2020屆吉林省長(zhǎng)春市高三二模數(shù)學(xué)(文)試題解析

1、絕密啟用前數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1 .已知集合 A xx x 20 , B 1,0,1,2,3 ，則 A。B ()A,1,0,3B. 0,1C, 0,1,2D. 0,2,3答案：C先解一元二次不等式，解出集合A,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.解：解：因?yàn)?A x0 x 2 , B 1,0,1,2,3 ；ApB 0,1,2 .故選：C.點(diǎn)評(píng)：此題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2 .若 z 1(1 a)i ( aR),|z| 72,則 a ()A. 0 或 2B.0C. 1 或 2D. 1答案：a利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算列方程，

2、解方程求得a的值.解：由于 z 1 (1 a)i (a R),|z| J2,所以小2 1 a 2 J2,解得 a 0或 a 2.故選：A點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.1ogA. y 23,下列與函數(shù)y -尸te義域和單倜性都相同的函數(shù)是()D.B. y log2 - C. y 10g2一2x答案：c分析函數(shù)y此確定正確選項(xiàng)解:函數(shù)y1的定義域?yàn)?0,在0,上為減函數(shù)A選項(xiàng)，y 2log2x的定義域?yàn)?, ，在0,上為增函數(shù)，不符合1 x人B選項(xiàng)，y log2 的te義域?yàn)镽 ,不符合.1ccC選項(xiàng)，y 10g2的定義域?yàn)?0, ，在0,上為減函數(shù)，符合x1D選項(xiàng)，v 乂4的定義

3、域?yàn)?0,，不符合.y x故選：C點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題4.已知等差數(shù)列 an中，若3% 2a7,則此數(shù)列中一定為 0的是（）A. a1答案：AB. a3C. a8將已知條件轉(zhuǎn)化為 a1，d的形式，由此確定數(shù)列為 0的項(xiàng).解:由于等差數(shù)列 an中3a5 2a7，所以3 al 4d2 al 6d ,化簡(jiǎn)得a1 0 ,所以a1為 0.故選：A點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題5.若單位向量e2夾角為60”,C.如B. 2D. 1答案：C利用平面數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出的值，進(jìn)而可得出a的值.的定義域和單調(diào)性，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性

4、，由解:由于位向量己、e2夾角為60,則己供T223 4e21121 e2e2q. .e2.cos6O 1,，1 ， c4 4-1 3,因此,2v3.故選：c.點(diǎn)評(píng): 本題考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算平面向量的模，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題6.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）規(guī)定了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng) .為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)，根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖（如圖，每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為 5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是(SpiderChart),可用于對(duì)研（注：雷達(dá)圖（RadarChart）,又可稱為戴布拉圖、蜘蛛網(wǎng)圖究對(duì)象的多維分析） V

5、乙A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲答案：D根據(jù)雷達(dá)圖，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤得到答案解：根據(jù)雷達(dá)圖得甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)低于乙，所以A錯(cuò)誤根據(jù)雷達(dá)圖得甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，所以B錯(cuò)誤根據(jù)雷達(dá)圖得乙的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象最差，所以C錯(cuò)誤根據(jù)雷達(dá)圖得乙整體為 27分，甲整體為22分，乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲，所以正確故答案選D點(diǎn)評(píng)：本題考查了雷達(dá)圖，意在考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力7.命題p :存在實(shí)數(shù)xo,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,使得sin x xsinx恒成立；q ： a 0 ,axf (x) In為奇

6、函數(shù)，則下列命題是真命題的是()a xA. P qB. ( p) ( q) C. p ( q)D. ( p) q答案：A分別判斷命題P和q的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題白真假性判斷出正確選項(xiàng).解：對(duì)于命題P ,由于sin x sinx,所以命題P為真命題 對(duì)于命題q,由于a 0,由a一x 0解得 a x a,且a x if x In In 口 In - f x ,所以f x是奇函數(shù)，故q為 a x a xa x真命題.所以P q為真命題.(p) ( q)、p ( q)、( P) q都是假命題.故選：A點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于

7、基礎(chǔ)題.In x, x 0.，、8 .已知函數(shù)f (x),則函數(shù)y f (x) 3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()2x(x 2),x 0A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B對(duì)x分x 0,x 0兩種情況求方程f (x) 3=0的根的個(gè)數(shù)即得解.解：當(dāng) x0 時(shí)，| ln x |3 0,ln x 3,xe3或 e 3 ,者B滿足 x 0 ;當(dāng) x0時(shí)，2x24x 30,2x24x3 0,：2 0,16 42 3 0 ,所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.綜合得函數(shù)y f(x) 3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法, 推理能力.意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析sin 一9 .已知 為銳角，且 3t

8、an ,則角 ()3sin 3B.C, 4D.答案：Csin 一,3 .對(duì)3 tan 先化切為弦，再利用和角差角的正余弦公式化簡(jiǎn)即得解3 sin3解:sin - sin 一cos(,133ii ，一 .由題得 3- 3為銳角，二. sinsin - cos(-)1,313 .tan-sin一 cos-cossin,sincos ,22221.因?yàn)闉殇J角，=4故選：C點(diǎn)評(píng):本題主要考查同角的三角函數(shù)關(guān)系和和角差角的正余弦公式的應(yīng)用, 些知識(shí)的理解掌握水平.意在考查學(xué)生對(duì)這22x y22一10.若雙曲線-T yr 1 （a 0，b 0）的一條漸近線被圓 X y 4y 0截得 a b的弦長(zhǎng)為2,則雙

9、曲線的離心率為（）a. nb.而2.232<33答案：D 求得雙曲線的一條漸近線方程，求得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式,可得a , b的關(guān)系,即可得到所求的離心率.解:2雙曲線C： a2 y b21（a 0,b 0）的一條漸近線方程設(shè)為bx ay 0,由題得圓x2(y22）4的圓心為（0,2）,半徑r 2,可得圓心到漸近線的距離為|0 2a |2屋有'化為3b2,所以b2 1a23,故選:點(diǎn)評(píng):D .ce - a本題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1n 2 c*Sn (

10、 n N ),則 Sn()nnB. n 2D. 2n 3n 1答案:由題得an 1解:由題得an再利用累乘法求出an (n1)2n 1 ,即得 Sn .SnnanSn(n 1注annan 1n 2（n 2）an 1 所以一 an2)由題得a26,包a13,所以an所以a2a1曳a2包a3所以ana12nan(n1)所以Sn(n2) 2n2nan(n 1).2優(yōu)4an 12n 1點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查數(shù)列前n項(xiàng)和與an的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12 .在正方體ABCD AB1C1D1中，點(diǎn)E, F , G分別為棱AD , DQ , AB1的中平面BGCi ；E

11、F和BBi點(diǎn)，給出下列命題： AC1 EG ；GC/ED ;BF成角為一.正確命題的個(gè)數(shù)是（）4A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C建立空間直角坐標(biāo)系， 利用向量的方法對(duì)四個(gè)命題逐一分析,由此得出正確命題的個(gè)數(shù)解:設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 2,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示,A 2,0,0 ,Ci 0,2,2 ,G 2,1,2 ,C 0,2,0,E 1,0,2 ,D 0,0,0 ,B 2,2,2 ,F 0,0,1 ,B2,2,0 .，AC12,2,2 ,EG1,1,02 2 0 0,所以 AG EG ,故正確.2,1, 2 ,ED1,0, 2，不存在實(shí)數(shù)使GC ED ,故 GC/ED 不成立，故錯(cuò)誤.

12、cos2, 2, 1 ,bG0, 1,2 ,Bc|2,0,2 ,0 ,故B1F 平面BGC1不成立，故錯(cuò)誤.0,BFBC0,0,2 ，設(shè)EF和BB1成角為，則口由于20,所以 ,故正確.綜上所述，正確的命題有 2個(gè).故選：C點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.二、填空題2x y 213 .若x,y滿足約束條件 y 2 0 ,則z x y的最大值為 .2x y 2答案：4解：作出可行域如圖所示:,2x y 2 A”由 J ,解得A 2,2y 2目標(biāo)函數(shù)z x y ,即為y x z,平移斜率為-1的直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 2,2時(shí),zmax2 24.1

13、4 .曲線f(x) 2sin x在x 一處的切線與直線 ax y 1 0垂直，則a 3答案：1先求出切線的斜率 k f () 1,解方程1 ( a)1即得解.3解: 由題得 f (x) 2cosx, k f (-) 1.3所以 1 ( a) 1, a 1.故答案為：1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查兩直線垂直的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15 .在半彳仝為2的圓上有A , B兩點(diǎn)，且AB 2 ,在該圓上任取一點(diǎn) P ,則使得 PAB 為銳角三角形的概率為 .1答案：一6如圖，當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PAB為銳角三角形.求出劣弧CD的長(zhǎng)，再利用幾何概型的概率公式求解 .解

14、：如圖，四邊形 ABCD是矩形，當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PAB為銳角三角形由于 OD=OC=CD=2 ,所以 COD -, 3_ , _，一，2所以劣弧CD的長(zhǎng)為2 二，332由幾何概型的概率公式得 -31.2 2 6- -1故答案為：,6點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平三、雙空題16 .三棱錐 A BCD的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，滿足 BD過(guò)球心O,且BD 2J2，則三棱錐 A BCD體積的最大值為;三棱錐 A BCD體積最大時(shí)，平面ABC截球所得的截面圓的面積為由于BD是球的直徑，故當(dāng)OC BD,OA BD時(shí)，三棱錐A BCD體積取得最大值,由此

15、求得體積的最大值.求得三棱錐 A BCD體積最大時(shí)，等邊三角形 ABC的外接圓半徑，由此求得等邊三角形 ABC的外接圓的面積，也即求得平面 ABC截球所得的截面圓的面積.解:依題意可知，BD是球的直徑，所以當(dāng)OC BD ,OABD，即 OC OA72時(shí),三棱錐A BCD體積取得最大值為131Sbcd OA -31222 .22此時(shí)BC AC AB2,即三角形ABC是等邊三角形，設(shè)其外接圓半徑為2 2r弦定理得sin 一3173 ,所以等邊三角形 ABC的外接圓的面積，也即平面 ，21ABC截球所得的截面圓的面積為 4 r2 413故答案為：(1). 2-2 (2). 33點(diǎn)評(píng):本小題主要考查幾

16、何體外接球的有關(guān)計(jì)算,考查球的截面面積的計(jì)算，考查空間想象能力，屬于中檔題.四、解答題2117 .已知在 ABC 的二個(gè)內(nèi)角分別為 A、B、C , sin Bsin2 A J2cosA，cosB 3.(1)求A的大?。?2)若 AC 2,求 AB長(zhǎng).答案：(1) A (2)Y6 134(1)由題得sin B 2Y2,再解方程2 1 cos2 A 3cosA即得解；(2)求出3sinC 3 2 2 再利用正弦定理得解.6解：(1)由題得sin B2所以 2sin A 3cos A ,所以 2 1 cos A3cos A,1"八、1 1 2_23 2 , 32 3 2361 .解得 co

17、sA , A (0, ) .-.A . 23(2) sin C sin( A B) sin AcosB cosAsin BAB AC /曰 AC 八 6由正弦te理得ABsin C sin C sin B sin B4點(diǎn)評(píng):本題主要考查同角的三角函數(shù)關(guān)系,考查和角的正弦公式的應(yīng)用， 考查正弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平18. 2019年入冬時(shí)節(jié)，長(zhǎng)春市民為了迎接2022年北京冬奧會(huì)，增強(qiáng)身體素質(zhì)，積極開(kāi)展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項(xiàng)目中隨機(jī)選出100名參與者，并由專業(yè)的評(píng)估機(jī)構(gòu)對(duì)他們的鍛煉成果進(jìn)行評(píng)估打分(滿分為100分)并且認(rèn)為評(píng)分不低于80分的參與者擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)，得到如圖

18、所示的頻率分布直方圖：Ulfl _ ! 一- r-Lb1上'！FF . , (1)求m的值;2 2列聯(lián)(2)將選取的100名參與者的性別與是否擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)將下列表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率在不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系？擅長(zhǎng)不擅長(zhǎng)合計(jì)男性30女性50合計(jì)100P K2 k0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282n(ad bc)2一-(K ,其中 n a b c d )(a b)(c d)(a c)(b d)答案：(1) m 0.025 (2)填表

19、見(jiàn)解析；不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系(1)利用頻率分布直方圖小長(zhǎng)方形的面積和為1列方程，解方程求得 m的值.(2)根據(jù)表格數(shù)據(jù)填寫2 2列聯(lián)表，計(jì)算出 K2的值，由此判斷不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系.解：(1)由題意 0.005 2 0.015 0.02 m 0.03 10 1,解得 m 0.025.100 (800 300)250 50 30 704.762 ，(a b)(c d)(a c)(b d)(2)由頻率分布直方圖可得不擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為0.025+0.003 10 100 30.擅長(zhǎng)不擅長(zhǎng)合計(jì)男性20

20、3050女性104050合計(jì)3070100完善列聯(lián)表如下:“2n(ad bc)2K對(duì)照表格可知，4.762 6.635,不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為擅長(zhǎng)冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算小長(zhǎng)方形的高，考查2 2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.19 .如圖，直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，AB BC ,AA 2AB 4, M , N分別為CC1 , BB1的中點(diǎn)，G為棱AAi上一點(diǎn)，且AB NG .(1)求證 AB GM ；(2)求點(diǎn)A到平面MNG的距離.答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)蟲55(1)先證明AB 平面mng,AB

21、MG即得證；(2)設(shè)AB與GN交于點(diǎn)E,先求出BE 4二5 ,再求出 A1E 615即得解. 55解：(1)由題意平面 ABB1A1平面BCC1B1,因?yàn)镸N BB1,所以MN 平面ABB1A1，因?yàn)锳B 平面ABB1A1,所以MN AB,因?yàn)镚N AB,MN,GN 平面 MNG,MN°GN N ,所以AB 平面MNG,因?yàn)镸G 平面MNG,所以AB MG.(2)設(shè)AB與GN交于點(diǎn)E,在直角4 AiBBi 中，COS ABBi42、5BE4、5,所以BE 二5,25, ，一 .2 - BE在直角 BNE中，cos AiBBi J55 BN則A1E2萬(wàn)還56.55因?yàn)锳B 平面MNG,

22、所以AiE就是Ai到平面MNG的距離, 可知Ai到平面MNG的距離為65 .5點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線平面位置關(guān)系的證明，考查空間點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平 .2220.已知橢圓C：與 匕 i (a b 0)的左、右頂點(diǎn)分別為 A、B,焦距為2, a b點(diǎn)P為橢圓上異于 A、B的點(diǎn)，且直線 PA和PB的斜率之積為 -.4(i)求C的方程；(2)設(shè)直線AP與y軸的交點(diǎn)為Q ,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。作OMAP交橢圓于點(diǎn) M，試證明空T|OM |為定值，并求出該定值.2答案：(i)42i (2)證明見(jiàn)解析；該定值為 2 3.一 b2(i)由已知得與 ag ,且c i,即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

23、方程;4(2)設(shè)直線AP的方程為:y k(x 2),求出6 8k2Xp2p 3 4k2i22萬(wàn)，再計(jì)算3 4k2解:2(1)已知點(diǎn)P在橢圓C :與 a2L 1 b20)上,可設(shè)P22x0,"，即式b2又kAPI, V。 V。kBPXoa Xo ay2Xoab2且2c22 ,可得橢圓C的方程為42 y3(2)設(shè)直線AP的方程為：y k(x2),則直線OM的方程為ykx.聯(lián)立直線AP與橢圓C的方程可得:4k216k2422x 16k2由Xa2,可得xpp6 8k23 4k2聯(lián)立直線OM與橢圓C的方程可得:4k2120,r 12即xM 2,即3 4k2IAP|AQ|OM |2點(diǎn)評(píng):本題主要

24、考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,的理解掌握水平.1 3221 .已知函數(shù)f(x) -x x 3(1)若x1為f (x)的極值點(diǎn)，且(2)答案:(1)xpXaXp 2|0 2| 922 .XM考查橢圓中的定值問(wèn)題,mx m.f X1XM意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)f X2 ( X1 X2),求 2x1 X2 的值.求證：當(dāng) m 0時(shí)，f(x)有唯一的零點(diǎn).(1) 2x1 X23(2)證明見(jiàn)解析由題得222x1 +x1x2+x2 +3x1+3x2+3m 0, 3x1 6x1 3m 0,對(duì)兩式消元因式分解即得2為1 3X2的值；(2)由題得一X 32. 1 32x m(x 1),再分析 h(x) - x x 和3

25、y m(x1)的圖象即得當(dāng)m 0時(shí),f(x)有唯一的零點(diǎn).解:(1)由題得2f (x) x 2x m,1 32m - x2 x2 mx2 m3，1 32由題可知f斗 f x2 ,所以x1 x1 mx132 .2 ,所以x1 +x1x2+x2 +3x1+3x2+3m 0 (i )因?yàn)閒 X 0,所以2X122x1 m 0 .即 3x16x1 3m 0 (ii)(ii2)-(i )得 2x1X1X22X23x1 3x2 0,(2x1X2)(X1 X2)3(x1 X2) 0,所以(2 X1x23)(X1X2)0, X1 X2, 2X1X23.(2)令 f(x)m(x 1),1 3mx m 0 則 一

26、 x3人13令 h(x) -xh (x)可知h(x)在(,2)和(0,)上單調(diào)遞增，在2.0上單調(diào)遞減,4、c又 h( 2) , h(0) 0 ； 3y m(x 1)為過(guò)(1,0)點(diǎn)的直線，又m 0,1 32因此£X X m(x 1)有且只有一個(gè)交點(diǎn), 31 32即f (x) -x x mx m有唯一的零點(diǎn). 3點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)和極值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.22.已知曲線C1的參數(shù)方程為x 2 2cosy 2sin為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為38 t cos 34 (t為參數(shù)).t sin 4(1)求C1和C2的普通方程;(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線交曲線C1于點(diǎn)M (M異于O),交曲線C2于點(diǎn)N ,求值.答案：(1)曲線C1的普通方程為：(x 2)2 y24 ；曲線C2的普通方程為:X y 8 0 (2) 4(&am