正弦定理與余弦定理的應(yīng)用(精)[1]

1、1.1.2 正、余弦定理在實際生活中的應(yīng)用Sine law, law of cosines in practical life utilization 課前回顧課前回顧（1）三角形常用公式：）三角形常用公式：（2）正弦定理應(yīng)用范圍：）正弦定理應(yīng)用范圍： 已知已知兩角和任意邊兩角和任意邊，求其他兩邊和一角，求其他兩邊和一角 已知已知兩邊和其中一邊的對角兩邊和其中一邊的對角，求另一邊，求另一邊的對角。的對角。(注意解的情況注意解的情況)正弦定理：正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R（3）、余弦定理）、余弦定理：三角形任何一邊的平

2、方等于其三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。的兩倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222cbcaBa2cos222 abcbaC2cos222（4）、余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題：）、余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題：（1）已知三邊求三個角；）已知三邊求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。教學(xué)目標(biāo)1，通過實例，使學(xué)生認(rèn)識到運(yùn)用正弦定理、余弦，通過實例，使學(xué)生認(rèn)

3、識到運(yùn)用正弦定理、余弦定理可以解決一些測量和幾何計算有關(guān)的實際問定理可以解決一些測量和幾何計算有關(guān)的實際問題，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。題，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。2，通過學(xué)習(xí)，學(xué)生能合理的選擇正弦定理、余，通過學(xué)習(xí)，學(xué)生能合理的選擇正弦定理、余弦定理進(jìn)行運(yùn)算。弦定理進(jìn)行運(yùn)算。學(xué)習(xí)要求1,通過教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的建模能力。通過教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的建模能力。2，通過測量與幾何運(yùn)算，體現(xiàn)三角知識的重要性。，通過測量與幾何運(yùn)算，體現(xiàn)三角知識的重要性。了解有關(guān)測量術(shù)語了解有關(guān)測量術(shù)語:a.仰角和俯角仰角和俯角是指與目標(biāo)視線在同一垂直平是指與目標(biāo)視線在同一垂直平面內(nèi)的水平視線的夾角面內(nèi)的水平視線的

4、夾角.其中目標(biāo)視線在水平其中目標(biāo)視線在水平視線的目標(biāo)視線上方時叫仰角視線的目標(biāo)視線上方時叫仰角,目標(biāo)視線在水目標(biāo)視線在水平視線的下方的時叫俯角平視線的下方的時叫俯角.b.方向角方向角是指從指定方向線到目標(biāo)方向線的是指從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角水平角,如北偏東如北偏東300,南偏西南偏西450.c.方位角方位角是指從正北方向是順時針旋轉(zhuǎn)到目是指從正北方向是順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角標(biāo)方向線的水平角.d.坡度坡度是坡面與水平面所成的角的度數(shù)是坡面與水平面所成的角的度數(shù).下面是幾個測量距離問題實例一1,如圖如圖,設(shè)設(shè)A,B兩點在河的兩岸兩點在河的兩岸.需要測量需要測量A,B兩點兩點間的距離

5、間的距離,測量者在測量者在A的同側(cè)河岸邊選定一點的同側(cè)河岸邊選定一點C.測測出出AC=55米米,，.求求A,B兩點間的距離兩點間的距離.75ACBBCA BAC=45,例、如圖，為了測量河對岸兩點、之間例、如圖，為了測量河對岸兩點、之間的距離，在河岸這邊取點，測得的距離，在河岸這邊取點，測得ADC=85, BDC=60, ACD=47, BCD=72,CD=100m.設(shè)，在同一個平設(shè)，在同一個平面內(nèi)，試求，之間的距離（精確到面內(nèi)，試求，之間的距離（精確到m）解：在解：在中，中， ADC85, ACD=47, 則則 D=4，又，又100，由正弦定理，得：，由正弦定理，得：)(05.13448si

6、n85sin100sinsinmDACADCDCAC在在中，中， BDC=60, BCD=72,則則DC=又又100，由正弦定理，得由正弦定理，得)(54.11648sin60sin100sinsinmDBCBDCDCBC在在中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得ACBBCACBCACABcos2222222134.05 116.54cos253233.95134.05 116.54所以所以（m）.答：，兩點之間的距離約為答：，兩點之間的距離約為m.如圖如圖,隔河看兩目標(biāo)隔河看兩目標(biāo)A、B，但不能到達(dá)，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距在岸邊選取相距 千米的千米的C、D兩點，并測兩點，并測得得ACB=7

7、5ACB=750 0,BCD=45,BCD=450 0,ADC=30,ADC=300 0，ADBADB=45=450 0(A(A、B B、C C、D D在同一平面在同一平面) )，求兩目標(biāo)，求兩目標(biāo)ABAB之間的距離。之間的距離。3ABCD學(xué)生練習(xí)一學(xué)生練習(xí)一一海輪以一海輪以20n mile/h的速度向正東航行的速度向正東航行,它在它在A點測得燈塔點測得燈塔P在船的北在船的北600東東,2個小時個小時后船到達(dá)后船到達(dá)B點時點時,測得燈塔在船的北測得燈塔在船的北450東東,求求(1)船在船在B點時與燈塔點時與燈塔P的距離的距離.(2)已知以已知以P為圓心為圓心,55n mile的半徑的圓形水的半

8、徑的圓形水域內(nèi)有暗礁域內(nèi)有暗礁,那么船工繼續(xù)向正東航行那么船工繼續(xù)向正東航行,有無有無觸礁的危險觸礁的危險.學(xué)生練習(xí)二學(xué)生練習(xí)二 練習(xí)三練習(xí)三某貨輪在某貨輪在A處看燈塔處看燈塔S在北偏東方向在北偏東方向.它它以每小時以每小時36海里的速度向正北方向航行海里的速度向正北方向航行,經(jīng)過經(jīng)過40分鐘航行到分鐘航行到B處看燈塔處看燈塔S在北偏東在北偏東方向方向.求此時貨輪到燈塔求此時貨輪到燈塔S的距離的距離.307516.97米練習(xí)四練習(xí)四12ABAB10 201202如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向向勻速直線航行。當(dāng)甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西105 方向的處，此

9、時兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)處時，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？30 2海里如圖，貨輪在海上以如圖，貨輪在海上以40n mile/h的速度由的速度由B向向C航行，航行的方位角航行，航行的方位角140 ，在，在B處測處測得得A處有燈塔，其方位角處有燈塔，其方位角110 ，在，在C處觀處觀察燈塔察燈塔A的方位角的方位角35 ，由，由B到到C需需0.5h航航行，求行，求C到燈塔到燈塔A的距離。的距離。210610213202)13(20232420322034008002AC練習(xí)五練習(xí)五某人在高出海面某人在高出海面600m的山上的山

10、上P處，測處，測得海面上的航標(biāo)得海面上的航標(biāo)A在正東，俯角為在正東，俯角為30 ，航標(biāo)，航標(biāo)B在南偏東在南偏東60 ，俯角為，俯角為45 ，求這兩個航標(biāo)間的距離。，求這兩個航標(biāo)間的距離。WNES4530PCBA練習(xí)六練習(xí)六（1）準(zhǔn)確地理解題意；）準(zhǔn)確地理解題意；（2）正確地作出圖形；）正確地作出圖形；（3）把已知和要求的量盡量集中在有關(guān)三）把已知和要求的量盡量集中在有關(guān)三角形中，利用正弦定理和余弦定理有順角形中，利用正弦定理和余弦定理有順序地解這些三角形；序地解這些三角形；（）再根據(jù)實際意義和精確度的要求給出（）再根據(jù)實際意義和精確度的要求給出答案答案解三角形應(yīng)用題的一般步驟：解三角形應(yīng)用題的

11、一般步驟：測量距離的方法：測量距離的方法：測量兩點間距離測量兩點間距離把距離看成三把距離看成三角形的邊角形的邊利用正余定理利用正余定理進(jìn)行進(jìn)行求解求解實際實際問題問題解三解三角形角形問題問題二、關(guān)于測量的問題二、關(guān)于測量的問題高度高度練習(xí)練習(xí)1、如圖，要測底部不能到達(dá)的煙囪的高、如圖，要測底部不能到達(dá)的煙囪的高AB，從與煙囪底，從與煙囪底部在同一水平直線上的部在同一水平直線上的C、D兩處，測得煙囪的仰角分別是兩處，測得煙囪的仰角分別是和 45 60，CD間的距離是間的距離是12m.已知測角儀器已知測角儀器高高1.5m,求煙囪的高。求煙囪的高。圖中給出了怎樣的一個圖中給出了怎樣的一個幾何圖形？已

12、知什么，幾何圖形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想實例講解實例講解實例講解實例講解AA1BCDC1D1分析：分析：如圖，因為如圖，因為AB=AA1+A1B，又，又已知已知AA1=1.5m,所以只要求出所以只要求出A1B即可。即可。解：解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184 .2836182211BCBA)(9 .295 . 14 .2811mAABAAB答：煙囪的高為答：煙囪的高為 29.9m.例例5:一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到一輛汽車在一條水平的公路

13、上向正東行駛，到A處時處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南在東偏南15的方向上，行駛的方向上，行駛5km后到達(dá)后到達(dá)B處，測得此山頂在東偏南處，測得此山頂在東偏南25的方向上，仰的方向上，仰角角8，求此山的高度，求此山的高度CD.分析：要測出高分析：要測出高CD,只要測出高所在的直角三角形的另一條只要測出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長。根據(jù)已知條件，可以計算出直角邊或斜邊的長。根據(jù)已知條件，可以計算出BC的長。的長。解：在解：在ABC中，中，C=25-15=10.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5si

14、nsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度約為答：山的高度約為1047米。米。BDAC5km15258練習(xí)二 一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測得山頂D位于正東北方,且由A到B的圖中測得對山頂D的最大仰角為30 ,求山高例例4 在山頂鐵塔上在山頂鐵塔上B處測得地面上處測得地面上一點一點A的俯角的俯角5440，在塔底，在塔底C處測得處測得A處的俯角處的俯角501已知已知鐵塔鐵塔BC部分的高為部分的高為27.3m，求出山求出山高高CD(精確到精確到1m)分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)

15、該設(shè)分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計算出法計算出AB或或AC的的長長解：在解：在ABC中，中，BCA=90+, ABC=90- -, BAC=- -, BAD=.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，)90sin()sin(ABBC)(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度約為答：山的高度約為150米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，P15 練習(xí)2 2.測山上石油鉆井的井架測山上石油鉆井的井架BC的高，從山腳的高，從山腳A測測得

16、得AC=60m，塔頂，塔頂B的仰角的仰角a是是 45,已知山坡已知山坡的傾斜角的傾斜角 是是 30，求井架高，求井架高BC。三、下面是幾個測量角度問題例、如圖，某漁輪在航得中不幸遇險，發(fā)出例、如圖，某漁輪在航得中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該漁輪在方位角為漁輪在方位角為，距離為，距離為10n mile的的處，并測得漁輪正沿方位角為處，并測得漁輪正沿方位角為105 的方向，的方向，以以n mile/h的速度向小島靠攏我海軍艦艇的速度向小島靠攏我海軍艦艇立即以立即以n mile/h的速度前去營救求艦艇的速度前去營救求艦艇的航向和靠近漁輪所

17、需的時間（角度精確到的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到0.1 ,時間精確到時間精確到min）北北北北BC105方位角：方位角：指從正北方向指從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角的水平角北北北北BC105解：設(shè)艦艇收到信號后解：設(shè)艦艇收到信號后xh在處靠攏漁輪，則在處靠攏漁輪，則21x，x，又，又AC=10, ACB=45+(180105)=120.由余弦定理，得：由余弦定理，得：即,cos2222ACBBCACBCACAB2222 10 9 cos120(21 )(9 )10 xxx 化簡得：化簡得：0109362 xx解得：解得：x=（h）=40(min)(負(fù)值舍去）負(fù)值舍去）由正弦定理，得由正弦定理，得143321120sin9sinsinxxABACBBCBAC所以所以21.8，方位角為，方位角為45 +21.8 =66.8 答：艦艇應(yīng)沿著方位角答：艦艇應(yīng)沿著方位角66.8 的方向航行，的方向航行，經(jīng)過經(jīng)過min就可靠近漁輪就可靠近漁輪練習(xí)一練習(xí)一如圖如圖.當(dāng)甲船位于當(dāng)甲船位于A處時獲悉處時獲悉,在其正東方向相距在其正東方向相距20海里