幾何證明中點模型(中級)

1、幾何證明中點模型（中級）1、中位線定理：如圖，在【知識要點】ABC 中，若 AD BD , AE CE ,則 DE /BC 且 DE - BC。 2C2、中線倍長（倍長中線）:如圖（左圖），在ABC中,D為BC中點,延長AD到E使AD DE，連接BE ,則有:ADC 也 EDB 。作用：轉(zhuǎn)移線段和角。C注意:（需要的話）。在實際運用中，與某個中點相連的線段， 都可以將其看作“中線”，從而都可以考慮將它倍長如上右圖，如果出現(xiàn)“ 兩條平行線夾中點”的情形，一定會出現(xiàn)“X全等”或“叉叉全等”或“ 8字型全等”， 有時這個“叉叉”需要我們自己畫出來（輔助線）3、直角三角形斜邊中線定理:如圖，在Rt A

2、BC中， ACB 90 , D為AB中點，則有：CDADBDfAB。A4、三線合一:在 ABC 中:(1) AC BC ； ( 2) CD 平分 ACB ； ( 3) ADBD ,(4)CD AB.“知二得二”：比如由(2)( 3)可得出(1 )( 4).也就是說，以上四條語句，任意選擇兩個作為條件，就可以推出剩下兩條。B請牢記：當你發(fā)現(xiàn)有某一條線同時具備了“垂線”、“角平分線”、“中線”三種功能當中的任意兩種功能時，那么這條線就一定是某個等腰三角形的對稱軸，換句話說，以這條線為對稱軸必定有等腰三角形出現(xiàn).【經(jīng)典例題】例1、如圖所示，已知 D為BC中點，點A在DE上，且AB CE，求證:BAD

3、 CED.例2、如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE AC，延長BE交AC于F，求證：AFEF。例3、如圖，在ABC中，AD為 A的平分線，M為BC的中點，AD/ME ,求證：BECF 1 AB AC。2例4、如圖,已知ABC中，BD,CE為高線，點M是DE的中點，點N是BC的中點求證:MNDE 。例5、如圖所示，在ABC 中,AC AB，M為BC的中點，AD是 BAC的平分線，若 CF AD且交AD的延長線于F，求證:MF 1(AC AB)。例6、如圖所示，在ABC 中,AD是 BAC的平分線，M是BC的中點，MEAD且交AC的延長線于E，CD 2CE，求證:

4、ACB 2 B 。E【提升訓(xùn)練】AB AC1、已知如圖，ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AD 22、已知：如圖，在矩形 ABCD中，E為AD的中點，EF EC交AB于F連結(jié)FC AB AE。求證:AEF ECF.3、已知如圖，ABC中，D是BC邊的中點，E是AD邊的中點，連結(jié) BE并延長交AC于點F.求證:FC 2AF 。4、在梯形 ABCD 中，AD / BC , AB AD BC , E 為 CD 的中點，求證： AE BE。5、已知：在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于0 , AF為 BAC的平分線，交BD于E , BC于F .求證：0E 1FC .26、如圖，ABC中， B的

5、平分線BE與BC邊的中線 AD垂直，垂足為F，且BEAD 4，求 ABC的三邊長。AC于點N，求MN的長。7、如圖，在 ABC中，AB AC 5, BC 6，點M為BC中點，MNC8、如圖，已知ABC中，AD是 BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線，求證 AB AC。9、如圖，已知ABC 中，AB 5, AC 3, BC 上的中線 AD 2 ,求 BC 的長.D10、如圖，在 ABC中，D是AB的中點，AC CD , tan BCD -，求 A的正切值. 3B11、已知：如圖，ABC中，AB BC，在AB上取點D，在AC延長線上取點 E，連結(jié)DE交BC于點F，若F是DE中點，求證：BD CE

6、 .12、如圖,ABC的邊BC的中點，AN平分 BAC , BN AN于點N，且AB 10, BC 15,MN3，求ABC的周長。13、如圖,已知:ABC 中，A 90, D 是 BC 的中點，DE DF。求證：BE 2 CF 2EF2。CEF。14、如圖，已知 ABC中，D是BC的中點，DE DF。求證：BE CF15、如圖，D是 ABC中BC邊上的一點，且 CD AB , BDA BAD , AE是 ABD的中線,求證：AC 2AE。16、如圖，已知等腰三角形 ABC中， A 90 ,AB AC, BD平分 ABC, CE BD，垂足為點求證：BD2CE 。17、已知：如圖,BADCAD

7、, AB AC,CD AD 于點 D,H 是 BC 中點,求證：DH -2AB AC 。18、如圖，在正方形 ABCD中，F(xiàn)是AB中點,連接CF，作DE CF交BC于點E ,交CF于點M ,求證:AM AD。19、已知:ABD和 ACE都是直角三角形，點C在AB上，且 ABD ACE 90，如圖，連接DE，為DE的中點，連接MB,MC。求證:MB MC 。EE、F、G分別是0C、20、如圖，平行四邊形 ABCD中，對角線AC、BD相交于點0 , BD 2AD ,0D、AB 的中點。求證：(1) BE AC (2) EG EF .P線段DF21、請閱讀下列材料：問題：如圖，在菱形ABCD和菱形B

8、EFG中，點A, B, E在同一條直線上,的中點，連結(jié)PG,PC .若 ABC BEF 60 ,探究PG與PC的位置關(guān)系.22、如圖,ABC中，D是邊BC的中點，BE AC于點E，若 DAC 30 ,求證：ADBE。23、如圖,梯形 ABCD 中，AD / BC , E 是 AB 中點，EF CD 于 F , CD6, EF 4，求 S弟形 ABCD。AD24、如圖,三角形 ABC , D為BC上的點，過B作BE AE，交AD延長線于E，作CF AD交AD于F，G為BC中點，連接FG與GE，求證：FG GEB25如圖，在正方形 ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分 DAE

9、，求證：AE EC CD26、如圖，正方形 CGEF的對角線 CE在正方形 ABCD的邊BC的延長線上（CG BC）, M是線段AE的中點,DM的延長線交CE于N .(1)求證：AD=NE (2 )求證： DM=MF : DM 丄 MF .27、如圖，等腰梯形 ABCD中，CD/AB，對角線ABCD相交于O , ACD 60，點S，P , Q分別是OD, OA，BC的中點，求證：PQS是等邊三角形.28、已知如圖，ABC的中線BD、CE相交于點O, F、G分別是OB、oc的中點,(1)判斷EF和DG有何關(guān)系并證明；(2)求證：OGD1S二 S ABC 1229、如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC , AB AD DCC 60 ,AEcBD于點E , F是CD的中點，DG是梯形的高。x的函數(shù)關(guān)系式。(1) 求證：四邊形 AEFD是平行四邊形;(2)設(shè)AE x，四邊形DEFG的面積為y，求y關(guān)于ADG30、已知如圖，在四邊形 ABCD中，EF分別為AB、CD的中點;(1)求證：EF 1(AC BD)；(2) EF 交 BD、AC 分別于 P、Q，若 ACBD，求證：OPQ為等腰三角形。31、點O是 ABC所在平面內(nèi)一動點，連結(jié) OB、O