31第31講一元微積分應(yīng)用(四)

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫：劉楚中教案制作：劉楚中 第六章 一元微積分的應(yīng)用本章學(xué)習(xí)要求：熟練掌握求函數(shù)的極值、最大最小值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)的凸凹性以及求函數(shù)拐點(diǎn)的方法。能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性證明不等式。掌握建立與導(dǎo)數(shù)和微分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。能熟練求解相關(guān)變化率和最大、最小值的應(yīng)用問題。知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計(jì)算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。掌握建立與定積分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。熟練掌握“微分元素法”，能熟練運(yùn)用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧

2、長、變力作功、液體的壓力等。能利用定積分定義式計(jì)算一些極限。第六章 一元微積分的應(yīng)用第四、五、六節(jié) 面積、體積、弧長一、平面圖形的面積三、平行截面面積為已知的幾何體的體積二、旋轉(zhuǎn)體的體積四、弧長及其計(jì)算方法五、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 )( 或稱為積分元素法法數(shù)學(xué)建模中的微分元素 , 當(dāng)把非均勻變化的問題實(shí)際中在物理、幾何以及工程 , ,則通積達(dá)形式能表示為某兩個(gè)量的乘看作是均勻變化時(shí) . 分問題來處理?？蓪栴}歸結(jié)為定積 . 具有對區(qū)間的可加性要求量運(yùn)用定積分處理問題時(shí)a 取極限”求和近似“分劃 ,局利用整體上變化的量在局部問題的步驟將整體問題化成 , ,替“變”在局部上以“不變”代關(guān)系部上近似于不變

3、的辯證 , 采用按照定積分的概念 . , )( 111iiiniiiniixxxfaa便有關(guān)系式 , ,個(gè)將具有代表性的第略去下標(biāo)為簡便和醒目起見ii , , d , , 1且取稱之為典型小區(qū)間表示為小區(qū)間xxxxxii , 則有為區(qū)間的左端點(diǎn) xi . d)(xxfa , )( d)( 記為或積分元素的微分元素為量通常稱axxf . d)(dxxfa ( 0d , 相當(dāng)于取極限過程對區(qū)間的可加性由量xa , d , 0)|上“無限累加”起來在區(qū)間將微分元素baax , )(上的值：在區(qū)間就得到量即作定積分baa . d)(d babaxxfaa . ,加解為微分元素的無限累我們在這里將定積分

4、理簡言之 : ,具有可加性要求所計(jì)算的量在應(yīng)用微分元素法時(shí)a , , 個(gè)子區(qū)間上部總等于它在該區(qū)間的各量上即在區(qū)間aba . 的和分量a : 的步驟如下求量 a ; d , , ) 1 (xxxba中任取一小區(qū)間在區(qū)間 , )2(記為近似值在小區(qū)間上的部分量的求出aa )d)(d ( d)(xxfaxxfa微分元素為 , )3(上的值在區(qū)間計(jì)算定積分求出量baa . d)(d babaxxfaa1直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積)(xfy )(xgy ax bx . , )( ),( 積所圍成的平面圖形的面及求由連續(xù)曲線bxaxxgyxfyoxyab )( , , , 為面積元素則微分元素任取bax

5、xxxxxadxxgxfad| )()(| d , 所求面積為于是baxxgxfa d | )()(| oxy)(xfy )(xgy ax bx ab 積的計(jì)算公式為所圍成的平面圖形的面bxaxxgyxfy , )( ),( 及求由連續(xù)曲線)( . d | )()(| baxxgxfabadycyyxyx , )( ),( 及求由連續(xù)曲線 積的計(jì)算公式為所圍成的平面圖形的面)( . d | )()(| dcyyyadc ,類似地例1解解 . 2 2積所圍成的平面圖形的面與直線求曲線yxxyoxy2xy 2 yx21ab ) 1 (求積分區(qū)間 聯(lián)立方程組 2xy 2 yx . ) 1 , 1 (

6、 ),4 , 2( :ba 求得交點(diǎn) . d)2(d )2(2xxxa微分元素 )3(計(jì)算面積 . 2 14 322d)2(1 2321 2 2xxxxxxa . 1 , 2 x積分區(qū)間例1解解 . 2 2積所圍成的平面圖形的面與直線求曲線yxxyoxy2xy 2 yx21ab ) 1 (求積分區(qū)間 聯(lián)立方程組 2xy 2 yx . ) 1 , 1 ( ),4 , 2( :ba 求得交點(diǎn) . d)2(d )2(2xxxa微分元素 )3(計(jì)算面積 . 2 14 322d)2(1 2321 2 2xxxxxxa例1解解 . 2 2積所圍成的平面圖形的面與直線求曲線yxxyoxy2xy 2 yx21

7、ab ) 1 (求積分區(qū)間 聯(lián)立方程組 2xy 2 yx . ) 1 , 1 ( ),4 , 2( :ba 求得交點(diǎn) . d)2(d )2(2xxxa微分元素 )3(計(jì)算面積 . 2 14 322d)2(1 2321 2 2xxxxxxa有何想法?例2解解 . 2 , , 2所圍平面圖形的面積直線求曲線xyxyxyoxyxy2xy 2xy : ) 1 (求積分區(qū)間 )2(微分元素 )3(計(jì)算面積 聯(lián)立方程組 2xy xy 2xy 2xy xy 2xy . )0 , 0( ),4 , 2( ), 1 , 1 ( oba求得交點(diǎn)為ab12 . 2 0,2 1,1 0, 積分區(qū)間為 ; dd)2(d

8、 , 1 , 0 xxxxxa中在 . d)2(d , 2 , 1 2xxxa中在 . 6 7d)2(d)2(2 1 21 0 xxxxxxa例3解解. 4 2 2積所圍成的平面圖形的面與直線求曲線xyxyoxyxy224 xyab ) 1 (求積分區(qū)間 聯(lián)立方程組xy224 xy . )4 , 8( , )2 , 2( ba求得交點(diǎn)為 : 由圖可以看出 . 為積分變量好為積分變量比選擇選擇xy )2(求微分元素. d)21)4(d2yyya )3(計(jì)算面積 . 18d)21)4(4 2 2yyya . 4 , 2 y積分區(qū)間為2參數(shù)方程形式下平面圖形的面積 :出如果曲線由參數(shù)方程給 . ,

9、)( , )(ttytx .處理即可積公式按定積分換元法則將直角坐標(biāo)系下的面 . )( )( 件滿足定積分換元法的條和此時(shí)要求函數(shù)tt例4解解 .積所圍成的平面圖形的面 20 ,sin ,cos 33ttaytax求星形線oxya223 , 只需求出由對稱性 , 1然第一象限中的面積 a . 4 即可后乘以 ) 1 (積分區(qū)間 . 02 : , 0 :tax時(shí) )2(微分元素 . dcossin3)cosd(sind |d242331tttatataxya )3(所求面積0 2 242 0 1d)cossin3(4d | 44tttaxyaaa. 8 3dsin)sin1 (1222 0 42

10、2attta t例5解解 )cos1 ( ),sin( 的第一拱求由擺線tayttax . )20(積所圍成的平面圖形的面與橫軸 xtoxya2a ) 1 (求積分區(qū)間 .20 : , 20 :tax時(shí) )2(求微分元素 d | dxya )sin(d()cos1 (ttata .d)cos1 (22tta )3(計(jì)算面積2 0 222 0 d)cos1 (d|ttaxyaa .3d)coscos21 (22 0 22attta t3極坐標(biāo)系中平面圖形的面積oxd , )( rrr及射線求由曲線 )( 所圍成的平面圖r , ,為積分變量取形的面積時(shí) . , 剩下的問則積分區(qū)間為 .積分值題是求

11、微分元素和計(jì)算)(rr , ,d , 在該小區(qū)間上任取一個(gè)小區(qū)間 d , )( 的圓扇形的面積近中心角為可以用半徑為rr , , 面積元素為從而形的面積似代替其上的窄曲邊扇 )( . d)( 2 1d2微分元素ra )( , )( rrrr及射線求由曲線 積的計(jì)算公式為所圍成的平面圖形的面 .d)( 2 1d 2 raa .中曲邊扇形的面積公式該公式也稱為極坐標(biāo)系例6解解 . 2sin 積所圍成的平面圖形的面求曲線ar oxy . 4 , ,11aaa則積計(jì)算出第一象限中的面由對稱性 . 2 , 0 ) 1 (積分區(qū)間微分元素 )2( . d)2sin(21d21aa )3(計(jì)算面積 d)2s

12、in(21442 0 21aaa . 2d2 4cos1 222 0 2aa例7解解 cos1 cos3 所圍成的與心形線求圓rr .平面圖形的面積ox3cos3rcos1r .2 , ,11aaa則求出上半部分的面積由對稱性 ) 1 (聯(lián)立方程組求積分區(qū)間cos3rcos1r 2 1cos3 ,cos1 , 30 r曲邊為時(shí)當(dāng) )2(微分元素 .d)cos1 (21d21a ,cos3 ,2 3 r曲邊為時(shí)當(dāng) .d)cos3(21d21a )3(計(jì)算面積12aa 2 3 23 0 2d)cos3(21d)cos1 (2123 0 d)22cos1cos21 (2 3 d2)2cos1 (9

13、4 5 ox)(1rr )(2rr a如何計(jì)算? .d| )()(|21d2221rra. d| )()(|21 2221rra 一軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的將平面圖形繞平面上某 . , 該軸稱為旋轉(zhuǎn)軸幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體 . , 間的可加性旋轉(zhuǎn)體的體積具有對區(qū)上在區(qū)間i :旋轉(zhuǎn)體的特點(diǎn)旋轉(zhuǎn)體的特點(diǎn) , 截旋轉(zhuǎn)體所得的的平面任何一個(gè)垂直于旋轉(zhuǎn)軸 . 圖形均為圓截口oxy1abab)(xfy xxx )(在區(qū)間計(jì)算連續(xù)曲線xfy 軸所圍成的平面圖形以及 xbx 轉(zhuǎn)體的軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋繞 x .體積 , ,axabba與直線上的一段弧 . ,bax . 0 , , xbax , 得到如圖所示的軸的平面分別

14、作垂直于和點(diǎn)過點(diǎn)xxxx , ).( )( ,可以用很小時(shí)當(dāng)和其半徑分別為兩個(gè)圓xxxfxf , )( 似旋轉(zhuǎn)為高的圓柱體的體積近以為半徑的圓為底以xxf .)( : , 22xxfxyvxxx上的體積體在 :積分區(qū)間 :微分元素oxy1abab)(xfy xxx )(在區(qū)間計(jì)算連續(xù)曲線xfy 軸所圍成的平面圖形以及 xbx 轉(zhuǎn)體的軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋繞 x .體積 , ,axabba與直線上的一段弧 . ,bax :積分區(qū)間 :微分元素 .dd2xyv .d)(d2xxfv :計(jì)算體積 d bavv .d 2baxy2 , )( 上的一段弧在區(qū)間計(jì)算連續(xù)曲線dcyx . 轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周

15、所產(chǎn)生的旋繞 x , 軸所圍成的平面圖形以及與直線ydycyab :類似于上面的作法可得 . ,dcy :積分區(qū)間 :微分元素 .dd2yxv .d)(d2yyv :計(jì)算體積 d bavv .d 2baxy例8解解 , 1 2222軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的繞軸繞求橢圓yxbyax .旋轉(zhuǎn)體的體積oxyaabb )( ) 1 (只需用上半橢圓軸旋轉(zhuǎn)繞 x . ,aax :積分區(qū)間 :微分元素 dd2xyv . 3 4d)( d2 2222 abxxaabvvaaaa .d)(2222xxaab :計(jì)算體積 )( )2(只需用右半橢圓軸旋轉(zhuǎn)繞 y . ,aax :積分區(qū)間 :微分元素 dd2yxv .

16、3 4d)( d2 2222 bayybbavvbbbb .d)(2222yybba :計(jì)算體積oxyaabboxy22xyxy 11mx例9解解 2 2軸所以及與拋物線求圓弧yxyxy , 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋繞軸圍成的平面圖形繞yx .轉(zhuǎn)體的體積 ) 1 (軸旋轉(zhuǎn)繞 x :積分區(qū)間 :微分元素 d)()2(dd2222xxxxyv .67d)2( d 21 0 aaxxxvv :計(jì)算體積 .之差可視為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積xy 22xy) 1 , 1 ( m交點(diǎn) .1 , 0 x圓環(huán)的面積oxy22xyxy 11m ) 2 (軸旋轉(zhuǎn)繞 y :積分區(qū)間 :微分元素 .dd)(dd42221yyyyy

17、xv d d2 1 21 0 121vvvvv :計(jì)算體積 . 2 , 1 1 , 0y , 1 0, 上在區(qū)間 .d)2(dd222yyyxv , 2 1, 上在區(qū)間 .15 22220 d)2(d 2 1 21 0 4yyyy ?有其它的計(jì)算方法嗎oxy22xyxy 1m ) 2 (軸旋轉(zhuǎn)繞 y , 0 ,1 , 0 ,xx如圖所示xxx , 小矩形生成軸旋轉(zhuǎn)時(shí)平面圖形繞 y , 故微分的空心圓柱體一個(gè)壁厚為 x 元素為 .d)2(2d2xxxxv 周長 高 厚 .1522220d)2(2d 1 0 21 0 xxxxvv 于是例10解解 )2(0 )cos1 ( ),sin( ttayt

18、tax的第一拱求擺線 . 轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋繞 xoxya2a ,式這是曲線的參數(shù)方程形 .法處理我們可以按照積分換元 ,d 2baxyv由 ),cos1 ( ),sin( 且則令tayttax ,20 :ax .20 :t d 2 0 2axyv故 d)cos1 ()cos1 (2 0 22ttata .5d)cos1 (32 0 33atta展開回想一下旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算公式 的創(chuàng)建過程. oxyabab)(xfy x )(在區(qū)間計(jì)算連續(xù)曲線xfy 軸所圍成的平面圖形以及 xbx 轉(zhuǎn)體的軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋繞 x .體積 , ,axabba與直線上的一段弧 . ,bax :積分區(qū)間

19、 :微分元素 .dd2xyv :計(jì)算體積 d bavv )(2xsy . 軸的截平面上的面積垂直于 x d bavv d)( baxxs有何想法? ).( xsxa軸的平面所截得的面積被垂直于設(shè)幾何體oxyabx )(xs , ), ,()( 上的體積為位于區(qū)間則幾何體若baabacxs .d)( baxxsv 微分元素 d)(xxs例11解解 , ,的線段為頂以平行且等于該圓直徑求以圓為底 . 的正劈錐的體積高為 hoxyhxaayh| y| y . | ) |2(21)(22xahhyhyxs222ayx . |22xay例11解解 , ,的線段為頂以平行且等于該圓直徑求以圓為底 . 的正

20、劈錐的體積高為 hoxyhxaay :積分區(qū)間 :微分元素 :計(jì)算體積 . ,aax .dd22xxahvaaxxahv 22d cos ax 令 .21dsin 2 0 22ahah正劈錐的體積等于同底、同高的圓柱體體積的一半. )( ,所量得的長度但不能拉長把弧拉直后有人說 . , 簡稱為弧長就是弧的長度？1 平面曲線弧長的定義oxyabbmmmmann , ,1100m1m1nmnm1imima1x1ixix1nxb , 任意取分點(diǎn)上在弧 ab : 個(gè)小段弧分成將nab ). , 2 , 1 ( 1nimmii )., 2 , 1 ( :1從而得到弦依次連接相鄰兩分點(diǎn)成nimmii ,

21、該折線的長度為一條折線 , |111niiiniimms .max | . | 111iniiiiiiissmmmms記的長度為弦其中 . 的長度極限值為曲線 ab , , lim 10|是可求長的則稱曲線存在若極限absniis在則曲線若一般說來 )( ), ,()( ,1xfybacxf . , 上是可求長的區(qū)間ba . , 光滑曲線是可求長的也就是說2 式平面曲線弧長的計(jì)算公 , , , )( 分別其端點(diǎn)為光滑曲線設(shè)babaxxfy , 則該曲線弧的長度為和對應(yīng)于bxax . d1 2baxys : , tba進(jìn)行分化任意對 110bxxxxann )., 2 , 1( , : 1nix

22、xnii個(gè)小區(qū)間得到 )., 2 , 1( :1nixxxiii每個(gè)小區(qū)間長度 : , , 1為相應(yīng)當(dāng)弦的長度上在iiilxx1ixix)(xfy 1imimil . )()()(2121iiiiixfxfxxl ), ,()( 1由微分中值定理得因?yàn)閎acxf ), ,( )(1 12iiiiiixxxfl ,為所對應(yīng)的整個(gè)折線長度到從從而ba ). ,( 1112iiiniiixx x )(f l , )(1 ,max | 21的長度為得的可積性則由記abxfxxini )(1 lim120|niiixxfs .d)(1 2baxxf1ixix)(xfy 1imimil ), ,( )(1

23、 12iiiiiixxxfl , 求弧長的由上面的推導(dǎo)可知 :微分元素為 ,iils .d)(1 d2xxfs : , 所以我們必須規(guī)定是非負(fù)數(shù)由于弧長 s .量的增加方向一致弧長的增加方向與自變則或者是極坐標(biāo)形式式如果曲線是參數(shù)方程形 , , . )( 的表達(dá)式方法求出可以利用參數(shù)方程求導(dǎo)xf 的方程為設(shè)曲線 l )(ty )(tx ,的起終lt . tt和點(diǎn)別對應(yīng)于 0,)()( ), ,()( ),( 221ttctt且若函數(shù) .d)()( 22ttts , 其弧長為是可求長的則曲線 l)()(tty . )( : rrl的方程為極坐標(biāo)形式設(shè)曲線 , ), ,()( 1其弧長為是可求長的

24、則曲線若函數(shù)lcr . d)()( 22rrs : )( 可化為參數(shù)形式方程rr cos)(rx sin)(ry 例12解解 ,中的鋼筋形狀為拋物線建筑中所使用的魚腹梁 0).( ,2axay可將其方程表示為適當(dāng)選取坐標(biāo)后 ). ( , 見圖之間的鋼筋長度求在bboxybb2xay d)(1 22bbxxas d)2(1 2bbxax d)2(1 2 0 2bxax ).41 2ln(2141 2222baabababmatlab 或者用可查積分表例13解解 ).( sin ,cos abtbytax設(shè)橢圓方程為 .求計(jì)算橢圓全長的公式 . ,弧長只需計(jì)算第一象限中的由橢圓的對稱性 d)sin

25、()cos( 42 0 22ttbtas dcossin 42 0 2222ttbta dcos)cos1 ( 42 0 2222ttbta dcos1 42 0 2222ttaba .dcos1 42 0 22ttka)( 222橢圓離心率abak橢圓積分該積分稱為 橢圓積分表解析性質(zhì)冪級數(shù)，利用冪級數(shù)的可以將被積函數(shù)展開為 . 求橢圓積分的近似值432 8642 5311 642 311 4211 2111 xxxxx) 11 (x ), 20 ( 1cos0 , 10 從而故由于xx cos! ! 211cos1 2222xx2 0 222 0 22d)cos211 ( 4 dcos1

26、4 ttattas于是)411 (22a例14解解 . )0 ,2(0 )cos1 ( 的整個(gè)弧長求心形線aar d)()( 0 22rrs d)sin()cos1 ( 0 222aa d)cos1 (2 0 2a d 2cos4 0 22a d2cosd2cos22 0 a . 8a例15解解 )cos1 ( ),sin( 的第一拱的長為求分?jǐn)[線tayttax . 3:1的點(diǎn)的坐標(biāo) 擺線的第一拱全長為 dsin)cos1 (2 0 22tttas .8d2sin22 0 atta ,24 , 0 , 00asttt上曲線的長度為則在設(shè)分點(diǎn)的坐標(biāo)對應(yīng)于0 0 d2sin22 tttaa即有 .

27、 ) 2cos1 (40ta .32 ,212cos 00tt由此得 .23 ), 2332 ( 00ayax故分點(diǎn)的坐標(biāo)為3 弧微分oxyab)(xfy abxc ), ,()( 1則光滑設(shè)函數(shù)bacxf )( 的弧長為曲線xfy .d)(1 2baxxfs , ,( 所對應(yīng)到點(diǎn)則點(diǎn)xabax .d)(1 )( 2xattfxs , 有由積分上限函數(shù)的性質(zhì). )(1 d)(1 ddd)(d2 2tfttfxxxsxa 的長度為的弧 ac , )( 的增加方向一致時(shí)的增加方向與自變量當(dāng)弧長xxs , d )(d 則有同號與 xxs .d1 d2xys .ddd 222yxs及 . ) ,( )( d處的弧微分在點(diǎn)稱為曲線yxxfysbabaxyss 2 d1 d