線性代數(shù)試題和答案(精選版)

1、Fpg0線性代數(shù)習(xí)題和答案第一部分 選擇題 （共 、單項(xiàng)選擇題（本大題共 14 小題，每小題 2 分，共 一個(gè)是符合題目要求，請(qǐng)將其代碼填在題后括號(hào)內(nèi)28 分） 錯(cuò)選或28 分 ） 在每小題列出四個(gè)選項(xiàng)中只 有 未選均無(wú)分。aaaa=n ，則行列式aaa1112=m，1311111213aaaaaaa21222321212223等于（1.設(shè)行列式B. -（m+n）A. m+nC. n- mD. m -2.設(shè)矩陣100 31003B.0100 021100002300 11123000 0D.101 0001300001231 2100等于（），則020A=A.C.- 1 A3.設(shè)矩陣A=，A（

2、是 A 伴隨矩陣，）A 伴隨矩陣，則）中位于（ 1 ，2）元素是A 中位于（ 1， 2）元素是B. 6A. 6C. 24.設(shè) A 是方陣， A. A =0C. A 0 B時(shí)=CT）等于（A. 1如有矩陣關(guān)系式AB=AC ，則必有（D.2）B. B C 時(shí)A=00 B時(shí)=CD. |A|） 5.已知 3 ×4 矩陣 A 行向量組線性無(wú)關(guān)，則秩（ B. 22， ? ， sA. 有不全為0 數(shù)1，2，?B. 有不全為0 數(shù)1，2，?C. 有不全為0 數(shù)1，2，?D. 有不全為0 數(shù)1，2，?ss=0 和 11+22+ ?7. 設(shè)矩陣 A 秩為r，則A 中（1，+C. 36.設(shè)兩個(gè)向量組D.

3、4s 均線性相關(guān)，則（+ ss=0 和 11+ 22+?+ s （ s+ s） + s（ s- s ）和 1， 2， ? ， ，s 使 11+ 22+?s 使 1（ 1+1） + 2（ 2+2） +? ， s 使 1（ 1- 1） + 2（ 2- 2） +?s 和不全為0 數(shù) 1， 2，? ， ss=0）ss=0=0=0s 使 11+ 22+ ?A. 所有 r- 1 階子式都不為0C. 至少有一個(gè) r 階子式不等于8.設(shè) Ax=b 是一非齊次線性方程組 ，1，B. 所有 r- 1 階子式全為0D. 所有 r 階子式都不為02 是其任意 2 個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤 是（FpgA. 1+ 2 是 A

4、x=0 一個(gè)解11B.1+2 是 Ax=b2 2一個(gè)解FpgD.2 1- 2 是 Ax=b 一個(gè)解 )A. 秩 (A)<nC.A=06.設(shè) A 是一個(gè) n( 3)階方陣，2，k ，則必B. k<3D. k>3 )B.| A |必為 1C. 1- 2 是 Ax=0 一個(gè)解5.設(shè) n 階方陣 A 不可逆，則必有（B. 秩 （ A ）=n- 1D. 方程組 Ax=0 只有零解 列陳述中正確是（ ）A. 如存在數(shù) 和向量 使 A = ，則 是 A 屬于特征值 特征向量B. 如存在數(shù) 和非零向量 ，使 （E- A）=0 ，則 是 A 特征值C. A 2 個(gè)不同特征值可以有同一個(gè)特征向量

5、D. 如 1， 2， 3 是 A 3 個(gè)互不相同特征值，1， 2， 3依次是 A 屬于 1，3 特征向量，則 1， 2 ， 3 有可能線性相關(guān)7. 設(shè) 0 是矩陣 A 特征方程 3 重根， A 屬于 0 線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)為 有（ ）A. k 3C. k=38. 設(shè) A 是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤是（ 2 必為 1A.| A| C.A- 1=A T9. 設(shè) A 是實(shí)對(duì)稱矩陣， C 是實(shí)可逆矩陣，D. A 行（列）向量組是正交單位向量組 TB=C AC .則（）A. A 與 B 相似B. A 與 B 不等價(jià)C. A 與 B 有相同特征值D. A 與 B 合同10. 下列矩陣中是正定矩陣為（）2

6、334A.B.3426100111C. 023D. 120035102第二部分非選擇題（共72 分）、填空題（本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分）不寫解答過(guò)程，將正確答案寫在每小題空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。11111. 356 .925361 1 1 12 312.設(shè)A=，B=.則 A+2B=1 1 1 12 413. 設(shè) A =(a ij )3 ×3 ， |A|=2 ， Aij 表 示 |A| 中 元 素 aij 代 數(shù) 余 子 式 ( i,j=1,2,3 ) , 則 (a11A 21+a 12 A 22+a13A23)2+(a 21 A 21 +a 22 A 22 +

7、a 23 A 23)2+(a31A 21 +a 32 A 22 +a 33 A 23 ) 2=.14. 設(shè)向量( 2，-3， 5)與向量( -4，6， a)線性相關(guān)，則 a= .15. 設(shè) A 是 3×4 矩陣，其秩為 3，若 1，2 為非齊次線性方程組Ax=b 2 個(gè)不同解，則它通解為 .16. 設(shè) A 是 m ×n 矩陣， A 秩為 r（n） ，則齊次線性方程組 Ax=0 一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解個(gè) 數(shù)為 .17. 設(shè)向量 、 長(zhǎng)度依次為 2 和 3 ，則向量 +與 - 內(nèi)積（ +， - ） = .18. 設(shè) 3 階矩陣 A 行列式 |A |=8 ，已知 A 有 2 個(gè)特征

8、值 - 1 和 4，則另一特征值為Fpg0 10 621 3 3 ，已知 =119.設(shè)矩陣 A=是它一個(gè)特征向量，則 所對(duì)應(yīng)特征值2 10 82為21.三、計(jì)算題（本大題共 7 小題，每小題6 分，共 42 分）120231340，B=22.設(shè) A=.求（1)AB240121T；(2) |4A|.20.設(shè)實(shí)二次型 f（x1,x2,x3,x4,x5）秩為 4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為3 1 1 2513423.試計(jì)算行列式20111533424.設(shè)矩陣 A= 112 3AB =A+2B.1 0 ，求矩陣 B 使其滿足矩陣方程2 32130125. 給定向量組 1=， 2=3 ，0 3=， 4

9、=102243419試判斷 4 是否為 1，2，3 線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。26.設(shè)矩陣 A=求：（1）秩2)A2 4 2 6 6 .2 1 0 2 3 .3 3 3 3 4A ）；列向量組一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組027. 設(shè)矩陣 A= 22 23 4 全部特征值為1，1 和- 8.求正交矩陣 T 和對(duì)角矩陣 D，使 T- 1AT=D.28.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形Fpg2 2 2f（x 1,x 2 ,x 3）= x 1 2x 3x2 3 并寫出所用滿秩線性變換。4x x 4x x 4x x ，1 2 1 3 2 3四、證明題29. 設(shè)方陣 A 滿足 A 3=0，試證明 E- A 可逆

10、，且（E- A)- 1=E+A+A2.30.設(shè) 0 是非齊次線性方程組Ax=b 一個(gè)特解，試證明（1）1=0+1，2=0+2 均是 Ax=b 解； （2） 0，1， 2 線性無(wú)關(guān)。1， 2 是其導(dǎo)出組 Ax=0一個(gè)基礎(chǔ)解系答案：一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14 小題，每小題2 分，共28 分）9.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A 12.B13.D14.C二、填空題（本大題共10 空，每空2 分，共20 分）15. 63 3 7 16.1 3 717. 418. 1019. 1+c(2- 1)(或 2+c( 2- 1)，c 為任意常數(shù)20. n- r21. 522.

11、 223. 12 2 2 224. z1 z z z2 3 4三、計(jì)算題(本大題共 7 小題，每小題 6 分，共 42 分)Fpg1202231.解( 1)ABT =34034T =121108 6= 18 103 103|A |=64| A |，而2) |4A|=4120|A|=3402 .121所以 |4A|=64 ·(-2)=- 1283112511151341113120110010153355 305111111550511626205555032.解40.30 1033.解AB =A+2BA-2E)B=A，1A- 2E )所以B=(A- 2E)34.解一386296 .2

12、12921300532130113010224011234190131121035103501120112008800111A=641Fpg0 0 14 14100201010011 ,0000所以 4=21+2+3，組合系數(shù)為（ 2， 1，1） 解二 考慮 4=x 1 1+x 2 2+x3 3，2x x3x 0123x 3x1122x2x423x 4x x 9.1 2 3 方程組有唯一解（2， 1， 1）T ，組合系數(shù)為（ 2， 1， 1）1210200062A0328209632212102121020328303283=B.000620003100021700000（1）秩（B）=3，所

13、以秩（ A ）=秩（B）=3.（2）由于A 與 B 列向量組有相同線性關(guān)系，而B(niǎo) 是階梯形，35. 解 對(duì)矩陣 A 施行初等行變換B 第 1、2、 4 列是B 列向量組一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，故 A 第 1 、 2 、 4 列是 A 列向量組一 個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。（A 第 1、2、5 列或 1、3、4 列，或 1、3、5 列也是）1=（2，- 1， 0） ，2=（2，0，1）.25 /52 5 /15經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得 1=5 / 5 ，2=4 5 /1505 / 3 =-8一個(gè)特征向量為11/ 3 3=2 ，經(jīng)單位化得 32 / 3.22 / 32 5 / 52 15/ 151/ 3所求正交矩陣為

14、 T=5 /54 5 /152 / 305 / 32 / 336.解 A 屬于特征值 =1 2 個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量為T T100對(duì)角矩陣 D=Fpg2 5 / 5 2 15 /15 1/ 3 也可取 T=05 / 32 / 3 .)5 / 5 4 5 /152 / 337.解f(x1，x2， x3)=( x1+2x 2-2x3)2- 2x22+4x2x3- 7x322 2 2=( x 1+2x2- 2x 3 )- 2( x2-x3 ) - 5x3 .y x2x 2x1 12 3x y 2y1 1 2設(shè)yx x即 x y y ，22 32 2 3x yyx3 333120因其系數(shù)矩陣C=011可逆，故此線性變換滿秩。001經(jīng)此變換即得f(x 1， x2x3） 標(biāo)準(zhǔn)形y12- 2y22-5y32 .四、證明題（本大題共2 小題，每小題 5分，共10 分）2) =E-A 3=E ， 32. 證由于（E- A )(E+A+A所以E- A 可逆，且- 1=E+A+A2 .E- A )10. 證 由假設(shè) A0=b，A