第七章空間解析幾何習(xí)題課

1、向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何 第七章習(xí)題課 一一 基本要求基本要求1.理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示2.掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標(biāo)表達式以及用坐標(biāo)表達式進行向量運算的方法3.掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積），4.了解兩個向量垂直、平行的條件5.掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會利用平面、直線的相互關(guān)系，解決有關(guān)問題6.理解曲面方程的概念，了解常見二次曲面的方程及其圖形。7.了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程8.了解空間曲線方程的概念了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影二二 要點提示要點提示向量代

2、數(shù)：向量代數(shù)：222zyxaaaa一、向量及其坐標(biāo)一、向量及其坐標(biāo)1.向量向量 模zyxaaaa,222222222cos,cos,cosyxzxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaa2 方向余弦方向余弦u0cos ,cos,cosaaa3 單位向量單位向量kji,基本單位向量基本單位向量222222arccosarccosxxyyzzxyzxyza ba ba ba ba baaabbb4 兩向量的夾角兩向量的夾角 prjcos,abba bba在 上的投影5 向量的投影向量的投影 1;2 cos0,0 ;3pr jpr j;40.aba baa aaba ba babbaaba b 二、

3、二、 向量的運算向量的運算1 線性運算線性運算,xyzaaaaaa數(shù)乘數(shù)乘cosxxyyzza ba ba ba ba b2 內(nèi)積內(nèi)積:加加(減減):,xxyyzzabab ab ab sinaba b模, ,a b ab方向按成右手系.ab是 一 向 量 ：3.外積外積xyzxyzijka baaabbb 1;abba （2）以）以 為鄰邊的平行四邊形面積為鄰邊的平行四邊形面積, a bsab(3) 與與 同時垂直的向量可取作同時垂直的向量可取作, a bnab兩非零向量平行、垂直的等價條件：兩非零向量平行、垂直的等價條件： 0yxzxyzbbba bbaa baaa00 xxyyzzaba

4、 ba ba ba b 空間解析幾何空間解析幾何： 一、一、平面方程平面方程 設(shè)已知設(shè)已知 法向量法向量點法式點法式一般式一般式截距式截距式0000,mxyz, ,na b c0000zzcyybxxa0dczbyax1czbyax二、直線的方程二、直線的方程 設(shè)已知設(shè)已知 方向向量方向向量 對稱式對稱式 參數(shù)式參數(shù)式 一般式一般式, ,sm n p0000,mxyzpzznyymxx000.,000ptzzntyymtxx. 0, 022221111dzcybxadzcybxa 直線與平面的夾角直線與平面的夾角 平面的法向量平面的法向量 直線的方向向量直線的方向向量sincos, s nam

5、bncps n , ,na b c, ,sm n p20三、曲面三、曲面 二次曲面二次曲面 球面，橢球面，拋物面，雙曲面，圓錐面球面，橢球面，拋物面，雙曲面，圓錐面 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面 柱面柱面 方程中缺少變量，準(zhǔn)線和母線方程中缺少變量，準(zhǔn)線和母線0,0,22zyxfzzyf旋轉(zhuǎn)面軸繞曲線四、空間曲線四、空間曲線一般式方程：兩曲面的交線一般式方程：兩曲面的交線參數(shù)方程：參數(shù)方程： 空間曲線的投影柱面及在坐標(biāo)面上的投影空間曲線的投影柱面及在坐標(biāo)面上的投影 空間曲線空間曲線 投影柱面投影柱面 投影曲線投影曲線 幾個曲面圍成的立體的圖形，立體在坐標(biāo)面上幾個曲面圍成的立體的圖形，立體在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域的投

6、影區(qū)域 tzztyytxx0,0,zyxgzyxf三三 思考與課內(nèi)練習(xí)思考與課內(nèi)練習(xí)1.與各坐標(biāo)軸正向夾角都相等的向量有多少個？方向角是什么？與各坐標(biāo)軸正向夾角都相等的向量有多少個？方向角是什么？2.設(shè)設(shè) 都是單位向量，且都是單位向量，且 能得到能得到 嗎？嗎？ , a b,1,cab a b1c 3.如何求同時垂直如何求同時垂直 的單位向量？的單位向量？2, 1,1 ,1,2, 1ab4.三個坐標(biāo)面的法向量、三個坐標(biāo)軸的切向量是什么？三個坐標(biāo)面的法向量、三個坐標(biāo)軸的切向量是什么？兩個方向，無窮多個向量；兩個方向，無窮多個向量；3arccos3不能得到不能得到,ccabec ;.;.xoyyo

7、zxozxyznk ni njsi sj sk 6.空間中下列方程表示什么空間中下列方程表示什么？5.適合下列條件的平面方程有什么特征？適合下列條件的平面方程有什么特征？ （1）過原點）過原點; （2）平行于坐標(biāo)軸）平行于坐標(biāo)軸;（3）過坐標(biāo)軸）過坐標(biāo)軸; （4）平行于坐標(biāo)面）平行于坐標(biāo)面. 22210;xyz 2229;xy 2222232;4.xyzxyz0d 0byczdx 軸0 xbycz過 軸：123;xc yc zc原點原點母線平行于母線平行于z軸的圓柱面軸的圓柱面開口向上的橢圓拋物面開口向上的橢圓拋物面圓錐面圓錐面四四 典型題目典型題目01sp pds例例1設(shè)設(shè) 為空間中平行于向

8、量為空間中平行于向量 的直線，的直線， 是是 外一點，外一點， 是是 上一點，求證上一點，求證 到到 的距離為的距離為ls1plll0p1ps0p1pdl000111001101sinsin,sin,dpppppp sppspp sppsss解解例例2 已知向量已知向量 的模為的模為8，且已知它與，且已知它與x軸和軸和y軸正向的軸正向的夾角均為夾角均為 ，求，求 的坐標(biāo)表達式的坐標(biāo)表達式oa oa 30cos ,cos,cosoa 解解：設(shè)與：設(shè)與 同向的單位向量為同向的單位向量為oa 1coscoscos32其中其中221cos1 coscos2 又又01 1188,4,4, 4 22 22

9、oaoa 于是于是例例3 求下列各平面方程求下列各平面方程（1）平行于）平行于x軸且經(jīng)過兩點軸且經(jīng)過兩點(4,0,-2),(5,1,7)；（2）通過點）通過點m(1,-1,1)且垂直于兩平面且垂直于兩平面 （3）在）在x軸上的截距為軸上的截距為2，且過點，且過點(0,-1,0)和和(2,1,3)1:10 xyz 2:210 xyz 920yz230 xyz36260 xyz例4 分別求適合下列條件的直線方程：（1）通過點(1,0,-3)且與平面 垂直；（2）通過點(1,0,-2)且與平面 平行，又與直線 垂直；（3）通過點(0,-1,1)且與直線 平行34100 xyz3460 xyz3214

10、1xyz20:2xyzlxy13341xyz12212xyz11111xyz例例5 利用平面束方程解題：利用平面束方程解題： 通過兩平面通過兩平面的交線，且通過點的交線，且通過點(1,8,2)的平面方程的平面方程 . 20 xyz350 xyz解解 設(shè)過交線的平面束方程為設(shè)過交線的平面束方程為 2350 xyzxyz因平面過點因平面過點(1,8,2) ，代入平面束方程，得，代入平面束方程，得 54 故所求方程為故所求方程為 11170 xyz例例6下列方程或方程組表示什么圖形？下列方程或方程組表示什么圖形？ 2212xyz 2222240 xyzx 22331xyyx 2222224xyzzxy旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面 中心在（中心在（2,0,0)的橢球面的橢球面平行的二條直線平行的二條直線 球面與上半圓錐的交線球面與上半圓錐的交線 例例7 求單葉雙曲面求單