2017年高等數(shù)學下試題與參考答案

1、華南農(nóng)業(yè)大學期末考試試卷（A卷）20162017學年第2學期考試科目：高等數(shù)學 AH考試類型：（閉卷）考試考試時間：120 分鐘學號姓名年級專業(yè)題號一二三四總分得分評閱人得分、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1 .二元函數(shù)z ln（y2 2x 1）的定義域為。rrrrr rr2 .設向量 a（2,1,2）, b（4, 1,10）, cba,且 ac,則3 .經(jīng)過（4,0, 2）和（5,1,7）且平行于x軸的平面方程為。4 .設 u xyz,則 duc 15 .級數(shù) （1）n=r，當p滿足條件時級數(shù)條件收斂 pn 1 n15 / 102.3.得分、單項選擇題微分方程2（xyA. y

2、 Ce2x（本大題共5小題，每小題3分，共15分）x）y' y的通解是B. y2 Ce2xC. y2e2y Cx求極限lim(x,y)(0,0)2 .： xy 4xyB.12D.C.e2 y CxyD.直線L:x3z和平面7:3x2y 7z 8 0的位置關系是A .直線L平行于平面B.直線L在平面上C.直線L垂直于平面D .直線L與平面斜交4. D是閉區(qū)域( x, y) | a2A 2(b3 a3)5.下列級數(shù)收斂的是B.3、a ) x2 y2 dD43C. (b333、a )D.？b33、 a )A.1n 1 (n 1)(n 4)B.1 nn 1 n2 1C.1n 1 2n 1D.n

3、 1 3 n(n 1)得分、計算題(本大題共7小題，每小題7分,共49分)1.求微分方程y' y ex滿足初始條件x2.計算二重積分 x y2 dxdy，其中Dd x y ,222)(x, y) x y 1, x1。3.設 z z(x, y)為方程 2sin( x 2y 3z)x 4y 3z確定的隱函數(shù),求二二。x y4.求曲線積分(x y)dx (x y)dy ,其中L沿x2y2La2(x 0, y 0),逆時針方向。5.計算y飛x2y6Ddxdy ,其中D是由y 京，x1及y 1所圍成的區(qū)域。6.判斷級數(shù)(1)nn2的斂散性，并指出是條件收斂還是絕對收斂。7.將函數(shù)(1 x)(2

4、x)展開成x的幕級數(shù)，并求其成立的區(qū)間。得分四、解答題(本大題共3小題，每小題7分，共21分)1 .拋物面z x2 y2被平面x y z 1截成一橢圓，求原點到這橢圓的最長與 最短距離。n n2 .求幕級數(shù)(1) 的和函數(shù)n i (n 1)!3 .設函數(shù)f(x)和g(x)有連續(xù)導數(shù)，且f(0) 1, g(0) 0, L為平面上任意簡 單光滑閉曲線，取逆時針方向，L圍成的平面區(qū)域為D,已知?L xydx yf(x) g(x)dy yg(x)d ,D求 f (x)和 g(x)。華南農(nóng)業(yè)大學期末考試試卷（A卷）20162017學年第2學期考試科目：高等數(shù)學 AR參考答案、填空題（本大題共5小題，每小

5、題3分，共15分）. 一21. (x,y)|y 2x 1 0 2. 33. 9y z 2 0 4. yzxyz 1dx zxyzlnxdy yxyz In xdz 5. 0 p 1二、單項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1.5CM1. C2. C 3. C 4. B 5. A三、計算題（本大題共7小題，每小題7分，共49分）1 .求微分方程y' y ex滿足初始條件x 0, y 2的特解。解：先求y' y 0的通解，得y C1e x 2分采用常數(shù)變易法，設y h(x)e x,得y' h'(x)ex h(x)e x3分代入原方程得 h'(x)

6、ex h(x)e x h(x)e x ex 4分得 h(x) 1e2x C 5 分2故通解為y 1ex Ce x 6分2將初始條件x 0, y 2帶入得C 3,故特解為y 1ex -e x7分2222 .計算二重積分-xy2dxdy ,其中 D ( x, y): x2 y2 1, x y 1。d x y解：設 x r cos , y r sin 1 分一.1貝 0, r 1 3分2 sin cosx y , ,2 , 1 r cos r sin所以 -2-dxdy2 d 12rdr 5分D x y° sin cosr2 (sin cos 1)d3.設z z(x, y)為方程2sin(

7、 x 2y 3z) x 4y 3z確定的隱函數(shù)，求解：設 F(x, y,z)x 4y 3z 2sin(x 2y 3z)Fx 1 2cos( x 2y 3z), Fy4 4cos( x 2y 3z),Fz 3 6cos(x 2y 3z)Fy4cos(x 2y 3z) 4Fz 31 2cos(x 2 y 3z)zFx 2cos(x 2y 3z) 1z,xFz 31 2cos(x 2y 3z)y所以4 .求曲線積分(x y)dx (x y)dy ,其中L沿x2 y2 a2(x 0, y 0),逆時針L方向。解：圓的參數(shù)方程為：x acost, y asint (0 t ) 1分(x y)dx (x

8、y)dyo2 (acost asint)dacost02 (acost asint)dasint3 分La2 02 (cos2t sin 2t)dt 4分2a萬sin 2t cos2t02八a 7分(本題也可以利用“曲線積分與路徑無關”來解)5 .計算 y/1 x2y6dxdy ,其中D是由y Vx , x 1及y 1所圍成的區(qū)域D解：D (x, y)| 我 y 1, 1 x 1 1分y/1 x2pdxdydx丫5!xpdy 2分13 xD12 13 ._6 3 1(1 x y ) "dx 4分19291.6131(|x|3 1)dx130(x 1)dx6 .判斷級數(shù)(1)nn二的斂

9、散性，并指出是條件收斂還是絕對收斂。、.n解:(1)nnn 11：Jn")所以級數(shù)發(fā)散。 又(1)nnn 1(1)n(1)n1,n (n 1). n顯然，交錯級數(shù) 可n 1. n(/ 都收斂,所以原級數(shù)收斂。因此是條件 n 1 (n 1). n收斂。7 .將函數(shù)1展開成x的幕級數(shù)，并求其成立的區(qū)間。(1 x)(2 x)解:1(1 x)(2 x)一 1n-而 x , | x | 1 3分1 x n 012 xL (|x| 2)所以1 1 x x2 L 11 - (-)2 L 5分(1 x)(2 x)2221(1 -nr)x 6 分n 02成立范圍|x| 1 7分 四、解答題(本大題共3

10、小題，每小題7分，共21分)1.拋物面z x2 y2被平面x y z 1截成一橢圓，求原點到這橢圓的最長與最 短距離。解：設橢圓上任一點P的坐標為P(x, y, z) , P點滿足拋物面和平面方程。原點到這橢圓上任一點的距離的平方為x2 y2 z2, 1分構造拉格朗日函數(shù)Fx2y2 z2 (x2 y2 z) (x y z 1) 2分Fx 2x 2x0Fy 2y 2y0Fz 2z0 4分22F x y z 0F x y z 1 01 解得x -( 1 V3) 5分得兩個駐點為P1( 1c，二 ， 2 、3), P2( 1C，二-c， 2. 3)222222226分所以最短距離為59 56,最短距

11、離為J95737分n n2 .求幕級數(shù)(1)的和函數(shù)n 1 (n 1)!解：因為exn,所以e x n 0 n!n n(1) xn 0 n!S(x)(1)nnxn n 0 (n 1)!(1)n(n 1 1)xn(n 1)!n nn n(1) x ( 1) x n!n 0 (n 1)!n n(1) xn 0 n!(1)nxn1( 1)nxn 1n 0 (n1)!(n 1)!(1)nxn所以S(x)故 S(x) e0時,另解:0時,0時,1(1 xn!(1)nxn(1)n 1xn 1 0 (n 1)!(1)nxnn 0 n!(x 0)x)(xn!0)1(1 xxx e )(xS(x)(1)nnxn n 1 (n 1)!S(x) 0O1 x-e x0)6分n n 1(1) nx(n 1)!(1)n(n 1)!xndxxx0 nn n(1) x(n 1)!(1)nx0 n!xe xdxxxde01 x xexx 1e exdxndx3.設函數(shù)f (x)和g(x)有連續(xù)導數(shù),且 f (0) 1n 1 n 1(1) x dx(n 1)!，g(0)0,L為平面上任意簡單光滑閉曲線，取逆時針方向，L圍成的平面區(qū)域為D,已知 ?Lxydx yf(x) g(x)dy yg(x)d ,求 f (x)和 g(x)。解：由格林公式得yf'(x) g'(x) x d