機械振動課后習(xí)題集和規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案第二章習(xí)題集和標(biāo)準(zhǔn)答案

1、2.1彈簧下懸掛一物體，彈簧靜伸長為。設(shè)將物體向下拉，使彈簧有靜 伸長3，然后無初速度地釋放，求此后的運動方程。解：設(shè)物體質(zhì)量為m,彈簧剛度為k，則:mg k ，即:取系統(tǒng)靜平衡位置為原點x 0,系統(tǒng)運動方程為:mX& kx 0（參考教材P14）Xo2X& 0解得：x(t) 2 cos nt2.2 彈簧不受力時長度為65cm，下端掛上1kg物體后彈簧長85cm。設(shè) 用手托住物體使彈簧回到原長后無初速度地釋放，試求物體的運動方程、振幅、周期及彈簧力的最大值。解：由題可知：彈簧的靜伸長 V 0.850.650.2(m)7(rad /s)所以：n取系統(tǒng)的平衡位置為原點,系統(tǒng)的運動微分

2、方程為:娥n2X其中，初始條件：豔0.20(參考教材P14)所以系統(tǒng)的響應(yīng)為：x(t)0.2COSnt(m)彈簧力為：Fk kx(t) mgx(t) cos nt(N)V2因此：振幅為0.2m、周期為 一(s)、彈簧力最大值為1N。72.3 重物mi懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物m2從高度為h處自由落到mi上而無彈跳，如圖所示,求其后的運動。解：取系統(tǒng)的上下運動x為坐標(biāo)，向上為正,靜平衡位置為原點X 0,則當(dāng)m有X位移時,Et 2仲1U kx22系統(tǒng)有:m2)&2由 d(ETU)0 可知：(mj m2)X& kx即:Jk/(mim2)Xom2g系統(tǒng)的初始條件為

3、：xkm1 m2(能量守恒得：m2gh 2(m1 m2)X)2)nt因此系統(tǒng)的響應(yīng)為：x(t) Ao cos nt Ai sinAo其中:AiXoX&k m2g / 2ghkm1m2即：x(t)nt 2ghk Sin nt)Vm1m22.4 質(zhì)量為m、轉(zhuǎn)動慣量為I的圓柱體作自由純滾動，圓心受到一彈簧k約束，如圖所示，求系統(tǒng)的固有頻率。解：取圓柱體的轉(zhuǎn)角 為坐標(biāo)，逆時針為正,靜平衡位置時 0,則當(dāng)m有轉(zhuǎn)角時，系統(tǒng)有:1|21U -k(2Et&2m(&)2r)22(|mr2) &由 d(ETU) 0可知:(I mr2)險 kr2即:nJkr2/(lmr2)(rad/

4、s)2.5 均質(zhì)桿長L、重G,用兩根長h的鉛垂線掛成水平位置，如圖所示, 試求此桿相對鉛垂軸00微幅振動的周期。2.6求如圖所示系統(tǒng)的周期，三個彈簧都成鉛垂，且k2 2ki,k3 ki。解：取m的上下運動x為坐標(biāo)，向上為正，靜平衡位置為原點x 0,則當(dāng)m有x位移時，系統(tǒng)有:Et 1mx&U如2扣26（其中:k -lk)k1 k2由 d(ET5U) 0 可知：mX& -k1x3即：n朽'（rad/s），T 2 厲(s)k.777777772.7 如圖所示，半徑為r的均質(zhì)圓柱可在半徑為以圓軌面最低位置 0為平衡位置左右微擺，試導(dǎo)出柱體的擺動方程，求其固有頻率。解：設(shè)物體重量

5、W，擺角坐標(biāo) 如圖所示，逆時針為正，當(dāng)系統(tǒng)有 擺角時，則:R的圓軌面內(nèi)無滑動地、2U W(R r)(1 cos ) W(R r) 2設(shè)&為圓柱體轉(zhuǎn)角速度,質(zhì)心的瞬時速度:c (R r) & r&,即:記圓柱體繞瞬時接觸點A的轉(zhuǎn)動慣量為I A，則:, W 21WIA I c rrg 2 gEt1Ia&2 1(3也r2)(J&2 4W(r r)2 &22 2 gr4 g（或者理解為：Et 1lc&2 1W（R r）2 &2，轉(zhuǎn)動和平動的動能）g由 d(ET U) 0 可知：3W(R2 gr )2 險 W (R r)0即："J

6、 歆（rad/S）o2.8橫截面面積為A，質(zhì)量為m的圓柱形浮子靜止在比重為的液體中。設(shè)從平衡位置壓低距離x(見圖)，然后無初速度地釋放,若不計阻尼，求浮子其后的運動。解：建立如圖所示坐標(biāo)系，系統(tǒng)平衡時 x 0，m&& (Ax)g 0，即:fAgXo X有初始條件為：&0r- 1BISB 由牛頓第二定律得:所以浮子的響應(yīng)為：X(t) xsi2)2.9求如圖所示系統(tǒng)微幅扭振的周期。圖中兩個摩擦輪可分別繞水平軸Oi ,02轉(zhuǎn)動，它們相互嚙合，不能相對滑動，在圖示位置（半徑0iA與O2B在同一水平線上），彈簧不受力。摩擦輪可以看做等厚均質(zhì)圓盤，質(zhì)量分別 為 mi，m2。解：兩輪

7、的質(zhì)量分別為mi,m2，因此輪的半徑比為:ri由于兩輪無相對滑動，因此其轉(zhuǎn)角比為:2X22 ri取系統(tǒng)靜平衡時i0,則有:i /i 2 & 2（2miri）1i2i2I2U 2ki（rii）2辦2（22）2（kik2）（riJ2Et1（2口222）&24（mi m2）ri2&22 1 /212k2（r2 2）2由d（ET U） 0可知：i（mi m2）ri2辱 （ki k2）ri2 i 0即:F(k k2)(rad/s ), T 2Y m1m22.10如圖所示，輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為I，輪緣繞有軟繩，下端掛有重量為P的物體，繩與輪緣之間無滑動。在圖示位置

8、， 由水平彈簧維持平衡。半徑 R與a均已知，求微振動的周期。解：取輪的轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，順時針為正，系統(tǒng)平衡時角時，系統(tǒng)有:Et-沖-(IU -k( a)22由 d(ET U)0可知:(I 巳 R2)毅 ka2 g即:nka22(rad/s )，故 T 0，則當(dāng)輪子有轉(zhuǎn)2 冒（s）2.11 彈簧懸掛一質(zhì)量為m的物體，自由振動的周期為T ,如果在m上附 加一個質(zhì)量m 1，則彈簧的靜伸長增加VI，求當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?。?QT2押4 2mTQ rng kvikVI 4 2m VIg m,T rn2.12 用能量法求圖所示三個擺的微振動的固有頻率。擺錘重 P， (b)與(C)中每個彈簧的彈性系數(shù)為k/2 o

9、 (1)桿重不計；(2)若桿質(zhì)量均勻，計入桿重。Lij.C 丈j-(f>解：取系統(tǒng)的擺角 為坐標(biāo)，靜平衡時(a)若不計桿重，系統(tǒng)作微振動，則有:Et掙)&2U PgL(1 cos ) 1pgL 2P 2 _由d(ET U ) 0 可知：一L2險 PL 0 g即:店(rad/s)如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動，則有:EthmLL2) &2 31 ,P2(?mL)L2 &UP gL(1cos)mLg2(icos(7mL)L2a&(PP由d(ET U )0 可知：(一g 3即：nzP mL(rad/s(b )如果考慮桿重,系統(tǒng)作微振動,則有:EtP(-gmiL2)g

10、L1(*)&2(P-2 g1 k L 22 刃 2)2mk)L2823匕叫g(shù)色即:g P 2m- (rad/s ) (g 號)Lg 3(C )如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動，則有:Et11)&2（3-丄2）(g2 1k2)gL 7 2(2)(miL2)2 2即:寧（g亍）gTVmiL(rad/s )2.13 求如圖所示系統(tǒng)的等效剛度，并把它寫成與x的關(guān)系式。-V7i2"匚o產(chǎn)廠嚴VA嚴a2 b2答案：系統(tǒng)的運動微分方程mX& Jkx 0a2.14 一臺電機重470N，轉(zhuǎn)速為1430r /min，固定在兩根5號槽鋼組成的簡支梁的中點，如圖所示。每根槽鋼長1.2m，重

11、65.28N，彎曲剛度El= 1.66105N m2。(a)不考慮槽鋼質(zhì)量，求系統(tǒng)的固有頻率;(b)設(shè)槽鋼質(zhì)量均布，考慮分布質(zhì)量的影響，求系統(tǒng)的固有頻率;(C)計算說明如何避開電機和系統(tǒng)的共振區(qū)。2.15 一質(zhì)量m固定于長L,彎曲剛度為EI，密度為 的彈性梁的一端, 如圖所示，試以有效質(zhì)量的概念計算其固有頻率。wL 3/(3EI)2.16 求等截面U形管內(nèi)液體振動的周期,阻力不計，假定液柱總長度為L。解：假設(shè)U形管內(nèi)液柱長I，截面積為A，密度為，取系統(tǒng)靜平衡時勢能為0，左邊液面下降X時，有:Et 1AIX&由 d(ETU) 0可知：AIxS& 2g Ax即：n薦（rad/s ）

12、，T 洛（S）2 .17 水箱I與2的水平截面面積分別為Ai、A2,底部用截面為Ao的細管連接。求液面上下振動的固有頻率。AlA,* 一 _II-L _£h1L12解：設(shè)液體密度為 ，取系統(tǒng)靜平衡時勢能為0，當(dāng)左邊液面下降X1時，右 邊液面上升x2，液體在水箱I與2和細管中的速度分別為)&,)&,)&，則有:Et 2 Ai（h X1）唐1"厲夕 A2（h x2）廝2Aih A3噲）2 A2噲用（由于：h Xi h; h X2 h; Ai）& A2X2 A3X3；AiXi A2X2）AxigXX2Ai由 d(ET U) 0 可知：h(1)A2A

13、AiL(a3)禺 gd -)X10g(1a2)即: n 十(1 Al) l(a4(rad/s )2.18 如圖所示，一個重 W、面積為A的薄板懸掛在彈簧上，使之在粘性液體中振動。設(shè)Ti、T2分別為無阻尼的振動周期和在粘性液體中的阻尼周 期。試證明:gATiT2并指出的意義（式中液體阻尼力Fd =2Av）。A2.19 試證明：對數(shù)衰減率也可用下式表示hn，(式中Xn是經(jīng)過nnXn個循環(huán)后的振幅)。并給出在阻尼比為0.01、0.1、0.3時振幅減小到50%以下所需要的循環(huán)數(shù)。解：設(shè)系統(tǒng)阻尼自由振動的響應(yīng)為x(t)；to時刻的位移為X0 ; tn to nT時刻的位移為Xn ；貝9：XXe nt0

14、cos( dt。丿e nnTdXT Xe n(t0 nTd)cos d(t0 nTd)所以有：InnnTd n nIn ，即:XnX1X0l|n匹nXn當(dāng)振幅衰減到50%時，Xn 0.5X0，即：n丄In 2ln221)當(dāng)0.01時，n 11 ;要11個循環(huán);2)當(dāng)0.1時，n 1.1 ;要2個循環(huán);3)當(dāng)0.3時，n 0.34 ;要1個循環(huán);2.20 某雙軸汽車的前懸架質(zhì)量為mi=1151kg，前懸架剛度為ki=1.0210 5N /m，若假定前、后懸架的振動是獨立的，試計算前懸架垂直振動的偏頻。如果要求前懸架的阻尼比0.25，那么應(yīng)給前懸架設(shè)計多大阻尼系數(shù)（C）的懸架減振器？2.21 重量

15、為P的物體，掛在彈簧的下端，產(chǎn)生靜伸長，在上下運動時 所遇到的阻力與速度V成正比。要保證物體不發(fā)生振動，求阻尼系數(shù)c的最低值。若物體在靜平衡位置以初速度 V0開始運動，求此后的運動規(guī)律。解：設(shè)系統(tǒng)上下運動為x坐標(biāo)系,系統(tǒng)的靜平衡位置為原點,得到系統(tǒng)的運動微分方程為:P m Q P 一 X& cX& 一 x g系統(tǒng)的阻尼比：c/mk系統(tǒng)不振動條件為:1，即：c 2P/jgXo 0xSo0物體在平衡位置以初速度 0開始運動，即初始條件為:此時系統(tǒng)的響應(yīng)為：（可參考教材P22）1)當(dāng) 1 時：x(t) e nt(A1e n A2e n')A1,2其中：2)當(dāng)1時:x(t)Aq

16、 nt A2te nt，其中:AiA2即:x(t)0te nt3)當(dāng)1時:x(t)ent (C1 cos dtC2 sindt)C1其中：C20o/Jid ，即：x(t) ent0 . -sinddt2.22 個重5500N 的炮管具有剛度為 3.03105N /m的駐退彈簧。如果發(fā)射時炮管后座1.2m，試求: 炮管初始后座速度; 減振器臨界阻尼系數(shù)（它是在反沖結(jié)束時參加工作的 炮管返回到離初始位置0.05m時所需要的時間。2.23 設(shè)系統(tǒng)阻尼比 0.1，試按比例畫出在1.0、2.0 三種情況下微分方程的向量關(guān)系圖。2.24 試指出在簡諧激勵下系統(tǒng)復(fù)頻率響應(yīng)、放大因子和品質(zhì)因子之間的關(guān)系，并計

17、算當(dāng)0.2、n=5rad/s 時系統(tǒng)的品質(zhì)因子和帶寬。2.25 已知單自由度系統(tǒng)振動時其阻力為 cv（其中c是常數(shù)，V是運動速度），激勵為 FF。sin t，當(dāng)n即共振時，測得振動的振幅為 X，求激勵的幅值F0。若測得共振時加速度的幅值為 A，求此時的F0。2.26 某單自由度系統(tǒng)在液體中振動，它所受到的激勵為F 50cos t (N)，系統(tǒng)在周期T = 0.20 s時共振，振幅為0.005cm，求阻尼系數(shù)。解：由T0.20s時共振可知，系統(tǒng)固有頻率為:F。n時，已知響應(yīng)振幅：X d，(參教材P30)所以:c孑空T)c2.27 個具有結(jié)構(gòu)阻尼的單自由度系統(tǒng)，在一周振動內(nèi)耗散的能量為它 的最大勢

18、能的1.2%，試計算其結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)2.28 要使每一循環(huán)消耗的能量與頻率比無關(guān)，需要多大的阻尼系數(shù)。2.29 若振動物體受到的阻力與其運動速度平方成正比，即廠2FdaxL2Fdax求其等效阻尼系數(shù)和共振時的振幅。解：實際上，這是一種低粘度流體阻尼。設(shè)系統(tǒng)的運動為：x(t) X cos(X&dx0/wx&d(A | H (w) | w)(wt)2a | H (w) | w(wtaX3 Ia 33/ X亍w A sin ( taw X sin ( t)dt| H (w) | wA sin(wt)dx7 3 2X w2(0) |(0)3)dt4 33 axI ax33 2 C X22

19、.29X cos( tXsin(x2dxx2dx2X2si n2()(2X cos( t )dt2X2si n2()(2X cos( t )dtWpWc8aXT"C X23 Fo8aX 23 Fo2.29Fdx?2xFddxT/440x2dxT/4FqCTT /4Z3x3dxcos3 (Z23 Fq8 Z 2)dt2.30 KGI n電動機重P,裝在彈性基礎(chǔ)上，靜下沉量為。當(dāng)轉(zhuǎn)速為nr/min時，由于轉(zhuǎn)子失衡，沿豎向有正弦激勵，電機產(chǎn)生振幅為A的強迫振動。試求激勵的幅值，不計阻尼。2.31 電動機重P,裝在彈性梁上，使梁有靜撓度。轉(zhuǎn)子重Q，偏心距 為e。試求當(dāng)轉(zhuǎn)速為 時，電動機上下強

20、迫振動的振幅 A，不計梁重。2.32 飛機升降舵的調(diào)整片鉸接 于升降舵的0軸上（圖T 2.32）,并由一聯(lián)動裝置控制。該裝置相當(dāng)Ar調(diào)正片于一剛度為kT的扭轉(zhuǎn)彈簧。調(diào)整片轉(zhuǎn)動慣量為I，因而系統(tǒng)固有頻率圖 T 2.32因此：kT I 0 (kik2)L2n Kt/I，但因kT不能精確計算，必須用試驗測定n。為此固定升降舵,利用彈簧k2對調(diào)整片做簡諧激勵，并用彈簧kl來抑制。改變激勵頻率 直至達到其共振頻率T。試以T 和試驗裝置的參數(shù)來表示調(diào)整片的固有頻率解：設(shè)調(diào)整片的轉(zhuǎn)角為 ，系統(tǒng)的微分方程為:I 險kT(kik2)L2kzLy sin t系統(tǒng)的共振頻率為:22kT(kik2)L0調(diào)整片的固有頻

21、率為:岳 J 2 (kik2)L22.33如圖所示由懸架支承的車輛沿高低不平的道路行進。試求W的振幅與行進速度的關(guān)系，并確定最不利的行進速度。*wvtL解：由題目2.33wXK(xy)?w XKYcos ft? ?w XKxKY cos2wS X(s) KX(s) KY(y Y cos 罕t?12 VLX (S) (s2 (J)2)(ws2 K)4sin an a卑Sinn ant和(a/ 2) 2Y1 (a/ 2)2Y14 2V2w1KL2YKL2 T 2V2wX4 Jk/w2.33Tv?mXKXKy?X2X2nyY 24 2v2V2RL24 2m2.34單擺懸點沿水平方向做簡諧運動(圖T

22、2.34)， =asin t。試求在微幅的強迫振動中偏角的變化規(guī)律。已知擺長為L,擺錘質(zhì)量為m。2.35 一個重90N的飛機無線電要與發(fā)動機的頻率 16002200r/min 范 圍的振動隔離，為了隔離85%，隔振器的靜變形需要多少？2.36 試從式(2.95)證明:1.無論阻尼比 取何值,在頻率比 / n V2時，恒有X = A。2.在 / n 血，X/A隨增大而減小，而在/ nJ2，X/A隨增大而增大。AD彳l2.37某位移傳感器固有頻率為4.75Hz，阻尼比 =0.65。試估計所能測量的最低頻率，設(shè)要求誤差W 1 %,<2 %。2.38 位移傳感器的固有頻為率 2Hz，無阻尼，用以

23、測量頻率為8Hz的阻尼比 =0.50 。用其測量簡諧振動，測得振幅為0.132cm。問實際振幅是多少？誤差為多少？2.39一振動記錄儀的固有頻率為fn = 3.0Hz , 某物體的振動，物體的運動方程已知為x=2.05si n4t+1.0s in8t (cm)證明：振動記錄儀的振動z將為t-120 0)(cm)z = 1.03sin(4t-50 0)+1.15sin(82.40求單自由度無阻尼系統(tǒng)對圖所示激勵的響應(yīng)，設(shè)初始條件為零。解:h(t)h(tntsine n(tdt'sin d(t)h(t)mrsin dth(t2) msi nd(t)tX(t) 0dcos n(t)tFloors in n(ttX(t)0Fi(t)h(t)d駅cosnt)d(t )tt F2(t)h(t *1