn)給速度之比為插補(bǔ)相對速度誤差,記為 F。則: F= F-F /F= FT-FT /FT= FT- PiPi+1 /FT(11)將Pi、Pi+1的坐標(biāo)表達(dá)式和(3)式代入(11)式,經(jīng)整4結(jié)束語本文提出的平面內(nèi)任意方位的橢圓插補(bǔ)算法,充分利用32位機(jī)指令豐富、運(yùn)算速度快的特點(diǎn)。能保證每個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)都落在橢圓上,因而沒有累積誤差,而且只要合理選擇編程進(jìn)給速度,總能保證插補(bǔ)逼近精度和相對速度誤差控制在給定的要求內(nèi)。由于橢圓是參數(shù)方程表示,使終點(diǎn)判別變得極為簡單,能自動(dòng)過象限。插補(bǔ)算法簡單,實(shí)時(shí)計(jì)算量不大,實(shí)時(shí)性好。吳焱明男,博士生,合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械制造工程系講師。主要研究領(lǐng)域?yàn)橹悄芸刂啤?合肥230009)CNC。99第二屆中國國際汽車維修檢測診斷設(shè)備及零部件服務(wù)用品展銷會(huì)即將召開由中國汽車保修設(shè)備行業(yè)協(xié)會(huì)與華港國際展覽有限公司、德國法蘭克福展覽有限公司三家聯(lián)合主辦,每兩年舉行一次的國內(nèi)專業(yè)性最強(qiáng)、規(guī)模最大、技術(shù)最先