2.1-利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分ppt課件

1、AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式）二重積分化為二次積分的公式）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(

2、AoD)(2r)(1rAoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式）二重積分化為二次積分的公式）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. Drdrd 二重積分化為二次積分的公式）二重積分化為二次積分的公式）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖).(0 rDoA)(r,2 0例例 1 1 寫寫出出積積分分 Ddxdyyxf),(的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域,11| ),(2

3、xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd例例 2 2 計(jì)算計(jì)算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原點(diǎn)，半徑為原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.解解在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 例例3 3 求求廣廣義義積積分分 02dxex.解解| ),(2221RyxyxD 2|

4、 ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),41 I,42 I故故當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),4 I即即 20)(2dxex4 ,所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(42

5、22220RRxRedxee 例例 4 4 計(jì)算計(jì)算dxdyyxD)(22 ，其，其 D為由圓為由圓yyx222 ，yyx422 及直線及直線yx3 0 ，03 xy 所圍成的平面閉區(qū)域所圍成的平面閉區(qū)域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy例例 5 5 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其中積分區(qū)域?yàn)槠渲蟹e分區(qū)域?yàn)?1| ),(22 yxyxD.解解由由對對稱稱性性，可可只只考考慮慮第第一一象象限限部部分分， 注注意意：被被積積函函數(shù)數(shù)也

6、也要要有有對對稱稱性性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D例例 6 6 求曲線求曲線 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積.解解根根據(jù)據(jù)對對稱稱性性有有 14DD 在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交點(diǎn)點(diǎn))6,( aA, 所所求求面面積積 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積

7、分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中注意使用對稱性）（在積分中注意使用對稱性）二、小結(jié)二、小結(jié) Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 交交換換積積分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考題思考題,cos022: arDoxy思考題解答思考題解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 一、一、 填空題填空題: :1 1、 將將 Ddxdyyxf),(, ,D為為xyx2

8、22 , ,表示為極坐表示為極坐標(biāo)形式的二次積分標(biāo)形式的二次積分, ,為為_._.2 2、 將將 Ddxdyyxf),(, ,D為為xy 10, ,10 x, ,表表示為極坐標(biāo)形式的二次積分為示為極坐標(biāo)形式的二次積分為_._.3 3、 將將 xxdyyxfdx32220)(化為極坐標(biāo)形式的二化為極坐標(biāo)形式的二次積分為次積分為_._.4 4、 將將 2010),(xdyyxfdx化為極坐標(biāo)形式的二次積分化為極坐標(biāo)形式的二次積分為為_._.練練 習(xí)習(xí) 題題5 5、 將將 xxdyyxdx221)(2210化為極坐標(biāo)形式的二次積化為極坐標(biāo)形式的二次積分為分為_,_,其值為其值為_._.二、二、 計(jì)算

9、下列二重積分計(jì)算下列二重積分: : 1 1、 Ddyx )1ln(22, ,其中其中D是由圓周是由圓周122 yx 及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域. . 2 2、 Ddyx )(22其中其中D是由直線是由直線xy , , )0(3, aayayaxy所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域. . 3 3、 DdyxR 222, ,其中其中D是由圓周是由圓周 Rxyx 22所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域. . 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .三三、試試將將對對極極坐坐標(biāo)標(biāo)的的二二次次積積分分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交交

10、換換積積分分次次序序. .四四、設(shè)設(shè)平平面面薄薄片片所所占占的的閉閉區(qū)區(qū)域域D是是由由螺螺線線 2 r上上一一段段 弧弧( (20 ) )與與直直線線2 所所圍圍成成, ,它它的的面面密密度度為為22),(yxyx , ,求求這這薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量. .五五、 計(jì)計(jì)算算以以xoy面面上上的的圓圓周周axyx 22圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域?yàn)闉榈椎?，而而以以曲曲面?2yxz 為為頂頂?shù)牡那旐斨w體的的體體積積. .一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、 sec2034)(rdrrfd；4 4、 sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、 2cossin0401rdrrd, ,1