全等三角形常見的輔助線作法例題精講

1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 角平分線平行線，等腰三角形來添。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。 三角形中兩中點，連接則成中位線。 也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線加垂線，三線合一試試看。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗。 三角形中有中線，延長中線等中線?！境Ｒ娸o助線的作法有以下幾種】1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等 變換中的“旋轉(zhuǎn)” 。3、遇到角平分線，可以自角平分線上的

2、某一點向角的兩邊作垂線，禾U用的思維模式是三角形 全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。4、過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長， 是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、 差、倍、分等類的題目。6、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來, 利用三角形面積的知識解答。、倍長中線（線段）造全等（一）例題講解例1、（“希望杯”試題）已知

3、，如圖 分析：本題的關(guān)鍵是如何把 解：延長AD到E,使DE又 BD CD ,BDEBDECDASAS , AB BEAEAB即 2 2AD經(jīng)驗總結(jié):AB, AC ,DA，連接CDABE AC 3ABC中，AB 5, AC 3，求中線AD的取值范圍。AD三條線段轉(zhuǎn)化到同一個三角形當中。BEBE （三角形三邊關(guān)系定理）E見中線，延長加倍。例2、如圖， ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE DF , D是中點，試比較 BE CF與EF的大小。 證明：延長 FD到點G,使DG DF，連接BG、EG BD CD , FD DG , BDG CDF BDG CDFCF DEDFEG EF在 BEG 中

4、，BE BG EGF/ BG CF , EF EG二 BE CF EF例3、如圖， ABC中，BD DC AC , E是DC的中點，求證：AD平分 BAE .證明方法一：利用相似論證。證明： BD DC AC1AC -BC21 1EC 丄 DC - AC,ACEBCA22BCA sACEABCCAEAC DCADCDAC ,ADC ABCABCBADDAECAEBADDAEAD平分BAEBAD即E是DC中點證明方法二:利用全等論證。證明：延長使EMAE ,連結(jié)DM易證 DEMCEAC MDE, ACDM又 BD DC AC二 BD DM , ADCCAD又 ADBC CAD ,ADMMDE A

5、DCADMADBMADMADBBADDAE即AD平分BAE（二）實際應用:1 、 ( 2009崇文二模）以BAD CAE(1)如圖1是90，連接DE,當ABC為直角三角形時,ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰 Rt ABD和等腰 Rt ACE ,M、N分別是BC、DE的中點。探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系。AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系（2）將圖1中的等腰Rt ABD繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn) 如圖2所示，（1）理由。圖1圖2(解：（1） ED 2AM ,證明：延長AM到G ,AM ED ;使MG AM，連BG,則ABGC是平行四邊形 AC BG, ABG 又 DA

6、E BACBAC 180180- ABG DAE 再證： DAE ABG DE 2AM , BAG EDA 延長MN交DE于BAG DAH90HDA DAH90G（2 ）結(jié)論仍然成立.證明：如圖，延長CA至F,使AC FA , FA交DE于點P,并連接BF DA BA ,EAAF BAF 90 在 FAB和DAF EADEAD中FA AEBAF EADBA DAFAB EAD (SAS) BF DE ,F AENFPD FAPE AEN 90F又 CA AF ,CMMB AM /FB，且 AMLfb2- AM DE , AMIde2、截長補短（一）例題講解 例 1、如圖， ABC 中，AB 2

7、AC , AD 平分 BAC，且 AD BD，求證：CD AC證明：過D作DM AB，垂足為MAMDBMD 90BD , DM DMBDMAMBMAB2ACACAMAD平分 BAC又 ADADMBAD CADC在ADC和ADM中AC AM， ADMBAD CAD，AD ADADCACDADM 90即：CDACCAB ,DBA，CD 過點 E，求證：AB AC BD在CAE和FAE中AC AFCAEFAEAE AE CAEFAE CEAFEA CEABEDFEAFEB90即 FEBDEB在 DEB 和FEB中FEBDEBBE BEFBEDBE DEBFEB(ASA) BD BF AB AFBFA

8、C BD3、如圖，已知在ABC 內(nèi)，BAC60，ABC的角平分線。求證：BQAQ AB證明：延長AB到D，使 BDBP，連接PD AP，BQ分別是BAC，ABC的角平分線- 1 230，ABC 1806040 QB QC又 D534 80D 40在APD與APC中AP AP，12， DC 40 APDAPC(AAS) AD AC即 AB BDAQQC BQ AQABBPC40 ,BP80在四邊形ABCD 中,例.則 D例2、如圖，AC/ BD , EA, EB分別平分 證明：在AB上截取AF AC,連接EF例4、如圖,求證：P, Q分別在BAC60 ,180解：過點D作DE BC于E， BD

9、平分 ABCBC BA, ADBC，CA上，并且 AP，BQ分別是 BAC，C403D J jCCD , BD 平分 ABC .過點D作DF AB交BA的延長線于F DE DF， F DEB 90 在 Rt CDE 和 Rt ADF 中AD CDDE DF二 Rt CDERt ADF ( HL)FADBADC BAD FAD 180例5、如圖，在求證：ABABC 中，AB AC , BAD CAD , P 為 AD 上任意一點。AC PB PC證明：如圖, 在 AEP和在 AB上截取AE，使 AE AC，連接PEACP中AE ACBADAP APCADAEPACP (SAS)二 PE PC在

10、PBE 中，BE PB PE，即 AB AC PB PC（二）實際應用B 60 , AB BC，且 DEC 60，判如圖，在四邊形 ABCD中，AD / BC，點E是AB上一個動點，若斷AD AE與BC的關(guān)系并證明你的結(jié)論。分析：此題連接AC,把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過證明 三角形全等解決它們的問題。解：有 BC AD AE連接AC,過E作EF / BC并AC于F點則可證 AEF為等邊三角形即 AE EF , AEFAFE 60CFE 120又 AD / BC , B60BAD 120又 DEC60AED在ADE與FECFCE中CFE, AEAD

11、E FCEEADEF , AED FECBA DFCAD AE點評:此題的解法比較新穎，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。平移變換（一）例題講解例1、AD為 ABC的角平分線，直線MN AD于A. E為MN上一點， ABC周長記為Pa， EBC周長記為Pb .求證：PB PA.證明：延長BA到F,使AF AD為ABC的角平分線AC,連接EFBAD CADMN ADFAE 90 BAD 90CADCAEAFAC ,AEAEAFE ACEEFECBEEFBFBEECABAFABACBC+BE+CE>AB+AC+BC BE ECBC AB AC BCABC的周長

12、小于 EBC的周長，即PbPA例2、如圖，在 ABC的邊上取兩點D、E, 解析：先連接AF并延長至G,使FG AF , 四邊形ADGE是平行四邊形，延長 AD至H，交 進行證明。且 BD CE，求證：AB AC AD AE .其中F是BC的中點，連接GB, GC, GD , GE.可知四邊形 ABGC,BG于H 運用三角形的三邊關(guān)系：“兩邊之和大于第三邊”即可證明：連接AF并延長至G,使FG AF，其中F是BC的中點，連接 GB, GC, GD , GE BD CE BGAC ,DGAE延長AD至H，交BG于H ABBHADDH ,DHHGDG ABBHDHHGADDHDG ABBGADDG即

13、ABACADAE四邊形ABGC，四邊形ADGE是平行四邊形點評:本題考查了三角形三邊關(guān)系，將證明邊的大小關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系問題是解題的關(guān)鍵.本題借助輔助線DH起樞紐作用。方法2:取BC中點M，連AM并延長至N,使MN AM，連BN, DN BDCE DMEMDMN EMA (SAS)同理BN CA延長 ND 交 AB 于 P,則 BN BP PN , DP PA AD 相加得：BN BP DP PA PN AD各減去DP,得：BN AB DN ADC:NAC AD AE四、借助角平分線造全等（一）例題講解例1、如圖，已知在 ABC中,求證：OE ODB 60 , ABC的角平分線

14、AD, CE相交于點O.證明：在AC上取點F，使AF AD是A的平分線AE，連接OFEAO FAOAO AOAEO AFOEO FO , AOE AOFCE是 C的平分線DCOFCOB 60BACACB120CODCAOOCA1-BAC2ACBCOF180CODAOF 18060COFCOD606060OC OCOCDOCFOD OFAC AFCFAE CD , OE OD即：AC AE CDBC, DEAB于 E,DFAC 于 F. (1)說明 BE CFAE、BE的長。 DGBC且平分BC二 DBDC DEAB,DF AC,ad平分BAC DEDF RtDEBRt DFC BECF(2)解

15、：/DE DF ,ADAD RtAEDRt AFD AEAF ABACAE BEAFCFAE ABACAE BEAFCF2BE- ab 2BE , BE -b2（二）實際應用AF 2AE，即 a例2、如圖，ABC中，AD平分 BAC , DG BC且平分 的理由；（2）如果AB a , AC b，求（1）證明：連接DB , DCFb 2AE, AE -1、如圖，OP是這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在 ABC中， ACB是直角，B 60 , AD、MON的平分線,請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考CE分別是 BAC、 BCA的平分線，AD、CE相

16、交于點F。請你判斷并寫出 FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；1)中的其它條件不變，請問，你在（1）中所得結(jié)論是（2）如圖，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而（否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。解：（1）（2）答:證法一:FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為（1）中的結(jié)論 FE FD仍然成立。如圖1,在AC上截取pAG AE，連結(jié) FG2 , AF為公共邊,AEFAGFAFEB 60AFG , FE FG,AD、CE分別是BAC、BCA的平分線60AFECFD AFG 60CFG 6034及FC為公共邊CFG CFDFG FD圖1FE FD證法二：如圖2，過點F分別作FGAB于點G，F(xiàn)H BC

17、于點H B 60 , AD、CE 分別是二可得 23 60 , F是ABC的內(nèi)心BAC、BCA的平分線GEF 601, FH FG又 HDF B 1GEF HDF可證 EGF DHF圖2二 FE FD五、旋轉(zhuǎn)（一）例題講解例1、正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點,EAF的度數(shù)。解：將 ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，至 ABG二 GE GB BE DF BE EF又 AE AE , AF AGBE DF EF，求FAEF AEGEAF GAE BAE GAB BAE DAF又 EAF BAE DAF 90 EAF 45DN , DM , DN 分別交 BC, CA 于點 E, F

18、。例2、D為等腰Rt ABC斜邊AB的中點，DM(1 )當 MDN繞點D轉(zhuǎn)動時，求證：DE DF(2)若AB 2，求四邊形 DECF的面積。分析：(1)連CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD 平分 ACB , CD AB, A45，CDDA，則 BCD 45 , CDA 90，由 DM DN 得EDF 90，根據(jù)等角的余角相等得到CDEADF，根據(jù)全等三角形的判定易得DCE ADF ,即可得到結(jié)論；(2 )由 DCE ADF ,則 S DCES ADF于是四邊形DECF的面積 S ACD，由而AB 從而得到四邊形DECF的面積。解：(1)連CD，如圖，/ D為等腰Rt ABC斜邊AB的中點2

19、可得CDDA 1，根據(jù)三角形的面積公式易求得S ACD ， CD 平分 ACB , CDAB,A 45 ,CD DABCD 45 , CDA90 DM DNEDF 90- CDE在 DCE和ADFADF中DCEDAFDC DACDEADFDCEADFDCEADFAS ADF四邊形DECF的面積而AB 2四邊形DECF的面積S ACD-CD2DA點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連 線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)。例3、如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且 BDC 12

20、0，以D為頂點做一個60角，使其兩邊分別交 AB于點M，交AC于點N,連接MN，求 AMN的周長。解： BDC是等腰三角形，且BDC 120BCD DBC ABC是邊長為303的等邊三角形ABC BACBCA 60DBA DCA90順時針旋轉(zhuǎn)BDM使DB與DC重合在 DMN和DM N中DM DMMDNNDM60DN DN二 DNMDNM二 MN M NNCBM AM ANMNNC BM AN AB AMN的周長為6AC 6（二）實際應用1、已知四邊形ABCD中，轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AD、DC（1 ）當 MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到（2）當 MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到 證明；若不成立，線段 AE、CF、AB AD

21、， BC（或它們的延長線）AE CF時（如圖AE CF時，在圖CD，AB BC， ABC 120， MBN 60， MBN 繞 B 點旋 于E、F.1）,易證 AE CF EF .2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明。解：(1)v AB ad圖 Be CD , CBF (SAS);ABEABECBF ,BEBFABBC ,A圖E2 CFABC120 ,MBNABECBF30 ,60BEF為等邊三角形EFBF ,CF AE - BE2CFBEEF2成立，圖3不成立。K，使CK AE，連接BK FBE 60 ,ABC120 FBCA

22、BE60 FBCKBC60 KBFFBE60- KBFEBF KF EF KC CFEF即 AE CFEF圖3不成立,AE、CF、EF的關(guān)系是KBCAE CFBE BK， ABE（2 ）圖證明圖2，延長DC至點則 BAE BCKEF2、(西城09年一模)已知：PA 42 , PB 4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線 AB的兩側(cè)。(1) 如圖，當 APB 45時，求AB及PD的長；(2) 當 APB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值，及相應 分析：(1)作輔助線，過點 A作AE PB于點E,在Rt PAE中，已知APB的大小。APE , AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將 AE,

23、PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt ABE中，根據(jù)勾股定理可將 AB的值求出；求PD的值有 兩種解法，解法一：可將 PAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到 P AB，可得求P B的長，在 Rt APP中，可將 PP的值求出，在 Rt解法二：過點P作AB的平行線，與 DA的延長線交于F，交進而可知PG的值，在 Rt PFG中，可求出 PF,在RtPADPPB 中,PB 于 G,PDF 中，PAB，求PD長即為根據(jù)勾股定理可將 PB的值求出； 在Rt AEG中，可求出 AG, EG的長, 根據(jù)勾股定理可將 PD的值求出；(2)將 PAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90 , 三點共線時，PB取得最大值，根據(jù)

24、 解：(1)如圖，作AE PB于點得到 P AB , PD的最大值即為PB的最大值，故當 P、P、BPB PP PB可求PB的最大值，此時 APB 180APP 135 . Rt PAE 中， APB45 ,PAPE PBPBPE 3 BE在 Rt ABE 中，AEBC90 AB TAPBe2解法一：如圖，因為四邊形ABCD為正方形，可將將 PAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到 PAB ,，可得PAD PAB, PDPB，PAPAPAP 90 ,APP 45PPB 90 PP2，PA72P B JPP 22亦；解法二:如圖，過點P作AB的平行線,RtAEG 中,可得AGAERtPFG 中,可得PFR

25、tPDF 中,可得PDJPPAd(2 )如圖所示，將 PPB 中，P BAEcos EAG cos ABEPG cos FPG PG cos與DA的延長線交于F，設丁，ABE邁5CDA的延長線交PG PEEGFG(101525PB于G.2CPAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90 ,得到 PAB , PDPP PB, PP 72pa 2 ,的最大值,即為PB的最大值PB 4且P、D兩點落在直線 AB的兩側(cè)當P、P、B三點共線時，PB取得最大值(如圖)CpC此時P B PP PB 6，即P B的最大值為6此時 APB 180 APP 1353、在等邊 ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點 M、N,D為

26、ABC外一點，且 MDNBD DC .探究：當 M、N分別在直線 AB、AC上移動時，BM、NC、邊ABC的周長L的關(guān)系。MN之間的數(shù)量關(guān)系及60， BDC 120，AMN的周長Q與等CCC圖3MN之間的數(shù)量關(guān)系是圖1(1)如圖1,當點M、N邊AB、AC上,且DM圖2DN時,BM、NC、此時Q L(2)如圖加以證明；2,點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時,猜想(1)問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并(2)如果DM DN，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。90，那么三角形 MBD和ECD 中,中我們已經(jīng)得出，MBD NCD此兩三角形全等，那么DM DE ,BDM CDE， EDN

27、BDC延長AC至E,使CE有了一組直角，MBMDN 60 .三角形BMCE，MDNDE. ( 1)DC，因和EDN中，有，連接BDDM DE， EDN把MN轉(zhuǎn)換成了 NE， 的。MDN 60， 因為NE CNMN NE，至此我們把 BM轉(zhuǎn)換成了 CE,有一條公共邊，因此兩三角形全等，CE，因此MN BM CN . Q與L的關(guān)系的求法同(1)，得出的結(jié)果是一樣(3)我們可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，中，由(1)中已經(jīng)得出的 DCH MB 90，我們做的角 BDM 么BM CH，DM DH，三角形 MDN和NDH中，已知的條件有 形全等就需要知道MDN HDN，因為 CDH MDB，因此思路同(2)過D作 CDH MDB，三角形BDM和CDH ，BD CD，因此兩三角形全等(ASA).那DH，一條公共邊 ND，要想證得兩三角BDC 1