二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題如何分類（李曉紅）

1、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題如何分類山西省汾西縣第一中學(xué) 李曉紅二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，常見的有四種類型：軸定區(qū)間定；軸動區(qū)間定；軸定區(qū)間動；軸動區(qū)間動；對于后三種類型，常規(guī)思路是根據(jù)對稱軸在區(qū)間內(nèi)，區(qū)間外兩大類來進(jìn)行分析，但在實(shí)際做題過程中，有時是分兩類，有時是分三類，有時又要分四類，學(xué)生在運(yùn)用的過程中，對于到底分幾類總是掌握不好。為了解決這一問題，我把這一類型題又細(xì)分為以下幾種情況，為大家一一道來。一、 開口向上求最大值，或開口向下求最小值；以求二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為例，這時只需要分兩類，以區(qū)間中點(diǎn)為界，如圖：mnxyOmnxyO 當(dāng)對稱軸時， 當(dāng)對稱軸時； ；開口向下

2、求最小值同理。例1：已知二次函數(shù)， 當(dāng) 上的最大值為，試求的解析式。解：(分析)這屬于開口向上求最大值,只要對區(qū)間中點(diǎn)是在對稱軸的左側(cè)還是右側(cè)進(jìn)行討論就可以了。（1）當(dāng)，即時，; （2）當(dāng)，即時，; 綜上可知：二、 開口向上求最小值，或開口向下求最大值；以求二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值為例，這時需要分三類，如圖：yxmnxyOmnxyOmnO當(dāng)時 當(dāng)時 當(dāng)時 開口向下求最大值同理。例2.已知二次函數(shù) 在 上有最大值2，求的值。解：(分析)對稱軸 與區(qū)間 的相應(yīng)位置分三種情況討論：（1）當(dāng) 時， （2）當(dāng)時， 即 ，無解；（3）當(dāng) 時， 綜上可知： 或 三、 同時求最大值和最小值；mnmnyxOyxO此時綜合一、二兩種情況，需要分四類：如圖：mnmn當(dāng)時， 當(dāng)時 當(dāng)時， 當(dāng)時 例3：已知，當(dāng)時，求的最小值與最大值解：由已知可求對稱軸為（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，（2）當(dāng)，即時，當(dāng)時，即時，當(dāng)時，即時，（3）當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，通過以上這三種比較詳細(xì)的分類，相信同學(xué)們在做題的過程中，一看題目就能做到心中有數(shù)，即時下筆。以上只是我個人的一點(diǎn)淺見，還有很多不足之處，希望各位同行批評指正。附：通訊地址：山西省汾