線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)題

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)題判斷題 (正確在括號里打 ，錯誤打 × )1. 把三階行列式的第一列減去第二列，同時把第二列減去第一列，這樣得到的新行列式與原行列式相等，亦即2. 若一個行列式等于零，aabba bab則它必有一行cc c caabba ba b元素全為零，bb aab acccc或有兩行(列)完全相同，或有兩行(列)元素成比例3.若行列式 D 中每個元素都大于零，則 D > 0.4.設(shè) A, B, C都是 n 階矩陣，且 ABC E ，則 CAB E .5.若矩陣 A 的秩為 r ，則 A 的 r1 階子式不會全為零6.若矩陣 A 與矩陣 B 等價，則矩陣的秩 R(A) = R

2、(B).7.零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合8.若向量組 1 ,2 ,., s 線性相關(guān)， 則 1 一定可由 2 ,., s 線性表示 .9.向量組 1,2,.,s 中，若 1 與 s 對應(yīng)分量成比例， 則向量組 1, 2 ,., s 線性相關(guān) . (10.1 , 2 ,., s (s 3) 線性無關(guān)的充要條件是：該向量組中任意兩個向量都線性無關(guān)11.當(dāng)齊次線性方程組的方程個數(shù)少于未知量個數(shù)時，此齊次線性方程一定有非零解12.齊次線性方程組一定有解13.若 為可逆矩陣 A 的特征值， 則 為1的特征值 .14.方程組 ( E A)x 0 的解向量都是矩陣A 的屬于特征值 的特征向量

3、.15. n 階方陣 A有 n 個不同特征值是 A 可以相似于對角矩陣的充分條件16. 若矩陣 A 與矩陣 B 相似， 則 R( A) R( B) .二、單項選擇題aaa1112131. 設(shè)行列式m,aaa212223(A ) m n(B)(maa a an11 12 13 (12a a a則行列式21 22 23a21n) (C) n m(D) m n3 8 62. 行列式 512 的元素 a 的代數(shù)余子式10217A21 的值為 (A ) 33(B) 33(C) 56(D) 56117.四階行列式1(A)(B)中 x 的一次項系數(shù)為 (C) 4(D)aa. aaa .a11121nn1n2

4、nnaa. aa a .a21222nn 1,1n 1,2n 1,n設(shè)D, 則D12aa. aaa .an1n2nn11121nn(n 1)(DD(B) D2D121A )(C D 2 (1)D18.)21D2 與 D1 的關(guān)系是 ( )(D) D 2 (n(n1)1)D119.(n 階行列式 Dn )的值為(A) n(B)(C) an 1bn( 1)(D) n(a b)20. 則1 已知 A21.22.23.24.(A) 1(A)5(A ) AB(B)(C) 2(D) 3階方陣且(B)5n則 (T5 A1 則T ) 1T )(C) 5 n(D) 5 n矩陣， B 是矩陣(mn)則下列運算結(jié)果

5、是階方陣的是A 和 B 均為(A) A E設(shè) A 、 B 均為T(B) A B階方陣，且(C) BAT(D) ( A B)B)22AB B ，則必有(B) B E(C) A B(D)ABBAn 階方陣，滿足等式AB O ，則必有 ( )(A ) A O 或 B O (B) A B O(C) A 0 或 B 0 (D)AB025. 設(shè) A 是方陣，若有矩陣關(guān)系式AB AC ，則必有 ( )(A) A O (B) B C 時 A O(C) A O 時 B C(D) Aaaaa11121321Aaaa ,Ba21222311aaaa a31323331 1126. 已知方陣a22a12 aa32 1

6、2a23a ，以及初等變換矩陣13a a33,P010有 則(A) AP1 2 BP(B) AP2 P1 B(C) P2 P1 A B(D) P1P2 A B27. 設(shè) A、 B 為 n 階對稱陣且B 可逆，則下列矩陣中為對稱陣的是1 1 (A ) AB B A1 1(B) AB B A(C) B AB2(D) ( AB)28. 設(shè) A 、 B 均為 n 階方陣，下面結(jié)論正確的是 ( )(A) 若 A、B 均可逆，則 A+B 可逆(C) 若 A+B 均可逆，則 A B 可逆(B) 若 A、B 均可逆，則 AB 可逆(D) 若 A+B 可逆，則 A、B 均可逆29. 下

7、列結(jié)論正確的是 ( )(A) 降秩矩陣經(jīng)過若干次初等變換可以化為滿秩矩陣(B) 滿秩矩陣經(jīng)過若干次初等變換可以化為降秩矩陣(C) 非奇異陣等價于單位陣(D) 奇異陣等價于單位陣30. 設(shè)矩陣 A 的秩為 r ，則 A 中 ( )(A) 所有 r 1 階子式都不為 0 (B) 所有 r 1 階子式全為 0(C) 至少有一個 r 階子式不為 0(D) 所有 r 階子式都不為 031. 設(shè) A、 B、 C 均為 n 階矩陣，且ABC = E ，以下式子(1) BCA = E ，(2) BAC = E ，(3) CAB = E ，(4) CBA = E中，一定成立的是 ( )32. 設(shè) A 是 n 階

8、方陣，且 A sO(s 為正整數(shù) )，則 (E A) 1 等于 ()1(A )EA(B) EA1(C)2 AAs. A(D) E A3 1233. 已知矩陣A1 01*， A 是 A 的伴隨矩陣，則*A 中位于(1, 2) 的元素是( )(A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)2 14As 1(A) 6(B) 6(C) 2(D) 2334. 已知 A 為三階方陣， R(A) = 1 ，則 ()( R( A )A )3(B) R( A ) 2(C) R( A ) 1(D) R( A ) 035. 已知 3 4 矩陣 AT 的行向量組線性無關(guān)，則矩陣

9、 A的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 436. 設(shè)兩個向量組 1, 2, ., s 和 1, 2, ., s 均線性無關(guān)，則( )(A)存在不全為0 的數(shù) 1, 2s 使得112 2 .和 1 1 2 2 .s s 0s0 s(B)存在不全為0 的數(shù) 1, 2s 使得( 11)2 ( 22) . ( )01 s ss(C)存在不全為0 的數(shù) 1, 2s 使得( 11 2 22) . ( )0) (1 s ss(D)存在不全為0 的數(shù) 1, 2s 和不全為 0 的數(shù)1, 2 , ., s 使得112 2 .0 和 1 1 2 2.s s 0s s37. 設(shè)有 4 維向量組 1

10、, 2 ,., 6 ，則 ( )(A) 1,2, .,6 中至少有兩個向量能由其余向量線性表示(B) 1, 2, .,6 線性無關(guān)(C) 1, 2, .,6 的秩為 4(D)上述說法都不對38. 設(shè) 1, 2, 3 線性無關(guān)，則下面向量組一定線性無關(guān)的是39.(A ) 0, 2 , 3(C ) 1 ,2 2 3n 維向量組 1, 2 , ., s (3(B) 1 , 22, 3(D) 1 2, 2n) 線性無關(guān)的充要條件是3, 3(A) 1,2, .,s 中任意兩個向量都線性無關(guān)(B) 1, 2, .,s 中存在一個向量不能用其余向量線性表示(C) 1, 2, .,s 中任一個向量都不能用其余

11、向量線性表示(D) 1,2, .,s 中不含零向量40. 下列命題中正確的是 ( )(A) 任意 n 個 n+1 維向量線性相關(guān)(B) 任意 n 個 n+1 維向量線性無關(guān)(C) 任意 n+1 個 n 維向量線性相關(guān)(D) 任意 n+1 個 n 維向量線性無關(guān)為任意常數(shù)，則方程組Ax 0 的通解為 ( )41. 已知線性方程組a x11 1 ax21 1a x . a x 012 2 1n na 22 x. a x022 n n的系數(shù)行列式 D =0 ，則此方程組(A) 一定有唯一解(C) 一定無解an1an2x .2nn(B)(D)一定有無窮多解不能確定是否有解(A) 一定有唯一解(C) 一

12、定無解(B) 一定有無窮多解(D) 不能確定是否有解43. 已知(A)A 為 m n 矩陣，齊次方程組A 的列向量線性無關(guān)Ax 0 僅有零解的充要條件是 (B) A 的列向量線性相關(guān))換成常數(shù)項得到的行列式a xa x .axb11 112 21nn1axaxax21 122 .2nnb2 的系數(shù)行列式2a n1 xa x .axb1n2 2nnnnD1 0 ，則此方程組()42. 已知非齊次線性方程組(C) A 的行向量線性無關(guān)44. 已知 A 為 m n 矩陣，且方程組(D) A 的行向量線性相關(guān)Ax b 有唯一解，則必有 ( )(A ) R(A,b) m(B) R( A,b) n(C)

13、R( A, b) m(D) R( A,b) n45. 已知 n 階方陣 A 不可逆，則必有 ( )(A ) R( A) n(B) R( A) n 1(C) A 0(D) 方程組 Ax 0 只有零解(A)1 2 是 Ax0 的一個解(B)1()是 Ax b 的一個解122(C)1 2 是 Ax0 的一個解(D)212 是 Ax b 的一個解Ax b 的任意兩個解，則下列結(jié)論錯誤的是v1 v2 v3 v4 是該方程組的n+1 ，則此方程組 (46. n 元非齊次線性方程組 Ax b 的增廣矩陣的秩為(D) 不能確定其解的數(shù)量(A) 有唯一解 (B) 有無窮多解 (C) 無解47. 已知 1, 2

14、是非齊次線性方程組(A)解向量(B)基礎(chǔ)解系(C) 通解 (D) A 的行向量49. 若 是線性方程組Axb 的解， 是方程 Ax 0 的解，則以下選項中是方程Ax b 的解的是 () (C 為任意常數(shù))(A)C(B)C C (C) C C(D) C 48. 若 v1, v2 , v3, v4 是線性方程組Ax 0 的基礎(chǔ)解系，則()50. 已知 m n 矩陣A 的秩為 n 1 ， 1 , 2 是齊次線性方程組Ax 0 的任意兩個不同的解，(C) k( 1 2 )(D) k(1 2)( ) k (B) k 2A151. n 階方陣 A 為奇異矩陣的充要條件是()(C) A 的特征值都等于零(D

15、) A 的特征值都不等于零52. 已知 A 為三階方陣， E 為三階單位陣，A 的三個特征值分別為 1, 2, 3 ，則下列矩陣中是(B) A 0(A) A 的秩小于 n可逆矩陣的是 ( )(A) A E(B) A E(C) A 3E (D) A 2E1, 2 ，則 ( )1, 2, 3 分別是相應(yīng)的特征向量，則A 的屬于 0 的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為k，則必有 ()(A) k3(B) k 3(C) k 356. 矩陣 A與 B 相似，則下列說法不正確的是( )(A) R(A) = R(B)(B) A = B(C) A B55. 已知 0 是矩陣 A 的特征方程的三重根，57. n 階方陣

16、 A 具有 n 個線性無關(guān)的特征向量是(D) k 3(D) A 與 B 有相同的特征值A(chǔ) 與對角陣相似的 ( )(A) 充分條件 (B) 必要條件(C) 充要條件 (D) 既不充分也不必要條件53. 已知 1 , 2 是 n 階方陣 A 的兩個不同特征值，對應(yīng)的特征向量分別為(A) 1 和 2 線性相關(guān)(B) 1 和 2 線性無關(guān)(C) 1 和 2 正交(D) 1 和 2 的內(nèi)積等于零54. 已知 A 是一個 n( 3) 階方陣，下列敘述中正確的是 ( )(A) 若存在數(shù) 和向量 使得 A ，則 是 A 的屬于特征值 的特征值(B) 若存在數(shù) 和非零向量 使得 ( E A) 0 ，則 是 A

17、的特征值(C) A 的兩個不同特征值可以有同一個特征向量(D) 若 1, 2 , 3 是 A 的三個互不相同的特征值，有可能線性相關(guān)1, , 2 358. n 階方陣 A 是正交矩陣的充要條件是 ( )(A) A 相似于單位矩陣(B) A 的 n 個列向量都是單位向量(C)(D) A 的 n 個列向量是一個正交向量組59. 已知 A 是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是 ( )2(A) A 1 (B) A 必為 11 T(C) A A (D) A 的行 (列 )向量組是單位正交組660. n 階方陣 A 是實對稱矩陣，則 ( )(A) A 相似于單位矩陣 E1 T(C) A A(B) A 相似于對角

18、矩陣(D) A 的 n 個列向量是一個正交向量組61. 已知 A 是實對稱矩陣，C 是實可逆矩陣，B C AC ，則 ( )(A) A 與 B 相似(B) A 與 B 不等價(C) A 與 B 有相同的特征值(D) A 與 B 合同三、 填空題3. 已知 a31 a 2i a13 a 5k a 44 是五階行列式中的一項且?guī)д?，則i = ，k =4. 已知三階行列式1D436 ， Aij 表示元素9aij對應(yīng)的代數(shù)余子式，則與aA21 bA22 cA23對應(yīng)的三階行列式為5.已知0 ，則 x =6.已知A，B 均為n 階方陣，且 A0,0 ，則7.已知8.9.T(2A)B12 ABA 是四階

19、方陣，且 A 1 3 ，已知三階矩陣 A， 3A的三個特征值分別為1, 2, 3，則 4A 1設(shè)矩陣Aa11a12a13，B 是方陣， 且 AB 有意義， 則B是階矩陣， AB 是 行列矩陣 .10. 已知矩陣a21a22a23A, B,C (cij )s n，滿足 ACCB ，則 A 與 B 分別是階矩陣 .211. 可逆矩陣 A 滿足 A22EO，則A112. 已知 1 (1, 1, 1) , 2T(x, 0, y) , 3T(1, 3, 2) ，若 1, 2, 3 線性相關(guān)，則 x，y 滿足關(guān)系式7a a11 1262. 矩陣 A a a 的行向量組線性關(guān) .21 22a a31 326

20、3. 一個非齊次線性方程組的增廣矩陣的秩比系數(shù)矩陣的秩最多大 .64. 設(shè) A 是 3 4 矩陣， R(A) 3 ，若 1, 2 為非齊次線性方程組Ax b 的兩個不同的解， 則該方程的通解為 .65. 已知 A 是 m n 矩陣，R( A) r ( n) ，則齊次線性方程組Ax 0 的一個基礎(chǔ)解系中含有解的個數(shù)為 .66.67.68.1 2已知方程組 2 31 a若齊次線性方程組2已知矩陣 A 31x11a 2x2無解，則a = .22x33xxx01 123xxx0 只有零解，則 需要滿足1 2 3x x x 01 2 30 11 x 可相似對角化，則 x =69.已知向量、 的長度依次為

21、2 和3，則向量內(nèi)積 , 1470.已知向量a0 ,b 2， c 與 a 正交，且 b a c ，則，c2312 1 271.已知 x1為A5 a3的特征向量，則 a =，b =11 b24 0 572. 已知三階矩陣A 的行列式 A8 ，且有兩個特征值1和 4，則第三個特征值為73. 設(shè)實二次型 f (x 1, x2 ,x3, x4 ,x5) 的秩為 4 ，正慣性指數(shù)為3 ，則其規(guī)范形 f (z 1, z2 , z3 ,z4, z5 )為.74.二次型 f2的矩陣為.(x1, x , x )2x x 4x x3x2 31 2 2 3312075.已知二次型 f ( x, y, z)的矩陣為

22、235，則此二次型 f (x, y, z)050276. 已知二次型f ( x1, x , x ) 2x2 3 12 2 3x tx2 32x1 x2 2x1x3 是正定的，則t 要滿足8四、行列式計算77.已知 A， B 為三階方陣，1, B 2 ，求行列式* ) 1 (2AB A78.已知行列式 D，求 5A 11 A21 4A 31 A41 .79.計算 n 階行列式 Dn，其中主對角線上的元素都是2，另外兩個角落的元素是 1 ，其它元素都是0.80. 式計算n 階行列81.計算n 階行列式 D82.計算行列式83.計算行列式84.計算行列式x1x1x2x 32xnx x . x 31

23、2 n9五、矩陣計算8設(shè)5. A23 1T 1，求(1) AB ； (2) 4A24 0B86. 已知5 ，且 AX1B X ，求 X.87. 設(shè)B 均為三階方陣，E 為三階單位陣，且 AB E，求 B. B88. 設(shè)1100213401100213,C0011002100010002101BT，E為四階單位陣，且矩陣X 滿足關(guān)系式X (CB)E，X.89. 已 知，且XAB，求 X.3k90. 設(shè)2k，問：當(dāng)k 取何值時，(1) R( A) 1 ；(2) R( A)；(3) R( A) 3 .六、向量組的線性相關(guān)性及計算1 3 451 4 121設(shè)3. ，求向量組 1,2,3, 4 的秩和一

24、個最大線性無11232231關(guān)向量組，并判斷1,2, 3 ,4 是線性相關(guān)還是線性無關(guān).12134901014. ,設(shè)1234，求此向量組的秩和一個最大無關(guān)組，1342并將其余11370317向量用該最大無關(guān)組線性表示1091. 當(dāng) a 取何值時，向量組a1 22 ,1 1 21 231 2線性相關(guān)？a11492. 將向量組 2 ,3 ,1規(guī)范正交化 .123110七、線性方程組的解2130130115.1，試判斷 4 是否為 1, 2, 3 的線性組合；若是，則求出線性表達式16.求解非齊次線性方程組4x13x x1 211x12x22x3 3x 2x2310817. 求解非齊次線性方程組x

25、x3xx112343xx3x4x4.1234x5x9x8x01 2 3 418. 當(dāng) k 滿足什么條件時，線性方程組xx2xk123x12x2kx32 有唯一解，無解，有無窮多解？并在 k2xx2 k012x3有無窮多解時求出通解1kx kx x 21 2 319. 當(dāng) k 滿足什么條件時，線性方程組有唯一解，無解，有無窮多解？2kx2(kkx3并在有無窮多解時求出通解xx 24 53x2xxx3xa20. 已知非齊次線性方程組Ax b 為12345，問：當(dāng) a 、 b 取何值時，方x2x2x6x323455x14x23x33x4x5b程組 Ax b 有無窮多個解？并求出該方程組的通解11x

26、xx01 2393. 設(shè)方程組 x 2ax 0 與方程1 x 2232 0x 2a x31 4x2x1 2x 2 x3 a 1 有公共解，求 a 的值 .94. 設(shè)四元非齊次線性方程組 Ax b 的系數(shù)矩陣21且322 ，求該方程組的通解13435 4A 的秩為 3，已知 1, 2, 3 是它的三個解向量，95.Ax b 的增廣矩陣 A A b ， A 經(jīng)過初等行變換為A00則 (1) 求對應(yīng)的齊次線性方程組Ax 0 的一個基礎(chǔ)解系；(2) 取何值時，方程組 Axb 有解？并求出通解八、方陣的特征值與特征向量21.2已知 A 0000 ，若方陣 A 與 B 相似，求 x 、 y 的值 .1x、

27、22.設(shè)方陣01 A000的一個特征值為 3 ，求1y 的值 .13A的值. 3.已知三階方陣 A 的特征值為1、2、3 ，求行列式 A2E4. 求方陣10 的特征值與對應(yīng)的特征向量35. 設(shè)A1，求可逆矩陣 P ，使得 P AP為對角矩陣 .212十、證明題6. 已知向量組 1, 2, ., r 線性無關(guān)，而1, 2 1 2, ., r 1 2 . r ，證明：2 096.1為對角矩陣 .設(shè)A212，求正交矩陣 P，使得 P AP02011097.已知矩陣 A430 , 判斷是否存在一個正交矩陣P, 使得 P AP 為對角矩陣 .10202298. 已知矩陣A2341 為對角陣 的特征值為 1、1 、 8 ，求正交矩陣 P，使得 P AP243九、二次型2 2223.當(dāng) t 取何值時，f (x 1, x, x ) x 4x4x2 tx1x22x 1x3 4x 2x3 為正定二次型？23 1 2324.求一個正交變換把二次型f ( x1, x2 ,x 3)2x1x22x 2 x32x 3x