期中復(fù)習(xí)3推理與證明

1、WORD格式08 學(xué)年高二期中復(fù)習(xí) 3 推理與證明一、知識(shí)點(diǎn)梳理 :1、合情推理：歸納推理和類比推理 歸納推理：根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對(duì) 象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理。歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到 一般的推理。歸納推理的一般步驟：對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納 整理； 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；檢驗(yàn)猜想。 類比推理：根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測(cè)其中一類事物具有 與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類比推理（簡(jiǎn)稱類比）。類比推 理是一種從特殊到特殊的推理。類比推理的一般步驟： （1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；

2、 （2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）；（ 3）一般地，事物之間的各個(gè)性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩 個(gè)事物在某些性質(zhì)上相同或類似，那么它們?cè)诹硪恍┬再|(zhì)上也可能相同或類似，類 比的結(jié)論可能是真的；（ 4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的 性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的命題就越可靠。合情推理所得的結(jié)論只是一種猜測(cè)，它可能是正確的，可能是錯(cuò)誤的。若有反 例則猜測(cè)錯(cuò)誤，若正確則需邏輯證明。2、演繹推理：演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、定理、公理等） ，按照嚴(yán)格的邏輯法 則得到新結(jié)論的過程 ., 演繹推理是由一

3、般到特殊的推理 .演繹推理的一般模式 “三段論”大前提 - 已知的一般原理，因?yàn)?，M是 P小前提 - 所研究的特殊情況，因?yàn)椋?S 是 M 結(jié)論 據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷 .所以，S是 P演繹推理所得到的結(jié)論必是正確的。3、數(shù)學(xué)證明大法：（ 1）綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證， 最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的一種證法 .綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公 式，推出結(jié)論。（2）分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證 明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義

4、、公理等）為止 .分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，其邏輯 特征是步步逆推；（ 3）反證法：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說 明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立一種證明方法。反證法的步驟： 1） 假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立； 2） 從這個(gè) 假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾； 3） 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的 結(jié)論正確。（4）數(shù)學(xué)歸納法：對(duì)一個(gè)與正自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題（1） 證明：當(dāng) n 取第一個(gè)值 n0結(jié)論正確；（2） 假設(shè)當(dāng) n=k（k N*，且 kn0） 時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng) n=k+1時(shí)結(jié)論也正確 .由 （1） ，（

5、2） 可知，命題對(duì)于從 n0 開始的所有正整數(shù)n 都正確常用于證明不完全歸納法推測(cè)所得命題的正確性 的證明。1 3/26/2013專業(yè)資料整理4、其它數(shù)學(xué)證法：（1）放縮法 . （2）函數(shù)單調(diào)性法（ 3 ）構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造二項(xiàng)式、構(gòu)造幾 何圖形等（ 4）“ ”法（ 5）數(shù)形結(jié)合法（6）換元法：代數(shù)換元、三角換元（ 7 ）分類討論法（ 8）導(dǎo)數(shù)法法。（ 9）先猜后證法。等等 .、典例討論：例 1：（ 1）下面給出了關(guān)于復(fù)數(shù)的四種類比推 理：復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的加 減法運(yùn)算法則；2 2z 的性質(zhì)由向量 a 的性質(zhì) | a| 2=a2 類比得到復(fù)數(shù) |z|2方程 ax22

6、=zbx(,abcR）有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根的條 , 件4ac0可以類比程得到：方azbz(,abc C ） 有兩個(gè)不同復(fù)數(shù)根的條 件4ac0由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾 何意義其中類比錯(cuò)誤的是A.B.。解析： 知。B由.C. 的性質(zhì)可（2）定義 那么下圖中 的（A B, B C,C D,DA）、（ B）所對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能A的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)下圖中的1） 、（(2) 、(34) 、，1）（2）（3）（4）（A）（B）A.BD,A DB.B D,A CC.BC,A DD.C D,A D答案： B。（ 3）在平面幾何里，可以得出正確結(jié)論：“正三角形的內(nèi)切圓半徑等于這正三角形的 高的 1 ”

7、。拓展到空間，類比平面幾何的上述結(jié)論，則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個(gè)正四面3體的高的 。答案： r 1h。解析：采用解法類比。4（4）在中學(xué)數(shù)學(xué)中，從特殊到一般，從具體到抽象是常見的一種思維形式。如從指數(shù) 函數(shù)中可抽象出 f（x 1 x2） f（x 1） f（x 2） 的性質(zhì)；從對(duì)數(shù)函數(shù)中可抽象出f（x 1x2）f（x 1） f（x 2） 的性質(zhì)。那么從函數(shù)（ 寫出一個(gè)具體函數(shù)即可 ）可抽象出 f（x 1 x2） f（x 1） f（x 2） 的性質(zhì)。答案： y=2x。解析：形如函數(shù) y=kx（k 0） 即可，答案不惟一。5)利用數(shù)學(xué)歸納法證明(n 1)(n 2) (n n) 2n 1 3 (2

8、n 1),n N* ”時(shí)，從“ nk”變到n k 1 ”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是( )2 3/26/20132k 1(2k1)(2k 2)2k 3A2k1BC Dk 1k1k 1答案： C。(6)命題“關(guān)0(a0) 的解是唯一的”的結(jié)論的否定于x 的方程 ax是()B、兩A、無解解C、至少兩解 D、無解或至少兩解答案： D。解析：“否定”必須包括所有的反面情形例 2：( 分析法 ) ABC的三個(gè)內(nèi)角 A、B、C成等差數(shù)列，求1證：答案：證明：要證 1 1abbcabc3 ，即需證 b c abc3 ab bcb ca即 證c abbca 1。又需證 c(bc) a(a b) (a ABC三個(gè)內(nèi)

9、角由余弦定 理，有c2a2acb)(b c) ，需證 c2 a2 ac b 2A、22bcb2成立，C成等差數(shù)列。 B=60 2cacos60，即 a b2 命題得證。B、2222c a ac例 3：已知： sin 230sin222 90 sin 21503 2 2 2；sin 5 sin 265 sin 21252通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的. 并給出證正確的命題明。答案：一般形式 :sin 2 sin 2(260) sin 2(120 )1cos21cos(2120) 1 cos(2 240)證明：左邊 =2221cos(= 3 1cos2cos(2120)2240)2 2

10、3 1sin12cos2 cos2 cos120 sin2 0 2 2cos2cos240 sin2 sin24011cos22=32 (將一般形式寫 成1cos223sin221cos23sin22 2= 3 右邊2sin 2(60)2 sinsin 2(60)3,2sin 2(240)sin2(120)2sin等均正確。)“例若4：請(qǐng)你把不等式,a 2是正實(shí)數(shù)，則 a1有a12 a2a2”a1推廣到一般情形，并a2a1WORD格式8 學(xué)年高二證明你的結(jié)論。答案：推廣若的結(jié)論：a1,a2,a n都是正數(shù)，3 3/26/20132專業(yè)資料整理22a1a2f(n)a1 a2anan 1a122a

11、1a2,a n都是正數(shù) a22a1 ，a12a2a2a1an2 1an2an12，ana12anana122a1a2an2an2a1a2ana2 a3an1a1nnN) ，滿足條件：f(2) 2f(xy)f(x)f(y)()(；當(dāng)f(y)xy 時(shí)，有 f(x)證明： a1,a 2,N*a2a3例 5：已知函 數(shù)(1)求 f(1) ， f(3) 的值；(2)由 f(1) ，f(2) ， f(3) 的值，猜想f(n) 的解析式；(3)證明你猜想的f(n) 的解析式的正確性 .答案：(1)解： f(2)f(1)1.f(2) f(1) ，又 f(2) f( 又 f(4) 22，2) f(2)f(2)4

12、2 f(2) f(3)f(4) 4，且 f(3)N* f(3)3.(2) 解：由 f(1) 1 ，f(2)2，f(3)3 猜想() f n(nn(3)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n1 時(shí)， f(1) 1，猜想正確；假設(shè) n k(k1,k N*) 時(shí)，猜想正確，即 f(k) 若 k 為正奇數(shù)，則f( k1)f(2)k12 k 12 21 為正偶數(shù)，2k1為正整數(shù)， f(k2 k1) f( k 1 )22若 k 為正偶數(shù)，則 k2為正整數(shù)，f(k2)f( kf(2 k 2 2) f( k 2 ) ) 2 2k22k2，又 kf(k)2f(k1)f(k2)k2，且 f(k1)N4 3/26/2013

13、WORD格式08 學(xué)年高二專業(yè)資料整理所以 f(k 1) k 1即當(dāng) n由，可k1 時(shí)，猜想也正確知，)成* 立.fnnn作業(yè):1 ,11觀察式 子：5,14，, ，則可歸納出式子為A、C、2212222 2 2213222B、32132 解析：用2n12n 1D、22113212n12n22322n1n=2 代入選項(xiàng)判答案： C。 斷 2有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面 線；已知直線, 則平行于平面內(nèi)所有直直線 b平線ab 面 的，這是因 為 A.大前提錯(cuò) 誤答案： A。解析： 直線3古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù) 1，3，6，10， 21，,個(gè)三角數(shù)與 28 個(gè)三角數(shù)的差 第平面面 ，則直線 b

14、直線 a ”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤小前提錯(cuò)誤直線平行于平面 , 并不平行于平面內(nèi)所有C.推誤理形式錯(cuò)15，D. 非以上錯(cuò)誤叫性做，三第角數(shù)，它有一定的規(guī)律30答案： 59。解析：成數(shù)列歸納猜測(cè)a記這一系列三角數(shù)構(gòu)an，則由a2 a1 2,a 3a230,aa3,aa34,a30 29 29 2829，兩式相加得59。 a或由n。猜測(cè) an 124數(shù)列a n是正項(xiàng)等差數(shù)列，bna130 281,a1 22,a323，2a2 3a 3nan，則數(shù)列b n也為等差數(shù)列.類比上述結(jié)論，數(shù)列寫出正項(xiàng)等比c n，若 dn=，則數(shù)列 d n也為等比數(shù)列.5答案：答案：(c123 c2c3cnn)123n。AC,B

15、D是菱 形ABCD的對(duì)角 線，答平案分：菱形對(duì)角線互相垂直且AC,BD互相垂直且平分。”補(bǔ)充以上推理的大前提WORD格式專業(yè)資料整理的外接圓的半6.在 ABC 中，若 C=90， AC=b,BC=a，則 ABC 徑ra2 b2 ，把上2面的結(jié)論推廣到空間，寫出相類似的 結(jié)論是答案：本題是“由平面向空間類 ?？紤]到平面中的圖形是一個(gè)直角三 比” 角形， 所以在空間中我們可以選取 3 個(gè)面兩兩垂直的四面體來考 有取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四 面體則此三棱錐的外接球的半徑 是r慮。ABCD，且 AB=a，AC=b，AD=c，22b c 。2第三 15顆珠寶,第四件 28 顆珠寶,第 件 五件7第一

16、件 1 顆珠寶,第二件 6顆 珠寶 ,寶, 以后每件首飾都在前一件上 , 按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶 , 使它構(gòu)成更45 顆珠5 3/26/20138 學(xué)年高二大的正六邊形 , 依此推斷第 6 件上應(yīng)有 顆珠寶 ; 則前 n 件所用珠寶總數(shù)為 顆.( 結(jié)果用 n 表示 )nn 1 4n 1答案： 66,解析：利用歸納推理知。8在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有：c a2 1 2 2 22(a 1) ，22 a a aa2 b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條 側(cè)棱兩兩s4表示截面面積，那么

17、答案： S1你類垂直的三棱錐 OLMN，如果用 s1,s 2,s 3 表示三個(gè)側(cè)面面積，比得到的結(jié)論是s4表示截面面積，那么 垂直的三棱錐 OLMN，如果用 s1,s 2,s 3 表示三個(gè)側(cè)面面積， 你類 比得到的結(jié)論 是.9有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手， 甲說：“是乙或丙獲獎(jiǎng)。”乙說：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)?！北f：“我獲獎(jiǎng)了?！倍≌f： “是乙獲獎(jiǎng)?！彼奈桓枋值脑捴挥袃删涫菍?duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是 答案：丙。解析：若甲獲獎(jiǎng)，則四人說的話全錯(cuò)，同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)情況。10用分析法證明：若1a0，則 a22答案：證明：21 2) 2 a要證只需證 a2 1

18、2 a 1 2。2aa a0，兩邊均大于零，因此只2 2需證( a2 1 2) 2(a2只需證 a2 1 4 4a22aa6 3/26/20138 學(xué)年高二2 12 2）只需證 a2 1 2 （a 1） ，只需證 a2 1 1 （a2 1 ，2 2 2 a22 a a2 2 a22 1 ，它顯然成立。原不等式成 即證 a22 立。2a11用數(shù)學(xué)歸納法證明：) 1222n2n(n 1)；（7 分）13 3 5 (2n 1)(2n1)2(2n 1)1 1 1 1n；（7（）1分）2 3 4 2n 1答案：（ 1）可以用數(shù)學(xué)歸 - 納法 - 略時(shí)，左11112)當(dāng) n k 1 邊(1 22k1)(2

19、k2k1 1)k(1 11k 11=右邊，命題正2k 2k2k ) kax在2 2kk 確12設(shè) a 0,函數(shù) f（x） x3 1, ）上是單調(diào)函數(shù) .1）求實(shí)數(shù) a 的取值范 圍；2)設(shè) x01，f(x) 1，且 f(f(x0)x0，求證：f(x 0)x0.答案：2f(x(1)y f xxa ,)1,()3若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須3x2,這樣的實(shí)數(shù) a不存在.故 f（x）在0, 即 a1,上不可能是單調(diào)遞減函數(shù) .若 f(x) 在1,上是單調(diào)遞增函數(shù)，則 a3x2，由, 故 23. 從而于 1,30a 3.xx（2）方 1：可知 f(x)在 上只能為單調(diào)增函法 1,數(shù).若 1 x0f(x 0)，則f(x 0)f(f(x 0) x0矛盾,f（x 0） 矛盾，若 1f(x 0)x0,則 f(f(x