雙曲線漸近線方程

1、雙曲線漸近線方程雙曲線漸近線方程 雙曲線漸近線方程，是一種幾何圖形的算法，這種主要解決實際中建筑物在建筑 的時候的一些數(shù)據(jù)的處理。雙曲線的主要特點：無限接近，但不可以相交。分為 鉛直漸近線、水平漸近線和斜漸近線。是一種根據(jù)實際的生活需求研究出的一種 算法。漸近線特點：無限接近，但不可以相交。分為鉛直漸近線、水平漸近 線和斜漸近線。當曲線上一點M沿曲線無限遠離 原點時，如果M到一條 直線的距離無 限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。需要注意的是：并不是所有的曲線都有漸近線，漸近線反映了某些曲 線在無線延伸時的變化情況。根據(jù)漸近線的位置，可將漸近線分為三類：水平漸近線、垂直漸近線、 斜漸

2、近線。x=0, y=0為其漸近y=k/x(k工0)是反比例函數(shù)，其圖象關于原點對稱， 線方程當焦點在x軸上時雙曲線漸近線的方程是 y=+(-)b/ax 當焦點在y軸上時 雙曲線漸近線的方程是 y=+(-)a/bx 雙曲線的簡單幾何性質1. 雙曲線x2/a2-y2/b2= 1的簡單幾何性質(1)范圍：| x I > a,y R.x軸、y軸及原點對稱性：雙曲線的對稱性與橢圓完全相同，關于 中心對稱.(3)頂點：兩個頂點 A1(-a,0),A2(a,0)，兩頂點間的線段為實軸，長為2a，虛軸長為 2b，且c2 = a2+b2.與橢圓不同. 漸近線：雙曲線特有的性質，方程y=± b/a

3、x，或令雙曲線標準方程x2/a2-y2/b2= 1中的1為零即得漸近線方程.(5)離心率e> 1,隨著e的增大，雙曲線張口逐漸變得開闊. 等軸雙曲線(等邊雙曲線)：x2-y2 = a2(a工0),它的漸近線方程為y=± b/ax,離心率 e = c/a= V2 (7)共軛雙曲線：方程-=1與- =-1表示的雙曲線共軛，有共同的漸近線和相等的焦距，但需注重方程的表達形 式.注重：1. 與雙曲線-=1共漸近線的雙曲線系方程可表示為 且入為待定常數(shù))=1（入 V a2,2. 與橢圓 =1(a > b > 0)共焦點的曲線系方程可表示為 其中b2-入0時為橢圓，b2 V入V

4、 a2時為雙曲線)2. 雙曲線的第二定義的距離之比等平面內到定點 F(c,0)的距離和到定直線l:x = +(-)a2/c(焦參數(shù))p =，與橢圓相同.、F2(c,0)，點 P(xO,yO)在雙曲線-=1于常數(shù)e = c/a (c > a> 0)的點的軌跡是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定 直線是雙曲線的準線，焦準距3. 焦半徑(-=1,F1(-c,0)的右支上時，|pF1 |= ex0 a, | pF2 |= ex0-a;=ex1+a I PF2 |= ex1-a.P在左支上時，則| PF1 |本節(jié)學習要求：學習雙曲線的幾何性質，可以用類比思想，即象討論橢圓的幾何性質 一樣去研究雙

5、曲線的標準方程，從而得出雙曲線的幾何性質，將雙曲線的 兩種標準方程、圖形、幾何性質列表對比，便于把握.雙曲線的幾何性質與代數(shù)中的方程、平面幾何的知識聯(lián)系密切；直線 與雙曲線的交點問題、弦長間問題都離不開一元二次方程的判別式，韋達 定理等；漸近線的夾角問題與直線的夾角公式.三角函數(shù)中的相關知識，是高考的主要內容.通過本節(jié)內容的學習，培養(yǎng)同學們良好的個性品質和科學態(tài)度，培養(yǎng) 同學們的良好的學習習慣和創(chuàng)新精神，進行辯證唯物主義世界觀教育.雙曲線的漸近線教案教學目的(1)正確理解雙曲線的漸近線的定義，能利用雙曲線的漸近線來畫雙 曲線的圖形.（2）掌握由雙曲線求其漸近線和由漸近線求雙曲線的方法，并能作初

6、步的應用，從而提高分析問題和解決問題的能力.教學過程一、揭示課題師：給出雙曲線的方程，我們能把雙曲線畫出來嗎?生（眾）:能畫出來.師：能畫得比較精確點嗎?（學生默然.）師=例如畫雙曲線訂lb團1亡一91（圖" 通遺列表描點，我們把雙曲線的頂點及但雙曲線向何處伸展就不很清楚了. 在其附近的點，比較精確地畫出來.畫其他曲線時，也有同樣的問題.如曲線我們可以比較精確地畫出整個曲線.因為我們知道，當曲線伸向遠 處時，它逐漸地越耒越接近于:?由和，軸，即肆由、y軸是曲線尸-的漸近線！而曲線7 = 2*,它的一端 X的趨向，我們是清楚的，它逐漸地在x軸負方向上越來越接近 x軸，即x軸為y= 2x

7、的一條漸近線，但它的另一端則不然，它伸向何處是不夠 清楚的.所以雙曲線和其他曲線一樣，當它向遠處伸展時，它的趨向如 何，是需要研究的問題.今天這堂課，我們就來討論一下“雙曲線向何 處去”這樣一個問題.（板書課題：雙曲線的漸近線.）用學埜熟悉的曲線尸二y=F來提岀問題，有刑于學生思維活動的具體化- X二、講述定義師：前一課我們討論了雙曲線的范圍、對稱性和頂點，我們回憶一 下，雙曲線的范圍x< a, x>a是怎樣得出來的？由尸±2宀知護所以七或宀.從而得岀了雙曲線在兩直線X = a和x=a的外側我們能不能把雙曲線的范圍再縮小一 點？我們先看看雙曲線在第一象限的情況.設M（x,

8、 y）是雙曲線上在第一象限內的點，則7=腫 一 a' . (Qa) a考察一下y變化的范圍:因為X2 a2v X2,所以這個不等式意味著什么?（稍停，學生思考.）個二7決不無式：我們知滇宅林一個區(qū)K圧藺線=2黛*方宅半平面區(qū)域.（用先作矩形的方法，畫岀兩直線然后，指出區(qū)域.） a由于雙曲線和直線y= ±£瀏稱于坐標軸，所以汝曲線（兩支）在直線y= ±-x.a之間（含x軸部分）這樣，我們就進一步縮小了雙曲線所在區(qū)域的范圍.然而直線尸士 一盤，與或曲線-a-為此，我們考慮下列問題:經(jīng)過A、Ai作y軸的平行線x =± a,經(jīng)過B、B作x軸的平行線y&#

9、177; b,從圈2可四條直線圍成一個去覘.矩形的兩條對角線所在直線的方程是卩=以看出，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近.F面，我們來證明這個事實.雙曲線在第一象限內的方程可寫成設M(x, y)是它上面的點，N(x, Y)是直線上與M有相同橫坐標的點，則設|MQ|是點M到直線的距離，則|MQ| v|MN| .當x逐漸增大時，|MN|逐漸減小，x無限 增大，|MN|接近于零，|MQ |也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的 部分從射線ON的下方逐漸接近于射線 ON在其他象限內也可以證明類似的情況.我們把兩條直線叫做雙曲線的漸近線.現(xiàn)在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由

10、于實軸在y軸上的雙曲線方程是由實軸在 x軸上的雙曲線方程，將X、y字母 對調所得到，自然，前者漸近線也可由后者漸近線方程，將y字母對調而得到.所以，雙曲線篤的漸址線方程懸=士 一ya（板哉 定義直線y二:則做眾曲線 a的漸近線；直綺=±£址叫做雙曲線Wba.活=1的漸近線.）這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向的問題，從而可比較 精確地畫出雙曲練例如，現(xiàn)曲銭話-y =1,先作漸近線亍=士扌為再描幾個點，就可隨手畫出比較精確的雙曲線.提出問題，解決問題，善始善終.三、初步練習（根據(jù)由雙曲線求出它的漸近線方程與由漸近線求出相應的雙曲線 方程這兩要求，出四個小題讓學生練習.）

11、1求下列雙曲線的漸近線方程（寫成直線方程的一般式），并畫出雙 曲線：(1) 4x 2-y2= 4;(2)4x 2-y2= 4.2.已知雙曲線的漸近線方程為 x± 2y= 0，且雙曲線過點:(1) M件島;，、禺求雙曲線方程并畫出雙曲線.（練習畢，由學生回答，教師總結.）解題的主要步驟:第1題：（1）把雙曲線方程化為標準方程；（2）求得a、b; （3）根據(jù) 定義寫出漸近線方程.第2題：（1）判斷何種雙曲線，設出相應的標準方程；（2）寫出漸近線方程，從而得到關于 a、b的一個關系式；（3）將點M代入標準方程， 得到關于a、b的另一個關系式；（4）解a、b的方程組，求得a、b,寫 出雙曲線

12、方程.師：這是兩個關于雙曲線漸近線的最基本的練習一個是由雙曲線 求漸近線，比較簡單；一個是由漸近線求雙曲線，卻比較復雜.這是因 為，一個是正向思考和運算，另一個是逆向思考和運算，有一定的難度.同 時，因為一條雙曲線有兩條確定的漸近線，而兩條漸近線對應有許多雙 曲線，因此，求雙曲線方程還必須具有另一個條件，兩個條件的綜合顯 然比較困難我們要特別注意對逆向問題的分析，提高解決逆向問題的 能力.問題雖然簡單，但確是基礎，不僅掌握基本知識，同時有利于正、 逆兩方面思考問題的訓練.四、建立法則師：仔細分析一下上述練習的結果:雙曲線方程:4x2 y2= 4;漸近線方程：2x± y= 0 .雙曲線

13、方程:4x2 y2= 4;漸近線方程：2x± y= 0.雙曲線方程:x2 4y2= 4;漸近線方程：x± 2y= 0.雙曲線方程:X2 4y2= 4;漸近線方程：x± 2y= 0.可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線與其漸近線的方程之間似乎存在某種規(guī)律.（啟發(fā)學生討論、歸納.）生甲：每項開平方，中間用正負號連結起來, 到漸近線方程.常數(shù)項改為零，就得生乙：以各項系數(shù)絕對值的算術平方根為 連結起來等于零，就是漸近線方程.X、y的系數(shù)，且用正負號生丙：如果兩個雙曲線方程的二次項相同, 與常數(shù)項無關.那么漸近線方程就相同,生?。悍催^來，漸近線的方程相同，雙曲線方程的二次項就相同, 常數(shù)可以

14、不同.生戊：應該說二次項系數(shù)成比例.師：大家揭示了其中的規(guī)律.但是，大家的回答，還不夠嚴格，也 不夠簡潔，是否可以歸納出一種方法，把雙曲線方程處理一下，就得到 漸近線方程？把雙曲線方程中常數(shù)項改成零,會怎樣呢?=0.frla bj這袤示件鮎這就標兩條漸近線彳+古。及=0.因為漸近線上的D點適合這個方程，適合這個方程的點在漸近線上.所以就是兩漸近線的方程.實際上，兩條漸近線也可看作二次曲線，是 特殊的雙曲線.同樣，.2 2 2 2 -b X a y = 0,即 bx± ay= 0;.2 2by2 2 -a x = 0,即 by± ax= 0.所以把雙曲線方程的常數(shù)項改為零，就

15、得到其漸近線方程這具有 一般性嗎？也就是說對任意雙曲線島2 B2y2 = C（C工 0）它的漸近線方程是不是 Ax2 B2y2 = 0?回答是肯定的.分情況證明一下:C>0, A2x2 E2y2= C,即cc 7故漸近線方程為y= 士y= 士也可以化成Ax± By= 0,即 A2x2 B2y2= 0.其他情況，同學們可以自己去證明.反之，漸近線方程為Ax± By= 0的雙曲線方程是什么？可以證明是：Ax2 B2y2 = C(C工0) . C>0,實軸在X軸上；CV 0，實軸在y軸上.因此，我們得到下列法則：2 2 2 2雙曲線Ax By = C(C工0)的漸近線

16、方程是八2222Ax By = 0;(2) 漸近線方程是 Ax± By= 0的雙曲線方程是Ax2 E2y2= C(C工0的待定常數(shù)).現(xiàn)在誰能把上面的練習第 2題再解答一下?生：因為漸近線方程是x±2y= 0,所以雙曲線方程為(1)'/ 曲線過73)："弘即=Ch得二雙曲線方程為X 4y2 = 4.(2)Y曲線過二率4(75)，=C,得。=-4.二雙曲線方程為 X 4y2= 4.建立解題法則，既使解題比較方便，又使學生得到解題能力的培 養(yǎng).五、鞏固應用師：前面我們講述了雙曲線漸近線的定義和法則，下面大家使用定 義或者法則再做兩個練習.1.求與雙曲線飛-L = 1有共同漸近線且有焦點鞏Q, W的雙曲線的方程.J 102.證明：雙曲線上任一點到兩漸近線的距離之積是個常數(shù).（練習畢，由學生回答，教師總結解題步驟.）師：解練習1的方法有兩種.一是直接運用定義.由雙曲線求漸近線:a= 3416由漸近線求雙曲線:c= 10c = 10二是直接運用法則.2一 C ”16916c基十血+9"9c練習2的解法如下:b店鑑2 _今 b圣 ±