2.1-偏導數(shù)ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法一、偏導數(shù)的定義及其計算法二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)三、小三、小 結結 復習一元函數(shù)導數(shù)的定義：復習一元函數(shù)導數(shù)的定義：,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記記為為處處的的導導數(shù)數(shù)在在點點數(shù)數(shù)并并稱稱這這個個極極限限為為函函處處可可導導在在點點則則稱稱函函數(shù)數(shù)時時的的極極限限存存在在之之比比當當與與如如果果得得增增量量取取相相應應地地函函數(shù)數(shù)時時仍仍在在該該鄰鄰域域內內點點處處取取得得增增量量在在當當自自變變量量有有定定義義的的某某個個鄰鄰域域內內在在點點設設

2、函函數(shù)數(shù)定義定義xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即一、偏導數(shù)的定義及其計算法一、偏導數(shù)的定義及其計算法（對（對x偏增量比的極限存在）偏增量比的極限存在）（對（對y偏增量比的極限存在）偏增量比的極限存在）偏導函數(shù)偏導函數(shù)偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 解解: xz;32yx yz.23yx 21yxx

3、z,82312 21yxyz.72213 把把y暫時看做常量暫時看做常量把把x暫時看做常量暫時看做常量例例2. 求求 的偏導數(shù)的偏導數(shù) . 2sin2zxy解解: xz yz2 sin2 ,xy22cos2 .xy把把y暫時看做常量暫時看做常量把把x暫時看做常量暫時看做常量證證: xz,1 yyx yz,lnxxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結論成立原結論成立例例4.4.求求222zyxr 的偏導數(shù)的偏導數(shù). .解：把解：把y和和z都看作常量，得都看作常量，得 xr,ryyr22222xxyzrx .rzzr由函數(shù)關于自變量的對稱性，得由函數(shù)關于自

4、變量的對稱性，得證證: VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 偏偏導導數(shù)數(shù)xu 是是一一個個整整體體記記號號，不不能能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求設設例例如如 2.有關偏導數(shù)的幾點說明：有關偏導數(shù)的幾點說明：12求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；定義求；解解:xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 0|0|0(0,0)limyyyfy、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系例例如如,函函數(shù)數(shù) 0, 0

5、0,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定義義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在但函數(shù)在(0,0)處并不連續(xù)處并不連續(xù).偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導一元函數(shù)中在某點可導 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，見上節(jié)例見上節(jié)例60)0 , 0()0 , 0( yxff000,00,0(0,0)limlim00;xxxfxffx000,00,0(0,0)limlim0 0.yyyfyffy在在0，0偏導數(shù)存在，偏導數(shù)存在，4、偏導數(shù)的幾何意義、偏導數(shù)的幾何意義如下圖如下圖偏導數(shù)的

6、幾何意義偏導數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設設yxfzyxfyxM ),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 純偏導純偏導混合偏導混合偏導二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx注意注意: : 此此處處,22xyzyxz

7、 但這一結論并不總成立但這一結論并不總成立. .解：解：,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 注意注意: : 此此處處22,uux yy x 但這一結論并不總成立但這一結論并不總成立. .問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的 條件才相等？條件才相等？即，二階混合偏導數(shù)在連續(xù)的條件下即，二階混合偏導數(shù)在連續(xù)的條件下與求導次序無關與求導次序無關. 02222 yuxu解解:22lnuxy221ln(),2xy,22yxxx

8、u ,22yxyyu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu 222,1zyxrru 滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程0222222 zuyuxu證證: xu21rrx31xr 22xu331()rr 53xxr52331rxr 例例9. 證明函數(shù)證明函數(shù)rxr 21222rxxxrxyz53xr31r 43.xrr利用對稱性，有利用對稱性，有,3152322ryryu 222222zuyuxu 2223513uxxrr5232231rzrzu 52223)(33rzyxr 0 23533rrr若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在點在點),(000yxP連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點在點),(000yxP的偏導數(shù)必定存在？的偏導數(shù)必定存在？思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不不存存在在.例如例如,00,00,0(0,0)limxxfxffx00,00,0(0,0)limyyfyffy2000limlim1.xxxxxx 2000limlim1.yxy