2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)相似的綜合復(fù)習(xí)及答案解析

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)相似的綜合復(fù)習(xí)及答案解析一、相似1.如圖，矩形 OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(10, 0),拋物線y=ax2+bx+4過 點(diǎn)B, C兩點(diǎn)，且與x軸的一個交點(diǎn)為 D (-2, 0),點(diǎn)P是線段CB上的動點(diǎn)，設(shè) CP=t(0vtv 10)(1)請直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)P作PH BC,交拋物線于點(diǎn) E,連接BE,當(dāng)t為何值時，Z PBE=/ OCD?(3)點(diǎn)Q是x軸上的動點(diǎn)，過點(diǎn) P作PM/ BQ,交CQ于點(diǎn)M,作PN/ CQ,交BQ于點(diǎn)N,當(dāng)四邊形PMQN為正方形時，請求出 t的值.【答案】(1)解：在y= ax 3I 5 T

2、.PB= 10- t, PE=4 t2+ 3 t+4- 4=啟 t2+ J t, / BPE= / COD= 90 °,當(dāng)/ PBE= / OCD時，則PB上OCD, PE 掰.8& ,即 BP?OD= CO?PE 15:.2 (10- t) = 4 (& t2+ & t),解得 t= 3 或 t=10 (不合題意，舍去)， + bx+ 4中，令x= 0可得y= 4, C (0, 4), 四邊形OABC為矩形，且 A (10, 0),.B (10, 4),JOOit + 10b + 4 =斗把B、D坐標(biāo)代入拋物線解析式可得'心二為白， 6 二一、解得,

3、，拋物線解析式為 y=t：x2+x+4;-i i(2)解：由題意可設(shè) P (t, 4),則E (t,右t2+3t + 4), 當(dāng) t=3 時，/PBE= /OCD;當(dāng)/ PBE= / CDO 時，貝MPB&aODC,PE 也 . oc 血，即 BP?OC= DO7PE,，4 (10-t) = 2 (& t (10-t),解得 t= 3 時，同理可求得t =+ J t),解得t= 12或t= 10 (均不合題意，舍去)綜上所述.,當(dāng)t=3時，/PBE=/OCD(3)解：當(dāng)四邊形 PMQN 為正方形時，則 Z PMC= Z PNB= Z CQB= 90°, PM=PN,

4、/ CQO+ / AQB= 90 : / CQO+ / OCQ= 90 °,/ OCQ= / AQB, RtA COg RtAQAB,C0 0Q.陽 如,即 OQ?AQ= CO?AB,設(shè) OQ= m,則 AQ= 10- m,1. m (10-m) =4x4 解得 m=2 或 m=8,當(dāng)m = 2時，CQ= .sin / BCQ=,sin/CBQ=的=5.PM = PC?sinZ PCQ=t, PN=PB?sin/CBQ= I(10-t),1626.當(dāng)四邊形【解析】PMQN為正方形時，t的值為J或了【分析】(1)先求出拋物線與 y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)矩形 ABCO及點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1

5、0, 0),求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式求出二次函數(shù)解析式。(2)設(shè)P (t, 4),利用拋物線的解析式表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，可求出 PR PE的長，再分情況討論：當(dāng) /PBE=/OCD時，可證 PB&4OCD,利用相似三角形的性質(zhì)，的長BP?OD= CO?PE建立關(guān)于t的方程，求出符合題意的 t的值；當(dāng)/PBE=/CDO時，可得 PBEAODC,利用相似三角形的性質(zhì)得出 BP?OC= DO?PE,建立關(guān)于t的方程，求出t 的值，綜上所述就可得出符合題意的 t的值。(3)當(dāng)四邊形 PMQN為正方形時，貝U Z PMC= Z PNB= Z CQB=

6、90°, PM= PN,再證明RtACOQsRtAQAB,利用相似三角形的性質(zhì)得出OQ?AQ= CO?AB,設(shè) OQ= m,貝U AQ= 10-m,建立關(guān)于 m的方程，求出 m的值，再分別根據(jù) m的值求出C。BQ的長，再利用 解直角三角形用含t的代數(shù)式分別表示出 PM、PN的長，由PM=PN可得出關(guān)于t的方程， 再解方程，就可求出符合題意的 t的值。2.已知，如圖，AB是。的直徑，點(diǎn) C為。上一點(diǎn)，OFLBC于點(diǎn)F,交。O于點(diǎn)E, AE與BC交于點(diǎn)H,點(diǎn)D為OE的延長線上一點(diǎn)，且 / ODB=/ AEC.(1)求證：BD是。的切線；(2)求證：CE=EH?EA；(3)若。的半徑為2,

7、 sinA= 求BH的長.【答案】(1)證明：如圖， / ODB=/ AEC, / AEC=Z ABC,/ ODB=Z ABC,. ODBC,/ BFD=90 ； / ODB+/ DBF=90 ； / ABC+Z DBF=90 ,°即 / OBD=90 , BDXOB, .BD是。O的切線 / CAE玄 ECR / CEA土 HEC, .CEHAAEC；CE EA. .麗一五， .CE2=EH?EA(3)解：連接BE,如圖3所示:.AB是。的直徑,/ AEB=90 ,°。0 的半徑為 -，sin/BAE=£,1.AB=5, BE=AB?sinZ BAE=5 X =

8、3,EA=4,扁二運(yùn)BE=CE=3CE2=EH?EA $ .EH= 7,在 RtBEH中，BH=1.只需證/ 0BD=90 ,【解析】【分析】(1)要證BD是。0的切線，/ OBC+/ BOD=90 ；所以只須證/ ODB=Z OBC即可。由圓周角定理和已知條件易得/ ODB=Z ABC,貝U / OBC+Z BOD=90 = / ODB+Z BOD,由三角形內(nèi)角和定理即可得 / OBD=90 ;(2)連接AC,要證CE=EH?EA;只需證CEHAEC,已有公共角/AEG再根據(jù)圓周角 定理可得ZCAE=Z ECB即可證CEHAEC,可得比例式求解；(3)連接BE,解直角三角形 AEB和直角三角

9、形 BEH即可求解。3.如圖，拋物線 y=x2+bx+c經(jīng)過B(-1, 0), D(-2, 5)兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為 A,點(diǎn)H是線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn) H的直線PQ±x軸，分別交直線 AD、拋物線于點(diǎn) Q、PD00(：PQH(1)(2)(3)線段QD以每秒“二個單位的速度運(yùn)動到D后停止，當(dāng)點(diǎn) Q的坐標(biāo)是多少時，點(diǎn) M在整個籥用金求拋物線的解析式；是否存在點(diǎn)P,使/APB= 90°,若存在，求出點(diǎn) P的橫坐標(biāo)，若不存在，說明理由；連接BQ, 一動點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段 BQ以每秒1個單位的速度運(yùn)動到 Q,再沿運(yùn)動過程中用時t最少?【答案】(1 )解：把B ( - 1 , 0

10、),D ( 2 , 5)代入一，二孑十，得：,7 - b * c4 - 2b + c拋物線的解析式為:(2)解：存在點(diǎn) P,使/APB=90.當(dāng) y=0 時，即 x2 - 2x - 3=0,解得：X1=-1, X2=3,OB=1, OA=3.設(shè) P(m, m2 2m 3)，則一1WmC§ PH=一 ( m2 2m 3) , BH=1+m, AH=3 m , Z APB=90 ,° PHI± AB, . . / PAH=/ BPH=90 ' / APH, / AHP=/ PHB,AAHPA PHB,PH Ah加 科，PH2=BH?AH, . - ( m2 -

11、 2m - 3) 2= (1+m ) ( 3 - m ),解得m1二N,，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為:m 5貝U DN=5, ON=2, AN=3+2=5, . . tan / DAB=Ii一工=1 , . . / DAB=45 .過點(diǎn) D 作 DK/ x軸，則/ KDQ=Z DAB=45 , DQ=k三 QG.I由題意，動點(diǎn) M運(yùn)動的路徑為折線 BQ+QD,運(yùn)動時間：t=BQ+、七DQ,t=BQ+QG,即運(yùn) 動的時間值等于折線 BQ+QG的長度值.由垂線段最短可知，折線 BQ+QG的長度的最小值為 DK與x軸之間的垂線段. 過點(diǎn)B作BHLDK于點(diǎn)H,則t最小=BH, BH與直線AD的交點(diǎn)，即為所求之 Q

12、點(diǎn). A (3, 0) , D (- 2, 5) , 直線 AD的解析式為：y= - x+3, < B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1, . y=1+3=4, . .Q ( -1,4).【解析】【分析】(1)把點(diǎn)B, D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)中組成二元一次方程組，解方程組 即可得到拋物線的解析式；(2)先按照存在點(diǎn) P使/APB= 90。，先根據(jù)拋物線的解析式求 得點(diǎn)A, B的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn) P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) P的位置確定 m的取值范圍，再證 AHPAPHB,從而得到 PH2=BH?AH,即可列出關(guān)于 m的方程，解方程即可得到m即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，且橫坐標(biāo)在所求范圍內(nèi)，從而說明滿足條件的點(diǎn)P存在；(3)先證明/DA

13、B=45；從而證得DQ= 2 QG,那么運(yùn)動時間t值等于折線BQ+QG的長度值，再結(jié)合 垂線段最短確定點(diǎn) Q的位置，再求得點(diǎn) Q的坐標(biāo)即可.4.如圖，已知：在 RtABC中，斜邊 AB=10, sinA=耳，點(diǎn)P為邊AB上一動點(diǎn)(不與 A,B重合)，PQ平分/CPB交邊BC于點(diǎn)Q, QMLAB于M, QNLCP于N.(1)當(dāng) AP=CP時,求 QP;(2)若四邊形PMQN為菱形，求CQ;(3)探究：AP為何值時，四邊形 PMQN與4BPQ的面積相等?【答案】(1)解：. AB=10, sinA二弓，BC=8,則 ac= ：/ky -變=6, PA=PCZ PAC=/ PCA, PQ 平分 /

14、CPB/ BPC=2Z BPQ=2/ A,/ BPQ=Z A, .PQ/ AC, .PQBC,又 PQ平分 ZCPB,/ PCQ=Z PBQ, .PB=PC .P是AB的中點(diǎn)，IPQ= AC=3(2)解：二四邊形PMQN為菱形,MQ / PC,/ APC=90 ； 二 X ABX CP= AC¥ BC則 PC=4.8,由勾股定理得，PB=6.4, MQ / PC,PB團(tuán)I Bk以凡=m =超=a,即也解得，CQ=(3)解：PQ平分/CPB, QMXAB, QNXCP, .QM=QN, PM=PN,Sapmq=Sapnq ,四邊形PMQN與ABPQ的面積相等，.PB=2PM,.QM是線

15、段PB的垂直平分線，/ B=ZBPQ,/ B=/CPQ.CPCACBP,而, ?網(wǎng) H.CP=4 乂迷=4 義=5, .CQ=.BQ=8-，BM=，AP=AB PB=AB 2BM=AC=6, BC=8,因為 PQ平分【解析】【分析】(1)當(dāng) AP=CP時，由銳角三角函數(shù)可知 /CPB,所以PQ/AC,可知PB=PC所以點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，所以 PQ是4ABC的中位線,PQ =3;(2)當(dāng)四邊形 PMQN為菱形時，因為 /APC=U ,所以四邊形 PMQN為正方形，可得PB 朗四 也PC=4.8, PB=3.6,因為MQ/PC ,所以比 她 即 優(yōu)，可得“ ：;當(dāng)QM垂直平分PB時，四邊形PMQN

16、的面積與 BPQ的面積相等，此時25 I 39 一口譏一二，一、， CPQACBP,對應(yīng)邊成比例，可得8 ,所以 北，因為 AP=AB-2BM,所以11AP=.5.如圖 1,在 4ABC 中，點(diǎn) DE 分別在 AB、AC 上，DE/ BC, BD=CE(1)求證：/ B=/C, AD=AE;(2)若/BAC=90,把 ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到圖 2的位置，點(diǎn) M , P, N分別為DE, DC, BC的中點(diǎn)，連接 MN, PM, PN. 判斷 PMN的形狀，并說明理由； 把4ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若 AD=4, AB=10,請直接寫出 4PMN的最大面積為 OBD CE【答案】(1)證

17、明：DE/ BC, . .亞，-. BD=C . . AB=AC, . . / B=/C,AB-BD=AC- CD, ，AD=AE,即：/ B=/ C, AD=AE(2)解：4PMN是等腰直角三角形，理由：二.點(diǎn)P, M分別是CD, DE的中點(diǎn)， 1.PM=二 CE, PM/CE,點(diǎn)N, M分別是BC, DE的中點(diǎn)，PN= BD, PN/ BD,. BD=CE PM=PN, . APIMN 是等腰三角形， . PM/CE ./DPM=/DCE, . PN / BD,/ PNC=Z DBC, / DPN=Z DCB+Z PNC之 DCB+Z DBC,/ MPN=Z DPM+ / DPN=Z DC

18、E+Z DCB+/ DBC之 BCE叱 DBC=Z ACB+Z ACE+/ DBC之 ACB+ / ABD+Z DBC=Z ACB+Z ABC, / BAC=90 ,°/ ACB+/ ABC=90 ；/ MPN=90 ； APMN是等腰直角三角形? I J【解析】【解答】解：由知，APMN是等腰直角二角形，PM=PN=- BD,，PM最大時，4PMN面積最大，.點(diǎn)D在AB的延長線上，BD=AB+AD=14,. PM=7, /.Sapmn最大1 J=- pm2=工 X乍?.【分析】(1)根據(jù)平行線分線段成比例定理及BD=CE可得AB=AC進(jìn)而可得AD=AE由等邊對等角可得 /B=/ C

19、. (2) 由中位線定理可得PM=_CE,PM/CE,PN= BD,PN/BD,由BD=CE可得PN=PM.由兩直線平行同位角相等可得/DPM=/DCE, / PNC=/ DBC利用三角形的外角的性質(zhì)和等量代換可得/ MPN=/ABC+/ACB=/BAC=90 ,所以 PMN是等腰直角三角形。當(dāng)PN最大時，4PMN的面積最大，當(dāng)點(diǎn) D在AB的延長線上時，PN最大，1PN= BD=7根據(jù)三角形的面積計算公式可得結(jié)論。6.在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動，4ABC是邊長為2的等邊三角形，E(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn) 請你找出來，并證明;是AC上一點(diǎn)，小亮以 BE為邊向BE的右側(cè)作等邊三角形 BE

20、F,連接CF.E在線段AC上時，EF、BC相交于點(diǎn)D,小亮發(fā)現(xiàn)有兩個三角形全等,(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動時，點(diǎn)F也隨著運(yùn)動，若四邊形 ABFC的面積為 的長；（3）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上運(yùn)動時， CR BE相交于點(diǎn)D,請你探求4ECD的面 積Si與4DBF的面積S2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（4）如圖2,當(dāng)4ECD的面積S=時，求AE的長.【答案】（1）解：現(xiàn)點(diǎn)E沿邊AC從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動過程中，始終有 ABE74CBF.由圖 1 知，4ABC 與 4EBF 都是等邊三角形，AB=CB BE=BF /ABC=/ EBF=60 ,/ CBF=/ ABE=60-Z CBE ABE?A

21、CBF.（2）解：由（1）知點(diǎn)E在運(yùn)動過程中始終有 ABE?CBF,因四邊形BECF的面積等于三角形 BCF的面積與三角形 BCE的面積之和，四邊形 BECF的面積等于4ABC的面積，因4ABC 的邊長為 2 ,則四邊形BECF的面積為 W,又四邊形 ABFC的面積是/ ，在三角形 ABE中，因/A=60； .,邊AB上的高為 AEsin60 , °J11S4航 二二的.但- X 2 X AE卜,則 AEq .(3)解：5： 51-誼.由圖 2 知，4ABC與4EBF都是等邊三角形，. AB=CR BE=BF /ABC=/ EBF=60 ,又/CBF土 ABE=60 + /CBE,

22、.1.ABE?ACBF儲應(yīng) = 成，.;屐=3加, ”做，則5d砸 5"斑)-5矩。-木,貝J(4)解：由(3)知 5? S1 = © ,即5L - 4 , AABE?ACBF,AE=CF / BAE=Z BCF=60 ,°又/BAE=Z ABC=60 ,得 / ABC=/ BCF, . CF/ AB,貝U 4BDF 的邊 CF 上的高與 ABC 的高相等，即為兇，則 DF= 3,設(shè) CE=x 貝U 2+x=CD+DF=CD+. . CD=x1',CD CE在 ABE 中，由 CD/ AB 得，AB dE ,即？1化簡得3/ 工 力. x=1或x=- J

23、（舍），即 CE=1,AE=3.【解析】【分析】（1）不難發(fā)現(xiàn)ABE?CBF,由等邊三角形的性質(zhì)得到相應(yīng)的條件，根 據(jù)“SA洌定三角形全等；(2)由(1)可得ABE?CBF,則S般 二5d漏，則四邊形 ABFC= 減* S典迄瞬0二$施，. S四小5砂二SZ板5a戰(zhàn)，由四邊形 ABFC的I E面積為/ 和等邊三角形 ABC的邊長為2,可求得4ABE的面積，由底 ABX AEsin60；構(gòu)造 方程可解出 AE. ( 3)當(dāng)E在 AC的延長線上時，ABE?CBF依然成立，則 SsASS 曲,即"樹子初 '5四 -5博+5砥 由等量關(guān)系即可得答案. (4 ) 由 (3 ) 可求出4

24、FBD 的面積，由 ABE74CBF, 則 AE=CF , /BAE=/ BCF=60=Z ABC,則CF/AB,則對于 BDF的邊CF上的高等于 ABC的高，則可求CD CB出DF的長度；由 AE=CF可設(shè)CE=x且CD/AB可得加 AE，代入相關(guān)值解出 x即可./35v = a(x - -) 2 B( - -2)C(-.2)7,已知頂點(diǎn)為必拋物線B 經(jīng)過點(diǎn) /，點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1,直線AB與x軸相交于點(diǎn)M,y軸相交于點(diǎn)E,拋物線與y軸相交于點(diǎn)F,在直 線AB上有一點(diǎn)P,若/ OPM=/MAF,求APOE的面積；(3)如圖2,點(diǎn)Q是折線 A-B-C上一點(diǎn)，過點(diǎn) Q作QN

25、/y軸，過點(diǎn) E作EN/ x軸，直線QN與直線EN相交于點(diǎn)N,連接QE,將 QEN沿QE翻折得到4QEN1 ,若點(diǎn)Ni落在x軸 上，請直接寫出 Q點(diǎn)的坐標(biāo).(2)解：設(shè)直線 AB解析式為：y=kx+b,代入點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得:I-2 - -k b9/立32 - -k-f-b一 ,I k - - J解得：- 7,直線AB的解析式為：y=-2x-1, E (0, -1) , F (0,-),M (j，0), .OE=1, FE=-，, / OPM=Z MAF,當(dāng) OP/ AF 時，AOPEA FAEOP OF1FAFE3 .OP=JFA=設(shè)點(diǎn) P (t,-2t-1 ),.OP=化簡得：(15t+2)

26、 (3t+2) =0,f r 一解得"J,SaopE= - OE / , a i 2 i 當(dāng) t=- /3時，Sa ope= E X 1Y = 15 ,綜上，APOE的面積為心或J .(3) Q (-九值).【解析】【解答】(3)解：由(2)知直線AB的解析式為：y=-2x-1,E (0, -1),設(shè) Q (m, -2m-1) N (n, 0),1. N (m,-1)QEN沿QE翻折得到QEN，NNi 中點(diǎn)坐標(biāo)為(？ ，2) , EN=ENi ,.NNi中點(diǎn)一定在直線 AB上,Ni (-2-m, 0), . EN2=ENi2 ,1m2=(-工-m) 2+1, 5解得：m=-,.Q (

27、，【分析】(1)用待定系數(shù)法將點(diǎn) B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可得出(2)設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b,代入點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得一個關(guān)于 k和b的二兀一次方程組，解之即可得直線 AB解析式，根據(jù)題意得 E (0, -1) , F (0, - J)據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得OP= J FA=1一'，設(shè)點(diǎn) P (t,-2t-1),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求得t值，再由三角形面積公式 POE的面積.(3)由(2)知直線 AB 的解析式為：y=-2x-1,E (0, -1),設(shè) Q (m, -2m-1) ,Ni (n,卜一刃0),從而得 N (m,-1),根據(jù)翻折的性質(zhì)知 NNi中點(diǎn)坐標(biāo)為(二

28、，2)且在直處件"-日-日" 3線AB上，將此中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線AB斛析式可得n=-=-m,即Ni (-m, 0),再根據(jù)翻折的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式得m2= (- 1 -m) 2+1,解之即可得Q點(diǎn)坐標(biāo).8 .已知一次函數(shù)y二-x-12的圖象分別交x軸，y軸于A, C兩點(diǎn)。4(1)求出A, C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在x軸上找出點(diǎn) B,使ACBAOC,若拋物線過 A, B, C三點(diǎn)，求出此拋物線的解 析式；(3)在(2)的條件下，設(shè)動點(diǎn) P、Q分別從A, B兩點(diǎn)同時出發(fā)，以相同速度沿 AC、BA向 C, A運(yùn)動，連接 PQ,設(shè)AP=m,是否存在 m值，使以A, P, Q為頂點(diǎn)的三

29、角形與 4ABC 相似*存在，求出所有 m值；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮?1)解：在一次函數(shù) y=- x x-12中，當(dāng)x=0時，y=-12; 當(dāng) y=0 時,x=-16，即 A(-16,0),C(0,-12)(2)解：過C作CB± AC,交x軸于點(diǎn)B,顯然，點(diǎn)B為所求。則 OC2=OA?OB,此時 OB=9,可求得 B(9,0);此時經(jīng)過A. B.C三點(diǎn)的拋物線的解析式為I 7y= lb x2+ 夏 x-12(3)解：當(dāng) PQ/ BC時，如圖(l)AAPQsACB;則有:106解得m= 9 .XiQo(1)當(dāng) PQ± AB 時,AAPQs ACB;有:=，即【解析】【

30、分析】(1)令直線的解析式 y=0,可得A的坐標(biāo)，令x=0,可得C的坐標(biāo)(2) 要使ACBAOC,則B點(diǎn)必為過C點(diǎn)且垂直于 AC的直線與x軸的交點(diǎn).那么根據(jù)射影定.(3)本題可分兩種理不難得出 B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式情況進(jìn)行求解： 當(dāng)PQ/ BC時，APQsACB; 當(dāng)PQLAB時，AAPQAACBM 據(jù)各自得出的不同的對應(yīng)成比例線段求出m的值.9 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A ( 5, 0),以O(shè)A為半徑作半圓，點(diǎn) C是第一象限內(nèi)圓周上一動點(diǎn)，連結(jié) AC BC,并延長BC至點(diǎn)D,使CD= BC,過點(diǎn)D作x軸垂線，分別 交x軸、直線AC于點(diǎn)E、F,點(diǎn)E為垂足，

31、連結(jié) OF.D(1)當(dāng)/BAC= 30o時，求 ABC的面積；(2)當(dāng)DE= 8時，求線段EF的長；(3)在點(diǎn)C運(yùn)動過程中，是否存在以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與 4ABC相似，若存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 【答案】(1)解：.AB是。的直徑，/ ACB=90 ；在 RtABC 中，AB=10, /BAC=30,IBC= AB=5,.AC=4山-近二店,/.Sa abc=± AC?BC= ?(2)解：連接AD,Da A ACB=90 ,° CD=BC.AD=AB=10, .DEXAB,.,AE= J"-怵=6,BE=AB-AE=4,.DE=2BE

32、, / AFE+/ FAE=90 ； / DBE+Z FAE=90 ,/ AFE=Z DBE, / AEF=Z DEB=90 ；.AEDDEB,ae dA占一至二2,.EF= 2 AE二一；X 6=3(3)解：連接 EC,設(shè) E(x, 0),囹當(dāng)度的度數(shù)為60°時，點(diǎn)E恰好與原點(diǎn)O重合；團(tuán)0。也;的度數(shù)60 °時，點(diǎn)E在O、B之間，/EOF/ BAC=/ D,又 /OEF玄 ACB=90,由相似知 /EOF=/EBD,此時有 EOD EBD,OF OfiBE 的 , ?EC是RtA BDE斜邊的中線，1 .CE二CB / CEB二Z CBE, / EOF玄 CEB2 .OF

33、/ CE, .AOFAAEC解得x= ,因為x0,60 ° 壯的度數(shù)90 °時，點(diǎn)E在O點(diǎn)的左側(cè),若/ EOF二Z B,貝U OF/ BD,1 1 .OF= BC= BD,OF OE t | 713加跖；即5 " A ?解得x= 工/ n, l若 / EOF二Z BAC,貝U x=-二, - 15 -f-肉,3p綜上點(diǎn)E的坐標(biāo)為( J ,0) ; ( J , 0);(上，0).【解析】 【分析】(1)根據(jù)圓周角定理求得 /ACB=90,根據(jù)30。的直角三角形的性質(zhì)求得BC,進(jìn)而根據(jù)勾月定理求得AC,然后根據(jù)三角形面積公式即可求得；(2)連接AD,由垂直平分線的性質(zhì)

34、得 AD=AB=10,又DE=8,在RtA ODE中，由勾股定理求 AE,依題意證 明AED4DEB,利用相似比求 EF; (3)當(dāng)以點(diǎn)E、0、F為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似 時，分為兩種情況：當(dāng)交點(diǎn)E在0, B之間時；當(dāng)點(diǎn)E在0點(diǎn)的左側(cè)時；分別求 E點(diǎn)坐標(biāo).10.如圖，正方形 血田、等腰也/國的頂點(diǎn)月在對角線 股上(點(diǎn)F與月、上不重合)，鼾 與比交于E , |酬延長線與圍交于點(diǎn)忸，連接S .D(1)求證：附 底.(2)求證：=""(2)解：,一/反是正方形，. .41產(chǎn)=獷|,切加BC = CD加”屈是等腰三角形，.£QPB =FPA = 180°NA

35、PS = 180v- ZAPB = 135°4壓?/ABP+ ZPAB* ZAPB二g1ABP 180°ZPABAPB = 180°-獷ZAPb(3)解：由得CQ AF ,由(2) ZAPF /拓F ,?。?士A印QC AP一【解析】【分析】(1)證出/ABP=/ CBQ,由SAS證明ABPCBQ可得結(jié)論;(2 )根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等角形的性質(zhì)得到物ZAPF=Z ABP,可證明APM4ABP,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/BCQ=/ BAC=45°,可得/ PCQ=90°,根據(jù)三角函數(shù)和已知條件得到AP 1

36、-PC 3 ,由(2)可得即等量代換可得/CBQ=/ CPQ即可求解.11 .如圖所示，在 ABC中, 的動點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，點(diǎn)AB=AC= 5,。為 BC邊中點(diǎn)，BC= 8,點(diǎn) E、H、F是線段 AC上的動點(diǎn)，且 EF/ GH/ BC .G是線段AB上設(shè)點(diǎn)。到EF、(1)若AEOF的面積為S:用關(guān)于x的代數(shù)式表示線段 EF的長；求S的最大值；x與y應(yīng)滿足的(2)以點(diǎn)。為圓心，當(dāng)以 OE為半徑的圓與以 OG為半徑的圓重合時，求 關(guān)系式，并求x的取值范圍.【答案】(1)解：如圖1,連接OA ,交EF于M ,以O(shè)E為半徑的圓與以 OG為半徑的圓重合,，OE= OG ,過點(diǎn) O 作 ODLAB 于

37、 D ,OA=-4=3,.AB=AC, O 為 BC邊中點(diǎn),OAXBC ,. EF/ BC ,AM XEF ,BC= 8,.OB= BC= 4,在RtA AOB中，根據(jù)勾股定理得,點(diǎn)O到EF的距離為為x ,.OM = x ,.AM = OA- OM=3x ,EF/ BC ,.AEFAABC ,. 一 H v 0,，當(dāng)x= I上時，S最大=3(2)解：如圖2,8EF -(3 - x)s S= Saoef=，DE=DG ,連接OA ,由(1)知，OA± BC , OA= 3,OA 3（據(jù)在 RtAOB 中，sinB= WF 5, cosA= AB,j過點(diǎn)E作EP± BC于P在 RtBPE 中，sinB=,PE= x ,PE而，PE 5.BE=過點(diǎn) G 作 DQ，BC于Q , GQ= y ,在 RtBQG 中，BG= siti5.DE=-EG -(BG - BE)&dari5-r3 ,5-(v - x)=6在 RtA BDO 中，BD= OB?cosB=16.DE=BD