空間幾何體的表面積與體積示范教案

1、1.3空間幾何體的表面積與體積1.3.1 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析本節(jié)一開始的思考”從學(xué)生熟悉的正方體和長(zhǎng)方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關(guān)系，目的有兩個(gè)：其一，復(fù)習(xí)表面積的概念，即表面積是各個(gè)面的面積的和；其二，介紹求幾何體表面積的方法，把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.接著，教科書安排了一個(gè)探究”，要求學(xué)生類比正方體、長(zhǎng)方體的表面積，討論棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積問題，并通過例1進(jìn)一步加深學(xué)生的認(rèn)識(shí).教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生討論得出：棱柱的展開圖是由平行四邊形組成的平面圖形，棱錐的展開圖是由三角形組成的平面圖形，棱臺(tái)的展形圖是由梯形組成

2、的平面圖形.這樣，求它們的表面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形和梯形的面積問題.教科書通過思考”提出如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？”的問題.教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生回憶圓柱、圓錐的形成過程及其幾何特征，在此基礎(chǔ)上得出圓柱的側(cè)面可以展開成為一個(gè)矩形，圓錐的側(cè)面可以展開成為一個(gè)扇形的結(jié)論，隨后的有關(guān)圓臺(tái)表面積問題的探究”，也可以按照這樣的思路進(jìn)行教學(xué).值得注意的是，圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有統(tǒng)一的表面積公式，得出這些公式的關(guān)鍵是要分析清楚它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析，在分別學(xué)習(xí)了圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式后，可以引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)

3、、變化的觀點(diǎn)分析它們之間的關(guān)系.由于圓柱可看成上下兩底面全等的圓臺(tái)；圓錐可看成上底面半徑為零的圓臺(tái)，因此圓柱、圓錐就可以看成圓臺(tái)的特例.這樣，圓柱、圓錐的表面積公式就可以統(tǒng)一在圓臺(tái)的表面積公式之下關(guān)于體積的教學(xué).我們知道，幾何體占有空間部分的大小，叫做幾何體的體積.這里的大小”沒有比較大小的含義，而是要用具體的數(shù)”來定量的表示幾何體占據(jù)了多大的空間，因此就產(chǎn)生了度量體積的問題.度量體積時(shí)應(yīng)知道：完全相同的幾何體，它的體積相等；一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積的和.體積相等的兩個(gè)幾彳S體叫做等積體.相同的兩個(gè)幾何體一定是等積體，但兩個(gè)等積體不一定相同.體積公式的推導(dǎo)是建立在等體積概念之上的.柱

4、體和錐體的體積計(jì)算，是經(jīng)常要解決的問題.雖然有關(guān)公式學(xué)生已有所了解，但進(jìn)一步了解這些公式的推導(dǎo)，有助于學(xué)生理解和掌握這些公式，為此，教科書安排了一個(gè)探究”,要求學(xué)生思考一下棱錐與等底等高的棱柱體積之間的關(guān)系.教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生類比圓柱與圓錐之間的體積關(guān)系來得出結(jié)論.與討論表面積公式之間的關(guān)系類似，教科書在得出柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式后，安排了一個(gè)思考”，目的是引導(dǎo)學(xué)生思考這些公式之間的關(guān)系，建立它們之間的聯(lián)系.實(shí)際上，這幾個(gè)公式之間的關(guān)系，是由柱體、錐體和臺(tái)體之間的關(guān)系決定的.這樣，在臺(tái)體的體積公式中，令S=S得柱體的體積公式；令S=0得錐體的體積公式.值得注意的是在教學(xué)過程中，要重視發(fā)揮

5、思考和探究等欄目的作用，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些公式之間的關(guān)系，建立它們的聯(lián)系.本節(jié)的重點(diǎn)應(yīng)放在公式的應(yīng)用上，防止出現(xiàn)：教師在公式推導(dǎo)過程中糾纏不止”，要留出空白”，讓學(xué)生自己去思考和解決問題.如果有條件，可以借助于信息技術(shù)來展示幾何體的展開圖.對(duì)于空間想象能力較差的學(xué)生，可以通過制作實(shí)物模型，經(jīng)過操作確認(rèn)來增強(qiáng)空間想象能力三維目標(biāo)1 .了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式（不要求記憶），提高學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣2 .掌握簡(jiǎn)單幾何體的體積與表面積的求法，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、化歸以及類比的能力.重點(diǎn)難點(diǎn)教

6、學(xué)重點(diǎn)：了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：表面積和體積計(jì)算公式的應(yīng)用.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.在過去的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？（引導(dǎo)學(xué)生回憶，互相交流，教師歸類）幾何體的表面積等于它的展開圖的面積，那么，柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面展開圖是怎樣的？你能否計(jì)算？思路2.被譽(yù)為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長(zhǎng)歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時(shí)代，埃及人是怎樣采集、搬運(yùn)數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如

7、此宏偉的大金字塔，真是一個(gè)十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個(gè)正四棱錐外形的建筑，塔底邊長(zhǎng)230米，塔高146.5米，你能計(jì)算建此金字塔用了多少石塊嗎？推進(jìn)新課新知探究提出問題在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，以及它們的展開圖（圖1）,你它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，們的表面積？如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積?聯(lián)系圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖，你能想象圓臺(tái)側(cè)面展開圖的形狀，并且畫出它嗎？如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是rJ母線長(zhǎng)為1,你能計(jì)算出它的表面積嗎？圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積之間有

8、什么關(guān)系？活動(dòng)：學(xué)生討論和回顧長(zhǎng)方體和正方體的表面積公式學(xué)生思考幾何體的表面積的含義，教師提示就是求各個(gè)面的面積的和讓學(xué)生思考圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖的形狀學(xué)生思考圓臺(tái)的側(cè)面展開圖的形狀.提示學(xué)生用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看待這個(gè)問題.討論結(jié)果：正方體、長(zhǎng)方體是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的表面積就是各個(gè)面的面積的和.因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，其表面積等于圍成棱柱的各個(gè)面的面積的和；棱錐的側(cè)面展開圖是由多個(gè)三角形拼接成的，其表面積等于圍成棱錐的各個(gè)面的面積的和；棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由多個(gè)梯形拼接成的，其表面積等于圍成棱臺(tái)的各

9、個(gè)面的面積的和它們的表面積等于側(cè)面積與底面積的和，利用它們的側(cè)面展開圖來求得它們的側(cè)面積，由于底面是圓面，其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即得.其中，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形（圖2）.如果圓柱的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為1,那么圓柱的底面面積為兀r2,側(cè)面面積為2兀rl.因此，圓柱的表面積S=2兀r2+2兀r1=2兀r（r+1）.圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形（圖3）.如果圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為1,那么它的表面積S=%r2+兀r1=兀r（r+1）.點(diǎn)評(píng)：將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.圓臺(tái)的側(cè)面展開圖

10、是一個(gè)扇環(huán)（圖4）,它的表面積等于上、下兩個(gè)底面的面積和加上側(cè)面的面積，即S=兀（r2+r2+r1+r1）.圖4圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面積的關(guān)系：圓柱和圓錐都可以看作是圓臺(tái)退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上下底面全等的圓臺(tái)，圓錐可看作是上底面退化成一點(diǎn)的圓臺(tái)，觀察它們的側(cè)面積，不難發(fā)現(xiàn)：S圓柱表=2兀r（r+1）12S圓臺(tái)表=兀（門1+21+口2+22）1,2S圓錐表=兀r（r+1）.從上面可以很清楚地看出圓柱和圓錐的側(cè)面積公式都可以看作由圓臺(tái)側(cè)面積公式演變而來提出問題回顧長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎？并依次類比出柱體的體積公式？比較柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱-

11、Sh（S為底面積，h為柱體的高）；1_V錐體=Sh（S為底面積，h為錐體的局）；V臺(tái)體=1（S4SSS）h（S分別為上、下底面積，h為臺(tái)體的高）.3你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？柱體、錐體是否可以看作特殊”的臺(tái)體？其體積公式是否可以看作臺(tái)體體積公式的特殊”形式？活動(dòng)：讓學(xué)生思考和討論交流長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積公式讓學(xué)生類比圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積的關(guān)系？討論結(jié)果：棱長(zhǎng)為a的正方體的體積V=a3=a2a=Sh；長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為a,b,c,其體積為V=abc=（ab）c=Sh;底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V=兀r2h=Sh,可以類比，一般的柱體的體積也是V=Sh,其中S是底面面積，h為

12、柱體的高.11圓錐的體積公式是v=Sh（s為底面面積，h為高），它是同底等高的圓柱的體積的一.3311一棱錐的體積也是同底等局的棱枉體積的一，即棱錐的體積v=Sh（S為底面面積，h為高）.33由此可見，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，1都是底面面積乘局的-.3由于圓臺(tái)（棱臺(tái)）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差，得到圓臺(tái)（棱臺(tái)）的體積公式V=1（SJSS+S）h,3其中S,S分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)（棱臺(tái)）高.注意：不要求推導(dǎo)公式，也不要求記憶.柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體.因此柱體、錐體

13、可以看作特殊”的臺(tái)體.當(dāng)S=時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式；當(dāng)S=S時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺(tái)體體積公式的特殊”形式.柱體和錐體可以看作由臺(tái)體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系，如圖5:S=S弋=0圖5應(yīng)用示例思路1例1已知棱長(zhǎng)為a,各面均為等邊三角形的四面體SABC（圖6）,求它的表面積.圖6活動(dòng)：回顧幾何體的表面積含義和求法.分析：由于四面體S-ABC的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)面面積的4倍.解：先求SBC的面積，過點(diǎn)S

14、作SDBC,交BC于點(diǎn)D.因?yàn)锽C=a,SD=,SB2BD2,a2（a）2a,2211所以Sasbc=-BCSD=-a3a2.32因此，四面體S-ABC的表面積S=4X2-a點(diǎn)評(píng)：本題主要考查多面體的表面積的求法變式訓(xùn)練1 .已知圓柱和圓錐的高、 圓錐的側(cè)面積.解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r,圓柱側(cè)面積為 S,求圓柱的側(cè)面積公式可得:l,因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為圓柱的母線（高）長(zhǎng)為S,圓柱的底面半徑為 r,即S圓柱側(cè)二S,根據(jù)S S,由題意得圓錐的高為 ,又圓錐2 r2 r的底面半徑為r,根據(jù)勾股定理,圓錐的母線長(zhǎng).S 2（），根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式2 rS2/ S 、2

15、S圓錐側(cè)=兀rl=兀r ；ir ()、2 r4 2r4 S222.兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段,那么圓錐被分成的三部分的體積的比是（）A.1 ： 2 ： 3B.1 ： 7 ： 19C.3 :D.1 ： 9 ： 27分析：因?yàn)閳A錐的高被分成的三部分相等，所以兩個(gè)截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為1 ： 2 ： 3,于是自上而下三個(gè)圓錐的體積之比為(r2h)： (2r)22h : (3r)23h 333二1：8：27,所以圓錐被分成的三部分的體積之比為1：（81）:（27-8）=1：7：19.答案：B3.三棱錐VABC的中截面是A1B1C1,則三棱錐VA1B1C1與三棱錐AA1B

16、C的體積之比是（）A.1 : 2B.1 : 4C.1 ： 6分析：中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為D.1 : 81 ： 4,將盆底直徑為需要涂油漆取 3.14,15 cm, 底部滲水圓孔直.已知每平方米用100毫升結(jié)果精確到1毫升，可用計(jì)三棱錐AA1BC轉(zhuǎn)化為三棱錐A1ABC,這樣三棱錐VA1B1C1與三棱錐AlABC的高相等，底面積之比為1：4,于是其體積之比為1：4.答案：B例2如圖7,一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20cm,徑為1.5cm,盆壁長(zhǎng)為15cm.為了美化花盆的外觀,油漆，涂100個(gè)這樣的花盆需要多少毫升油漆？（兀算器）圖7活動(dòng)：學(xué)生思考和討論如何轉(zhuǎn)化

17、為數(shù)學(xué)問題.只要求出每個(gè)花盆外壁的表面積，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側(cè)面積加上底面積，再減去底面圓孔的面積.解：如圖7,由圓臺(tái)的表面積公式得一個(gè)花盆外壁的表面積S=tt（15）2151520151.5-兀（E尸1000cm2）=0.1（m2）.涂100個(gè)這樣的花盆需油漆：0.100X100=1000（毫升）.答：涂100個(gè)這樣的花盆需要1000毫升油漆.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的表面積公式及其應(yīng)用變式訓(xùn)練1 .有位油漆工用一把長(zhǎng)度為50cm,橫截面半徑為10cm的圓柱形刷子給一塊面積為10m2的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動(dòng)前進(jìn)，則油漆工完成任

18、務(wù)所需的時(shí)間是多少？（精確到0.01秒）解：圓柱形刷子滾動(dòng)一周涂過的面積就等于圓柱的側(cè)面積，圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2兀rl=2兀0.10.5=0.1兀m2,又圓柱形刷子以每秒5周勻速滾動(dòng)，圓柱形刷子每秒滾過的面積為0.5兀m2,2因此油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間t=10m,空6.3秒.0.5m2.解決此題即滾OC=1,OA=x ,點(diǎn)評(píng)：本題雖然是實(shí)際問題，但是通過仔細(xì)分析后，還是歸為圓柱的側(cè)面積問題的關(guān)鍵是注意到圓柱形刷子滾動(dòng)一周所經(jīng)過的面積就相當(dāng)于把圓柱的側(cè)面展開的面積,動(dòng)一周所經(jīng)過的面積等于圓柱的側(cè)面積.從而使問題迎刃而解.2.（2007山東濱州一模，文14）已知三棱錐OABC中，OA、OB、O

19、C兩兩垂直,OB=y,且x+y=4,則三棱錐體積的最大值是.11. 2 . 一 一一一x(4 x) (x-2) 2+ ,由于 x0,則當(dāng) x=26637.8 g/cm3）六角螺帽（圖8）共重5.8 kg,已知底10 mm,高為10 mm,問這堆螺帽大約有多少個(gè)？11分析：由題意得三棱錐的體積是11xy322時(shí)，三棱錐的體積取最大值2.3-2答案：-3例3有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是面是正六邊形，邊長(zhǎng)為12mm,內(nèi)孔直徑為（兀取3.14）圖8活動(dòng)：讓學(xué)生討論和交流如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.六角帽表示的幾何體是一個(gè)組合體，在一個(gè)六棱柱中間挖去一個(gè)圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積解：六

20、角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即32102V=22X6X10-3.14(弓)2X10=2956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的個(gè)數(shù)為5.8X1000+(7.8X2.956)首252(答：這堆螺帽大約有252個(gè).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的體積公式及其應(yīng)用.變式訓(xùn)練2分米，4分米，高為5分如圖9,有個(gè)水平放置圓臺(tái)形容器，上、下底面半徑分別為米，現(xiàn)以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，當(dāng)水面的高度為3分米時(shí)，求所用的時(shí)間.(精確到0.01 秒）解：如圖10,設(shè)水面的半徑為r,則EH=r-2分米，BG=2分米,圖10E廿一中， EH / BG , EH在 ABG,AH一 AG2

21、r.AH=2分米，BG2.，=14分米.:5當(dāng)水面的高度為3分米時(shí)，容器中水的體積為V水=-3：(14)2+14X4+42=876立方分米,35525876所用的時(shí)間為1292_=36.6馳.325答：所用的時(shí)間為36.69秒.思路2例1(2007山東煙臺(tái)高三期末統(tǒng)考，理8)如圖11所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1,那么這個(gè)幾何體的體積為()圖11A.1B.-C.1D.-236活動(dòng)：讓學(xué)生將三視圖還原為實(shí)物圖，討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征分析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱PAXAB,PA

22、XAC,AB,AC.則該三棱錐的高是PA,底面三角形是直角三角形，所以這個(gè)，1111幾何體的體積為V=SabcPA1-.答案：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時(shí)，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得.此類題目成為新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視.變式訓(xùn)練13所示，則這個(gè)正1.（2007山東泰安高三期末統(tǒng)考，理8）若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖三棱柱的表面積為（）A.18.3圖13B.15 . 3C.24 8.3D. 24 16, 3分析：該正三棱柱的直觀圖如圖14所示，且底面等邊三角形的高為2J3,正三棱柱的高為2,則底面等邊三角形的

23、邊長(zhǎng)為4,34X2+2 X； X4X26=133.68(cm2).答：幾何體的表面積為133.68cm2.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方體、圓柱的表面積.求幾何體的表面積問題，通常將所給幾何體分成基本的柱、錐、臺(tái)，再通過這些基本柱、錐、臺(tái)的表面積，進(jìn)行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積.本題中將幾何體的表面積表達(dá)為正方體的表面積與六個(gè)圓柱側(cè)面積的和是非常有創(chuàng)意的想法，如果忽略正方體沒有被打透這一點(diǎn)，思考就會(huì)變得復(fù)雜，當(dāng)然結(jié)果也會(huì)是錯(cuò)誤的.變式訓(xùn)練圖18所示是由18個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積.圖18分析：從圖18中可以看出，18個(gè)小正方體一共擺了三層，第一層2個(gè)，第二層7個(gè)

24、，因?yàn)?8-7-2=9,所以第三層擺了9個(gè).另外，上、下兩個(gè)面的表面積是相同的，同樣，前、后，左、右兩個(gè)面的表面積也是分別相同的.解：因?yàn)樾≌襟w的棱長(zhǎng)是1cm,所以上面的表面積為12X9=9(cm2),前面的表面積為128=8(cm2),左面的表面積為12X7=7(cm2),則此幾何體的表面積為9X2+8X2+7X2=48(cm2).答：此幾何體白表面積為48cm2.知能訓(xùn)練1 .正方體的表面積是96,則正方體的體積是()A.48.6B.64C.16D.96分析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則6a2=96,解得a=4,則正方體的體積是a3=64.答案：B2 .(2007山東臨沂高三期末統(tǒng)考，文2)如

25、圖19所示，圓錐的底面半徑為1,高為J3,則圓錐的表面積為()A.兀B.2兀C.3ttD.4兀.1分析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,則l=2,所以圓錐的表面積為S=兀X1X1+2)=3兀.答案：C3 .正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱長(zhǎng)為2石，則這個(gè)正三棱錐的體積是()A27B9C2713D9/3.4.4.4.4分析：可得正三棱錐的高h(yuǎn)=J(2)2(*2=3,于是V=1323迪.344答案：D4 .若圓柱的高擴(kuò)大為原來的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來的倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來的4倍，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來的倍.分析：圓柱的體積公式為V圓柱=Ttr2h,底面半徑不變，高擴(kuò)大為原來的

26、4倍，其體積也變?yōu)樵瓉淼?倍；當(dāng)圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來的4倍時(shí)，其體積變?yōu)樵瓉淼?2=16倍.答案：4165 .圖20是一個(gè)正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AAi的中點(diǎn).現(xiàn)在沿GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾？圖20分析：因?yàn)殇彽舻氖钦襟w的一個(gè)角，所以HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實(shí)際上鋸掉的這個(gè)角，是以三角形AGF為底面，H為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐.解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則正方體的體積為a3.三棱錐的底面是RtAAGF,即/FAG為90,G、F又分別為AD、AAi的中點(diǎn)，所以1 11112一af=ag=-a.所以a

27、gf的面積為一一aa一a.又因AH是二梭錐的局，H又是AB22228111101a的中點(diǎn)，所以ah=a.所以鋸掉的部分的體積為aa2a3.2328481 11又因一a3a3一，所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的一.4848486 .(2007山東臨沂高三期末考試，理13)已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為S,則圓錐的底面面積是.分析：如圖21,設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為1,由題意得-12 S2l S,解得r=1 2 r,以圓錐的底面積為兀圖21S答案：S27 .如圖22,一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為a,高為2a,內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖23,這時(shí)水面恰好為中截面,則圖22中容器內(nèi)水面的高度是圖23圖22分析：圖22中容器內(nèi)水面的高度為h,水的體積為V,則V=S3BCh.又圖23中水組成了一: S ABC ?2a h=-S ABC3個(gè)直四棱枉，其底面積為-SABC