2.1-任意項級數(shù)ppt課件

1、9-3 任意項級數(shù)任意項級數(shù)1.1.正項級數(shù)的定義正項級數(shù)的定義: :2.2.正項級數(shù)的審斂法正項級數(shù)的審斂法10.nnnuu 如如果果級級數(shù)數(shù)中中各各項項均均有有(1)正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的充充要要條條件件(2)比較審斂法比較審斂法(不等式形式不等式形式)復復 習習(3)比較審斂法極限形式）比較審斂法極限形式）(4)比值審斂法比值審斂法(達朗貝爾達朗貝爾 判別法判別法)(5)根值審斂法根值審斂法 (柯西判別法柯西判別法) (0)nnukv nNk ，,limlvunnn 1limnnnuu limnnnu 一、交錯級數(shù)及其審斂法一、交錯級數(shù)及其審斂法 二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂

2、與條件收斂 第三節(jié)第三節(jié)任意項級數(shù)任意項級數(shù) 第九章 一、交錯級數(shù)及其審斂法一、交錯級數(shù)及其審斂法1.定義定義: 正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).)0( nu其其中中nnnu 1 1 ) 1( ， ) 1( 1 nnnu nnnu 1 1 ) 1( , 0lim nnu 1,su nr 1.nnru 4321uuuu 4321uuuu 11,2,3();nnuun 1u ，21lim.nnssu 21221limlim()nnnnnssu , s 1.nnru 2ns2ns.1 us 0 nnnuuuuuus21243212 nnnnuuuuuus21222321

3、2)()( ),(21 nnnuur,21 nnnuur)()()(21243212nnnuuuuuus , 0lim12 nnu, 01 nnuu111( 1).nnn 判判斷斷級級數(shù)數(shù)的的例例斂斂散散性性1 1111( 1),nnn 由由于于是是交交錯錯級級數(shù)數(shù)1nun ，且滿足且滿足(1)1nun 111nun ，(1,2,3,)n (2)limnnu 1lim0nn ，由萊布尼茲判別法知由萊布尼茲判別法知111( 1).nnn 級級數(shù)數(shù)收收斂斂1211( 1)nnn 1311( 1)nnn 12131( 1)nnn 111( 1).lnnnn 例例 判判斷斷級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性2

4、2111( 1),lnnnn 由由于于是是交交錯錯級級數(shù)數(shù)1,lnnun 1(1)lnnun 11ln(1)nnu ，1,nnuu 故故(1,2,3,)n (2)limnnu 1lim0lnnn ，111( 1),lnnnn 則則級級數(shù)數(shù)是是萊萊布布尼尼茲茲型型級級數(shù)數(shù).故故它它收收斂斂12121( 1).nnnn 解解.12)1(121是交錯級數(shù)是交錯級數(shù)由于由于 nnnn221nnun 且滿足且滿足012limlim2 nnunnn) 1( 0)12)(3 xxxxf（由由于于.)1 12)(2內(nèi)內(nèi)單單調調減減少少，在在所所以以 xxxf)(12 2nfnnun 所所以以由萊布尼茲判別法知

5、級數(shù)由萊布尼茲判別法知級數(shù) 收斂收斂. 12112)1(nnnn221( ) (1)xf xxx 設設), 3 , 2 , 1( )1(1 nunfn11ln( 1).nnnn 判判斷斷級級數(shù)數(shù)的的例例斂斂散散性性4 411ln( 1),nnnn 由由于于是是交交錯錯級級數(shù)數(shù)ln,nnun ln( ),xf xx 設設,x其其中中 為為連連續(xù)續(xù)自自變變量量3,x 且且21ln( ),xfxx 3x 當當時時， 1ln0,x ( )0,(3)fxx 即即( )3,)f x 即即在在上上單單調調遞遞減減, ,( ),nuf n 設設( )(1),f nf n (3,4,5,);n lnlimlim

6、nnnnun 又又1,nnuu 故故lnlimxxx 0;綜上所述綜上所述:11ln( 1),nnnn 級級數(shù)數(shù)是是萊萊布布尼尼茲茲型型級級數(shù)數(shù).故故它它收收斂斂.1)1(11的的斂斂散散性性判判斷斷級級數(shù)數(shù) nnnn解解1nnun .)法法故故不不能能用用萊萊布布尼尼茲茲審審斂斂 )( 11)1(lim)( 11)1(lim11為為奇奇數(shù)數(shù)為為偶偶數(shù)數(shù)nnnnnnnnnn不存在不存在1)1(lim1 nnnn.故故所所給給級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散, 011limlim( nnunnn1)1(lim1 nnnn1.1.萊布尼茨審斂法只適用于交錯級數(shù)萊布尼茨審斂法只適用于交錯級數(shù). .,11 nn如：如

7、：正項級數(shù)正項級數(shù)雖滿足萊布尼茨審斂法的雖滿足萊布尼茨審斂法的條件，條件， 但不收斂但不收斂.而而不能判別交錯級數(shù)的發(fā)散不能判別交錯級數(shù)的發(fā)散.3.滿足萊布尼茨審斂法的條件的級數(shù)，滿足萊布尼茨審斂法的條件的級數(shù)， 叫萊布尼叫萊布尼茨型級數(shù)茨型級數(shù).二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂1.定義定義: 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù). 1nnu 1nnu2.定義定義:假設假設收斂收斂, 則稱則稱為絕對收斂為絕對收斂; 1nnu 1nnu 1nnu假設假設發(fā)散發(fā)散,而而收斂收斂, 則稱則稱為條件收斂為條件收斂. 111) 1(:nnn如如 121

8、1) 1(:nnn如如正項級數(shù)正項級數(shù)收斂收斂發(fā)散發(fā)散 任意項級數(shù)任意項級數(shù)收斂收斂發(fā)散發(fā)散 .絕絕對對收收斂斂.條件收斂條件收斂 為條件收斂為條件收斂 . .為絕對收斂為絕對收斂.3.級數(shù)的絕對收斂與級數(shù)收斂的關系級數(shù)的絕對收斂與級數(shù)收斂的關系定理定理7 假設假設 1nnu收斂收斂 1nnu收斂收斂.即即 絕對收斂級數(shù)必收斂絕對收斂級數(shù)必收斂.，nnnuvu 2, 0 nv,nnvu 1nnv),2(11 nnnnnuvu 1nnu)(nnuu (), 2 , 1()(21 nuuvnnn，. 11收收斂斂收收斂斂即即 nnnnuu2. 反之不成立反之不成立.1.該定理的作用：該定理的作用：

9、說明：說明： 111) 1(:nnn如如3. 逆否命題成立逆否命題成立.1nnu 發(fā)散發(fā)散1 nnu 發(fā)散發(fā)散例例6. 判斷下列級數(shù)的斂散性判斷下列級數(shù)的斂散性 .2411sin(1);(2)( 1).nnnnnnne 解解: (1)而而411nn 收斂收斂 ,41sinnnn 收斂，收斂， 即絕對收斂即絕對收斂 ，故原級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂.lim n 21(1)nne 2nne211limnnen 11e21( 1)nnnne 收斂收斂,解解: (2)44sin1,nnn 1limnnnuu 即絕對收斂即絕對收斂 ，故原級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂.注意注意:1(1),nnu 級級數(shù)數(shù)收收斂斂1

10、nnu 可可斷斷定定收收斂斂，1,nnu 但但果果發(fā)發(fā)散散如如1nnu 不不能能斷斷定定發(fā)發(fā)散散，1(2),nnu 若若用用比比值值或或根根值值判判別別法法判判斷斷級級數(shù)數(shù)收收斂斂( (即即1 1) )1nnu 可可斷斷定定收收斂斂; ;若若用用比比值值審審斂斂法法計計算算1limnnnuu 1, lim1,nnnu 或或用用根根值值審審斂斂法法計計算算1 nnu 則則斷斷定定發(fā)發(fā)散散. .1, 這這是是因因為為時時 lim0nnu ，lim0nnu 從從而而，1nnu 發(fā)發(fā)散散. . 判判斷斷下下列列級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性, ,如如果果是是收收斂斂的的, ,指指出出是是例例7 7絕絕對對收

11、收斂斂還還是是條條件件收收斂斂. .11111112(1)( 1);(2)( 1);(3)( 1).221nnnnnnnnnnn 解解11(1)( 1)2nnnn 對對應應的的正正項項級級數(shù)數(shù)為為：11,2nnn 用用比比值值審審斂斂法法1limnnnuu 12(lim1) 2nnnnn 1lim12nnn 121, 111,2nnnnun 收收斂斂11( 1).2nnnn 則則絕絕對對收收斂斂11111(2)( 1)nnnnn 對對應應的的正正項項級級數(shù)數(shù)為為，11npn 是是發(fā)發(fā)散散的的 級級數(shù)數(shù) ，11111112(1)( 1);(2)( 1);(3)( 1).221nnnnnnnnnn

12、n 11111(2)( 1)nnnnn 對對應應的的正正項項級級數(shù)數(shù)為為，11npn 是是發(fā)發(fā)散散的的 級級數(shù)數(shù) ，1nun 11,1nun limnnu 且且1limnn 0,111( 1)nnn 則則是是萊萊布布尼尼茲茲型型級級數(shù)數(shù)，111( 1)nnn 則則是是條條件件收收斂斂. .11122(3)( 1)2121nnnnnnn 對對應應的的正正項項級級數(shù)數(shù)為為，221nnun ，limnnu 而而2l m21innn 221limxxx 0, 12( 1)0,21limnnnn 112( 1).21nnnn 則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散21nnn （1先考察先考察 的斂散性的斂散性1lim11

13、nnnn 由由于于limnn 21nnn 由比較法知由比較法知 是發(fā)散的是發(fā)散的.2( 1)(1) 1nnnn 例例8 判別下列級數(shù)判別下列級數(shù)的斂散性的斂散性,是絕對收斂還是條件收斂？是絕對收斂還是條件收斂？解解2111(2) ( 1)(1)2nnnnn 1limlim nnunnn又又. 0 又由于又由于)2(0 x,1)(單調遞減單調遞減故函數(shù)故函數(shù) xxxf,1 nnuu原級數(shù)收斂，是條件收斂原級數(shù)收斂，是條件收斂.1)( xxxf設設1 nnun2( 1)(1) 1nnnn 解解(2)(2)2111(2) ( 1)(1)2nnnnn 211lim(1)2nnnnn 12e11lim(

14、1)2nnn所以原級數(shù)發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散.11lim(1)2nnn nnn 2)1(2)1()1()( xxxxxxf211 lim( 1)(1)2nnnnnn 1nnu1,nnu ，lim1 nnnuu1 1(nnu 1nnu 1(nnunnuu1 ，0nu 1nnu 1nnu1 1 1nnulimnnnu （或或）小結小結一、交錯級數(shù)及其審斂法一、交錯級數(shù)及其審斂法1.定義定義: 正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). 1 1( 1)nnnu 1 1 ( 1)nnnu 11,2,3()nnuun lim0.nnu 1,nnu 1 1. .若若數(shù)數(shù)收收斂斂級級1nnu 則則稱稱級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂. .1,nnu 若若數(shù)數(shù)