對估算教學(xué)的再研究

1、對估算教學(xué)的再研究 內(nèi)容提要： 重視估算教學(xué)，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的全面發(fā)展。本文對估算的內(nèi)涵、特征及小學(xué)估算教學(xué)實(shí)踐作了進(jìn)一步的闡述。提出了估算教學(xué)的原則，并在估算教學(xué)實(shí)施中總結(jié)出：揭示背景、采集信息，積極體驗(yàn)、進(jìn)行估算，驗(yàn)證調(diào)整、建立模型，自覺實(shí)踐、運(yùn)用模型的方法。使學(xué)生的估算意識(shí)和能力得到提高，讓學(xué)生能學(xué)習(xí)更多有價(jià)值的數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。關(guān)鍵詞：估算教學(xué) 數(shù)學(xué)能力 發(fā)展估算是指個(gè)體通過分析、比較、判斷、推理等過程，調(diào)動(dòng)自身的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，特別是視覺空間信息的認(rèn)知加工，獲得概略化結(jié)果的活動(dòng)。估算具有：直覺性：估算起源于對數(shù)學(xué)問題直接地了解、估計(jì)和判斷。思維的根據(jù)是直觀形象的運(yùn)動(dòng)空間知覺信息，思

2、考的角度是從大到小，結(jié)果只是大概的推算，因此估算表現(xiàn)出直覺的特征。跳躍性：估算的認(rèn)知是一個(gè)并列式的加工過程，不是線形的過程，估算中要簡略認(rèn)知步驟，提高效率。估算較多的依賴以往的經(jīng)驗(yàn)和感受，往往采用超常規(guī)的思考方式，不按嚴(yán)密的法則程序進(jìn)行，顯示出思維的跳躍性。 實(shí)用性：估算的效率高，不依賴于繁多的工具與材料，面對實(shí)際問題能立即進(jìn)行判斷和選擇，并形成認(rèn)知策略。因此在日常生活中使用較多，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。內(nèi)隱性：估算是把獲取的數(shù)學(xué)問題信息在大腦中迅速地進(jìn)行處理，選擇有用的資料與大腦中原先建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行重組，很快得到結(jié)果。這些多角度的、并行的、跳躍的思維活動(dòng)，全部在腦中快速產(chǎn)生。這些復(fù)雜的活動(dòng)不外

3、顯，不留痕跡，這就是估算的內(nèi)隱特征。估算教學(xué)是指在有明確教學(xué)目標(biāo)、有具體可行的教學(xué)內(nèi)容、行之有效的教學(xué)方法和手段前提下，對學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)、全面的估算教學(xué)的活動(dòng)。在教學(xué)中我們應(yīng)該遵循下列原則：實(shí)踐性原則：生活中經(jīng)常要用到估算，而估算又建立在學(xué)生實(shí)踐形成的經(jīng)驗(yàn)和策略上，所以估算教學(xué)應(yīng)堅(jiān)持實(shí)踐性原則。在教學(xué)中聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活用于生活，讓學(xué)生在具體的情景中，不斷的探索和實(shí)踐體驗(yàn)到估算的優(yōu)越性。體驗(yàn)到合理的估算方法，不斷改進(jìn)估算的策略，提高估算的正確性。開放性原則：估算具有跳躍的特征，不需要執(zhí)行嚴(yán)格的法則程序。估算的結(jié)論是開放的，可以用具體的形也可以用數(shù)量來表達(dá)；可以是粗略的也可

4、以是較精確的。學(xué)生的思路是完全開放的，不同的學(xué)生有不同認(rèn)知基礎(chǔ)和思維習(xí)慣，估算的方法和策略也各不相同。因此估算教學(xué)要堅(jiān)持開放性原則?？筛鶕?jù)不同層次學(xué)生提出不同的要求，滿足學(xué)生多樣化的需要，充分留給學(xué)生時(shí)間和空間，減少對學(xué)生的束縛。 滲透性原則：估算教學(xué)不是作為一個(gè)單元或一個(gè)知識(shí)點(diǎn)去進(jìn)行教學(xué)的，估算的能力培養(yǎng)是滲透在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程之中，在數(shù)學(xué)各個(gè)內(nèi)容的教學(xué)中都要貫徹滲透性原則。估算作為一種數(shù)學(xué)能力和策略，是學(xué)生必須具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，那么估算將不再局限于計(jì)算結(jié)果進(jìn)行粗略的檢驗(yàn)，估算教學(xué)將與口算和精算教學(xué)相結(jié)合，滲透在學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知和建構(gòu)的全過程中。教學(xué)中要把估算作為一種數(shù)學(xué)思考、解決問題能力與情

5、感態(tài)度的培養(yǎng)來不斷地引導(dǎo)學(xué)生去運(yùn)用、去體驗(yàn)、去反思，開發(fā)大腦的潛能。發(fā)展性原則： 估算能力是在自身認(rèn)知基礎(chǔ)上加工形成的，是一種思維和心理活動(dòng)，需要不斷的啟發(fā)和培養(yǎng)使之持續(xù)發(fā)展。估算教學(xué)在每一學(xué)段的目標(biāo)也是不同的。第一學(xué)段：“加強(qiáng)估算，鼓勵(lì)算法多樣化?！钡诙W(xué)段：“鼓勵(lì)解決問題策略的多樣化?！钡谌龑W(xué)段：“尊重學(xué)生個(gè)體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要，使不同人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！比齻€(gè)學(xué)段的要求是遞進(jìn)發(fā)展的。再從估算的教學(xué)上看，學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)（原建立的模型）進(jìn)行估算，然后進(jìn)行驗(yàn)證建立新的模型，最后是用新建的模型再去進(jìn)行新的估算，就這樣螺旋式發(fā)展來逐步提高學(xué)生的估算能力。所以在估算教學(xué)中要堅(jiān)持發(fā)展

6、性原則，使全體學(xué)生都有不同的發(fā)展。估算教學(xué)貫串小學(xué)數(shù)學(xué)的始終，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方面。估算教學(xué)要將估算的特點(diǎn)有機(jī)的和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)合起來，充分運(yùn)用視覺空間信息的認(rèn)知加工來進(jìn)行估算，從而開發(fā)腦的潛能，發(fā)展估算意識(shí)，學(xué)習(xí)估算方法，幫助學(xué)生更好的估算。在教學(xué)中首先要充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的背景，收集各種信息資源。其次是運(yùn)用各種方法和策略來進(jìn)行合理的估算。第三要引導(dǎo)學(xué)生對自己估算的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，獲得“做數(shù)學(xué)”的體驗(yàn)，逐步建立形象的數(shù)學(xué)模型。最后讓學(xué)生有意識(shí)的運(yùn)用建立的模型進(jìn)行新的估算，不斷完善估算模型，提高估算能力。（一） 揭示背景 采集信息：估算需要有一定的基礎(chǔ)，這種基礎(chǔ)建立在學(xué)生已有的知識(shí)、技能、經(jīng)驗(yàn)和感

7、受之上。在估算教學(xué)中，最好選擇來源于學(xué)生實(shí)際生活的數(shù)學(xué)問題，這樣有利展示學(xué)習(xí)的背景，使學(xué)生看到問題就能聯(lián)想到生活實(shí)際，在腦海里出現(xiàn)一定的圖式。背景展示得充分，材料采集的全面有利于學(xué)生進(jìn)行估算。這是有效估算教學(xué)的前提。如在學(xué)習(xí)圓錐體積計(jì)算時(shí)，教師展示兩個(gè)蛋卷冰淇淋 小的蛋卷冰淇淋定價(jià)為1元，大的蛋卷冰淇淋你估計(jì)要多少錢呢？你是怎么定價(jià)的？蛋卷冰淇淋是學(xué)生喜愛的食品，學(xué)生對其形狀特點(diǎn)都很熟悉，很快就確定冰淇淋是圓錐，大的冰淇淋需要的材料多，賣的價(jià)格要高。只要知道蛋卷冰淇淋的體積有多大，就可知道賣多少錢。當(dāng)背景材料充分展示后，就要讓學(xué)生采集相關(guān)的信息。如引導(dǎo)學(xué)生思考：要求圓錐的體積定出蛋卷冰淇淋的價(jià)

8、錢，估計(jì)與那些因素有關(guān)系呢？學(xué)生就收集到：圓錐的體積大致與圓錐的半徑（直徑、周長）、底面積、和高有關(guān)系。經(jīng)過整理發(fā)現(xiàn)，與圓錐體積有直接關(guān)系的是圓錐的底面積和高。 再如低段兩位數(shù)加兩位數(shù)進(jìn)位加法教學(xué)中，為了更好地展示背景，取了發(fā)書的例子。出示圖：學(xué)生觀察后得出：這是發(fā)書的問題。圖中有男生，有女生；一排排坐著；拿來的一疊書是40本，一人一本。這些書夠不夠發(fā)？背景展示的具體形象。當(dāng)學(xué)生看清圖意之后，學(xué)生收集到的相關(guān)信息有：40本新書；女生19人，男生18人；教室里同學(xué)們一組一組坐著等待發(fā)書這些采集的信息為估算提供了直接的、形象的視覺感受，為進(jìn)一步估算提供了依據(jù)。揭示背景、采集信息的教學(xué)過程中要注意：

9、l 出示的數(shù)學(xué)問題要符合學(xué)生的生活實(shí)際，便于教學(xué)中充分地展示背景，為估算打好基礎(chǔ)。l 教學(xué)中要留給學(xué)生充足的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自主選擇材料信息并能互相交流，共享資源。（二）積極體驗(yàn) 進(jìn)行估算：學(xué)生根據(jù)背景收集了各種信息，教師還要引導(dǎo)學(xué)生整理信息，提取有價(jià)值的資料，運(yùn)用自己已有的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)（原建立的數(shù)學(xué)模型或一種思路框架）進(jìn)行估算。教學(xué)中要讓學(xué)生積極地參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，并在活動(dòng)中傾聽別人的發(fā)言，進(jìn)行反思來挖掘自己的估算潛能。在估算中由于每個(gè)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)不同、學(xué)習(xí)方式不同、思維形式不同，所以采用的方法和策略也不同。要鼓勵(lì)他們學(xué)用不同的方法、多樣的策略來進(jìn)行估算，只有大膽的進(jìn)行估算的實(shí)踐體驗(yàn)才會(huì)提高估算能

10、力。只有虛心地傾聽別人的估算想法，才會(huì)有多樣的方法與策略。這是估算教學(xué)思維最活躍的時(shí)候，教學(xué)中教師要充分利用，努力生成新的資源，激勵(lì)學(xué)生探索創(chuàng)新。 如在探究圓錐體積計(jì)算中，學(xué)生根據(jù)收集的信息得出如下結(jié)論：圓錐體積與底面積（包括直徑、半徑、周長）高有關(guān)，所以想到用圓錐與等底等高的圓柱進(jìn)行比較。有的同學(xué)估計(jì)：圓柱有2個(gè)底，圓錐只有一個(gè)底，因而圓錐體積要比等底等高的圓柱體積小，圓錐體積大概是等底等高圓柱體積的1/2。有的同學(xué)估計(jì)：因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐上下拼起來，中間沒有達(dá)到等底等高的圓柱那樣粗，所以圓錐的體積是等底等高圓柱體積的1/3差不多。再如學(xué)習(xí)小數(shù)的乘法時(shí)，有“一本書6.7元，購6本書要多少錢？”這樣

11、一道的題目。教學(xué)時(shí)老師可以引導(dǎo)學(xué)生估計(jì)6本書的價(jià)錢有沒有小數(shù)？有幾位小數(shù)？學(xué)生根據(jù)自己原有的經(jīng)驗(yàn)，有的用連加方法想；有的用乘法思考；有的用實(shí)際購買的情景思考有如下估計(jì)結(jié)論：一本書有一位小數(shù)，那么2本、3本6本會(huì)出現(xiàn)一位小數(shù)。只有本數(shù)與單價(jià)末尾數(shù)相乘出現(xiàn)整十?dāng)?shù)時(shí)不是小數(shù)?？隙ú粫?huì)出現(xiàn)兩位、三位小數(shù)。又如：“一千克大米1.8元，購5.6千克大米要多少錢？”估計(jì)要付的錢有沒有小數(shù)？有幾位小數(shù)？學(xué)生思考得出：因?yàn)榇竺讍蝺r(jià)是1.8元，購買整千克用到角（是一位小數(shù)）。購買0.1千克大米要用到分了（是兩位小數(shù)）?，F(xiàn)在購的是5.6千克，就會(huì)出現(xiàn)兩位小數(shù)。同樣的方法，我們可估計(jì)末位數(shù)是幾？整數(shù)有幾位？最高位的數(shù)

12、字大約是幾？再如學(xué)生建立了分鐘、米的概念之后，可以讓學(xué)生估計(jì)小時(shí)、分米、厘米的概念范圍，并以此去估算實(shí)際的時(shí)間、長度。還有我們了解到：小紅前年身高108厘米，去年111厘米，今年115厘米。估計(jì)明年的身高是多少？從統(tǒng)計(jì)的思路估計(jì)，明年小紅大約有118厘米。積極體驗(yàn)，進(jìn)行估算的教學(xué)過程中要注意：l 教師要善于在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)各方面有機(jī)地滲透估算。l 要想辦法讓全體學(xué)生積極參與到估算的教學(xué)活動(dòng)中去，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用信息材料結(jié)合已有的經(jīng)驗(yàn)（模型）進(jìn)行估算。l 估算不僅是一個(gè)結(jié)論，應(yīng)該讓學(xué)生說說自己是如何想的，并教育學(xué)生學(xué)會(huì)傾聽。（三）驗(yàn)證調(diào)整 建立模型： 根據(jù)自身的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，對結(jié)果得出大致結(jié)論，這不能說

13、估算的活動(dòng)已經(jīng)結(jié)束，還要通過精算、測量實(shí)踐結(jié)果等方面來證明估算是否成立。是正確的要肯定自己的估算，進(jìn)一步鞏固已建的模型，并通過傾聽別人的意見學(xué)習(xí)不同的方法和策略；誤差較大的，要進(jìn)行調(diào)整修改自己在估算中的不足；是錯(cuò)誤的，就要尋找錯(cuò)誤的原因，從別人的方法中進(jìn)行反思，學(xué)習(xí)正確的估算方法。所以教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生對估算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，從而逐步完善自己的估算方法和策略，在驗(yàn)證之后要將估算結(jié)果轉(zhuǎn)化成一種自己的數(shù)學(xué)模型，借助直觀、形象的數(shù)學(xué)模型來不斷提高估算水平。這是估算能力提升的重要時(shí)機(jī)。 如在空間與圖形圓錐體積計(jì)算學(xué)習(xí)中，同學(xué)們已經(jīng)利用多種方法估計(jì)圓錐體積是等底等高圓柱體積的1/2或1/3時(shí)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生

14、對估算的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證：“你能用自己的辦法來證明嗎？” 學(xué)生談到了許多驗(yàn)證方法。其一：可以用倒水的方法，看用幾次圓錐的水才可以使等底等高圓柱容器的水倒?jié)M。其二：用橡皮泥先做一個(gè)圓柱，再看看用這些橡皮泥可以做幾個(gè)等底等高的圓錐。其三：用蠟燭油造一個(gè)圓柱，再使其融化看能制造出幾個(gè)等底等高的圓錐。其四：用等底等高的圓錐和圓柱的容器，先將圓柱里倒?jié)M水，再把圓錐倒置于圓柱容器里，將有水滿出。用量杯將滿出的水與圓柱的水進(jìn)行比較。其五：取一只蘿卜做出圓柱，然后削成一個(gè)最大的圓錐，把削掉的蘿卜碎片與圓錐蘿卜的重量都稱一下進(jìn)行比較。學(xué)生用容積、質(zhì)量、守衡等不同方法進(jìn)行驗(yàn)證，這是對學(xué)生估算能力有效的操練。通過實(shí)際的

15、動(dòng)手操作不僅得出了V錐=1/3sh的圓錐計(jì)算公式 ，更重要的是建立了圓錐的體積是和它等底等高圓柱體積的1/3的空間模型，為今后錐體體積估算建立了依據(jù)。再如兩位數(shù)加兩位數(shù)進(jìn)位加法發(fā)書教學(xué)中，在學(xué)生估算出書夠發(fā)之后，安排學(xué)生自我驗(yàn)證的過程。學(xué)生通過發(fā)一發(fā)的實(shí)踐活動(dòng)和精算都驗(yàn)證估算結(jié)果是正確的。學(xué)生不但體會(huì)到學(xué)習(xí)成功的喜悅，而且說明自己估算的方法是正確快速的，并加深完善了以下數(shù)學(xué)模型：總本數(shù)40本書總?cè)藬?shù)19+18其一：建立一人一書的對應(yīng)模型。其二：建立男、女分別對應(yīng)模型。20本書20本書女生人數(shù)男生人數(shù)其三：建立組組分別對應(yīng)模型。組 組組 組書 書書 書 通過多方位的驗(yàn)證使估算方法更合理，從而增強(qiáng)

16、估算的信心。同時(shí)還建立了各種對應(yīng)的數(shù)學(xué)估算模型，為今后同類估算打下基礎(chǔ)。 再如9的認(rèn)識(shí)教學(xué)中，在小朋友們已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)9之后，讓學(xué)生觀看同學(xué)們在操場上的活動(dòng)圖。短時(shí)間內(nèi)學(xué)生馬上估出有9個(gè)人，學(xué)生的估算模型是： 954同樣老師從盒子里抓一把糖，讓學(xué)生估計(jì)老師抓的糖是幾顆？學(xué)生根據(jù)對一顆糖、兩顆糖、三顆糖體積回憶，估出了是9顆糖。估算的模型是： 9 9 92222133354還可以讓9個(gè)小朋友排成一行看看有多長；把9顆豆集在一起感受體積大小；將9本書疊在一起觀察有多高；從10根小棒中抽去1根等實(shí)踐活動(dòng)中演繹出9的視覺空間模型，深刻體會(huì)到9是一個(gè)比較多，但還是能數(shù)的清這樣一個(gè)數(shù)。驗(yàn)證調(diào)整、建立模型的教

17、學(xué)過程中要注意： 要培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行估算驗(yàn)證的良好習(xí)慣，通過驗(yàn)證來不斷優(yōu)化自己的估算策略，促進(jìn)估算方法的多樣化。 要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的視覺、運(yùn)動(dòng)空間知覺、軀干知覺來進(jìn)行建立估算的數(shù)學(xué)模型，使模型更形象、合理。（四）自覺實(shí)踐 運(yùn)用模型： 當(dāng)估算結(jié)果演繹成一個(gè)數(shù)學(xué)模型之后，還需要不斷鼓勵(lì)學(xué)生在實(shí)踐中使用，讓這些數(shù)學(xué)模型更簡單、更實(shí)用 。因此在估算教學(xué)中，教師要激發(fā)學(xué)生估算的意識(shí)和自覺利用估算模型在實(shí)際生活中進(jìn)行估算的熱情，鼓勵(lì)估算方法多樣化；鼓勵(lì)解決問題策略的多樣化，從而獲得成功的喜悅，滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需要。這是發(fā)展學(xué)生估算能力，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的重要過程。如學(xué)習(xí)了圓錐體積計(jì)算之后，試求金字塔的體積。

18、學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：金字塔是一個(gè)底面積是四邊形的錐體，可以套用圓錐體積是和它等底等高圓柱體積的1/3的空間模型 。學(xué)生估計(jì)四錐體的金字塔體積是和它等底等高的直柱體體積的1/3，很快估算出金字塔體積。再如學(xué)習(xí)了兩位數(shù)加兩位數(shù)進(jìn)位加法之后，展示這樣的生活問題：“我校一年級(jí)師生去春游，各班參加人數(shù)如下：一（1）班46人，一（2）班45人，一（3）班51人，一（4）班46人，一（5）班47人，一（6）班52人。請幫老師估計(jì)一下，需要向公交公司租幾輛限坐50 人/輛的汽車？”六班的人數(shù)六輛車的人數(shù)由于學(xué)生已經(jīng)構(gòu)建起一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)估算模型，所以很快找到：這種一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。發(fā)現(xiàn)只有少數(shù)班級(jí)人數(shù)超過50 ，大部分班級(jí)不足50人，所以6個(gè)班租6輛車就行了。有些學(xué)生還考慮到實(shí)際上每班再加上2名老師，6輛車也夠了。又如 “甲乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)去 B地。開始甲乙的速度比為7：9，當(dāng)乙行到中點(diǎn)時(shí)，甲乙的速度比變?yōu)?：7