專業(yè)題材五-均值不等式與最值,放縮法

1、專題五：均值不等式與最值、放縮法基礎梳理1常用的基本不等式和重要的不等式：0, a 0當且僅當a 0取“ ”號；（2） a,b(1) a R,a2(3) a,b,e R，則 a2 b2 e22.均值不等式：ab be ca。兩個正數的均值不等式:n個正數的均值不等式:Tab ； 三個正數的均值不等式:2a1 a2an収a1a2an。R,則 a2 b2 2ab ；3.四種均值的關系：（1）兩個正數a、b的調和平均數、幾何平均數、算術平均數、平方平均數之間的關系是:,2 Jab1 1a b（2）三個正數a、b、e的調和平均數a bfa2 b2V 2幾何平均數算術平均數平方平均數:I-31 Vabc

2、111a b e小結：“算數平均數 幾何平均數”的多種表達形式:整式形式根式形式a2 b2 2abb后a b 2 a,b R2ab ( 2 )2(a,b R )a3 b3 e3 3abeabe 3rrvabe.a b c、3 a,b,e R3abe ()33(a,b,e R )分式形式ba(a,b異號)b a 2 a b(a,b同 號)倒數形式11 2(a 0) a1=2(a0)a1 1 (a b)(-)(a b e)(1a(a,b,e R )4(a,b R )4.均值不等式求最值：（1）如果x,y R ,xy P （定值），由如果x,y,z R ,xyz P （定值），由（2）如果x,y R

3、 ,x y S （定值），由如果x, y,z R ,x y z S （定值），由，當x，當x y，當y時，xz時，xx y時,_，當xy有；y z 有；xy 有；y z時，xyz有利用均值不等式求最值必須注意：“一正、二定、三相等”。三者缺一不可!能力鞏固考點一：均值不等式與最值1.已知 x, y, z R ,2y 3z20，貝U 的最小值xz2.設x0,y 0,x1 , VxA. 1B.jy最大值是（2C.D.23.已知a0,b 0,a2b22 jab，則S的最大值為4.已知x,y都在區(qū)間2,2）內，且xy則函數的最小值是（241112y125.若a是b的等比中項，則2abB. 1C.|a|

4、 |b|4的最大值為D.uuu6 .設M是 ABC內一點，且ABuuur AC2 陰 BAC30 ,定義 f(M) (m, n,p),其1 1 4中m n、p分別是 MBC, MCA, MAB的面積，若f(M) (-,x,y),則一 一的最小值是2 x y7.若a,b均為正實數，且Ta 麗a mjb恒成立，則m的最小值是變式：(1)若不等式b22a2對任意正實數a、b都成立，則的最大值是(A. 1B. 2C.D. 5(2)若對于任意的實數1，不等式a2b2t(a b 2)恒成立，則實數t的最大值是8.設x,y都是整數，且滿足xyA. 32B. 25則xC. 182y2的最大可能值為(D. 16

5、9.函數f xA. 2,42 JXx的值域為(B. 0,2亦C.)4,2/5D. 2,275練習：使關于x的不等式J6B .品x k有解的實數k的最大值是（）C 頁品 D . V610.已知 a,b,cR 且 a(3a 4b 2c)A. 3罷C.4 8bc，則3a 2b c的最小值為（32昭練習：若a,b,c0 且 a(a bc)bcD. 4342j3，則2a b c的最小值為132丄 5 n2 3?？键c二：放縮法與不等式1 1例1.（1）求證：12 221111T 2;變式：石 飛 7n21222321(2)11 3(2n1_71)2612(2n 1)(n 2，n1131 1)；丄2!1n!

6、（其中n!(n 1) (n求證:(1+Z1+5)L (1+2n-1V2T(n(7)證明：當n 1,nN時,例2 .設各項為正的數列an滿足:a11,nanan2nb1a1, bnn2a1)求 an；)求證:(n1)anan 11,令a2a3an(n 2).1(1 J1 bT(1bn)4(n1).1例3.在數列an中，已知a1 2，an lan2anK 1， n N 。(1)證明數列丄 1為等比數列，并求數列ann求證：ai (ai 1) 3， n N 。i 1an的通項公式;4.在數列an中，q1,3anan 1和為Tn。(若 an an 1anan 1 0(n 2)，設數列 bn JO? , bn的前 n 項(2)求證：對任意(3)是否存在實數果不存在請說明理由。0對任意的正整數n恒成立，求實數的取值范圍；b3 . bn 2(J3n 2 1)；3M,使得對任何的n N*，Tn M恒成立，如果存在求出最小的M，如n 2的整數，b2例5.已知數列an滿足a1=-l ,an1（3n3）an 4n