圓融共生：數(shù)學(xué)思辨的應(yīng)然追求

1、圓融共生：數(shù)學(xué)思辨的應(yīng)然追求 連云港師專二附小 孟慶甲摘 要：思辨能力強(qiáng)弱是數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平高低的一個重要體現(xiàn)。擁有較強(qiáng)的思辨能力，成為信息時代對數(shù)學(xué)人才的強(qiáng)烈要求。本文基于現(xiàn)象學(xué)、數(shù)學(xué)教育心理學(xué)及教育哲學(xué)角度著重從“緣起：孱弱的思辨力讓學(xué)生成了扶不起的阿斗”、“調(diào)查：學(xué)生的思辨力為何如此孱弱和異化”、“反思：學(xué)生究竟需要怎樣的數(shù)學(xué)思辨”、“追問：數(shù)學(xué)思辨究竟該思辨些什么”及“踐行：如何達(dá)成圓融共生的數(shù)學(xué)思辨”等方面闡述如何在數(shù)學(xué)學(xué)科上、從數(shù)學(xué)的角度培養(yǎng)學(xué)生的思辨力。 關(guān)鍵詞：圓融共生 數(shù)學(xué)思辨 應(yīng)然追求一、緣起：孱弱的思辨力讓學(xué)生成了扶不起的“阿斗”思辨能力強(qiáng)弱是數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平高低的一個

2、重要體現(xiàn)。擁有較強(qiáng)的思辨能力成為信息時代對數(shù)學(xué)人才的強(qiáng)烈要求。我們的數(shù)學(xué)教育雖然有著良好的重視雙基訓(xùn)練的傳統(tǒng)，但學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨力究竟怎樣呢？案例：此“角”非彼“角”呀角的初步認(rèn)識當(dāng)學(xué)生初步掌握了角的概念后，教師拓展啟思師：同學(xué)們，你能例舉出生活中在哪些物體的表面見到過角嗎?生1：我知道，桌子角。生2：墻角。生3：板凳上的4個角（腳）。師：哪位同學(xué)能上來指一指你所說的角？幾個學(xué)生先后上來有的指著墻縫、地面與墻縫相匯的一點，有的指著桌子突出的尖尖的部分，還有一個甚至模棱兩可地指著板凳的4條腿。師：你們所說所指的這些是我們今天所學(xué)習(xí)的角嗎？學(xué)生片刻無語現(xiàn)實中例子還有很多，孱弱的思辨力讓學(xué)生成了扶不起

3、的“阿斗”：有些學(xué)生面對問題時缺乏最基本的思辨意識，竟不知“問題需要辨別、分析后才能作出恰當(dāng)?shù)呐袛唷?，甚至面對問題無動于衷，思“我”沒什么可思，辨“我”沒什么可辨；有些學(xué)生思維搖擺，沒有主見，以至于思不是“我”所思（他思即我思），辨不是“我”所辨（他辨即我辨）；有些學(xué)生面對問題時由于不會運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)理性語言將自己的思辨恰當(dāng)?shù)谋硎龀鰜?，因而常常邏輯不清、言語不明，從而思雖然“我”想思，但辨“我”不善辨；還有些學(xué)生面對問題時思來想去、無從辨起，甚至個別學(xué)生的別樣思辨是思亦詭思、辨亦詭辨。二、調(diào)查：學(xué)生的思辨力為何如此孱弱和異化面對學(xué)生令人沮喪的思辨表現(xiàn)，筆者不由的審思：學(xué)生的思辨力為何如此的孱弱和異

4、化？基于此，我作了相關(guān)的深入調(diào)查和分析，發(fā)現(xiàn)：無動于衷族無限依他族混沌迷失族手足無措族死扯眼球族思辨族表現(xiàn)內(nèi)向、膽怯、不自信長期受挫被冷落見解均是復(fù)制品、舶來品概念不透、問題不清知能與問題落差大喜愛炫耀、自作聰明具有正常思辨力百分比10%16%20%18%6%30%（一）無動于衷族基于內(nèi)在情感及心理的“習(xí)得性失助感”原因。調(diào)查發(fā)現(xiàn)無動于衷族約占調(diào)查總?cè)藬?shù)的10%左右。其中由于自身內(nèi)向、膽怯、不自信心理而啞口無言的占44%；由于長期受挫、壓抑、失敗甚至被教師和同學(xué)冷落、嘲諷而使得內(nèi)心憋屈、憤怒、麻木，不想思辨的占56%。（二）無限依他族基于惰性及依賴的原因。調(diào)查顯示無限依他族約占調(diào)查總?cè)藬?shù)的16

5、%左右。由于沒有真正、真實的自我思考，而盡是一些浮光掠影、隔靴搔癢的淺想或惰性的無限等待，因而所表述、所發(fā)表的見解和思路幾乎全是“復(fù)制品”、“舶來品”，從而導(dǎo)致思不我思，辨不我辨。（三）混沌迷失族基于概念理解及問題要求混沌方面的原因。調(diào)查顯示混沌迷失族約占調(diào)查總?cè)藬?shù)的20%左右。雖然圍繞數(shù)學(xué)問題也作了積極地思考和辨析，然而由于自身對概念的理解不透，核心知識的掌握不清，問題的要求不明，辨析能力的欠佳，從而導(dǎo)致所說、所講的雖多，但大多不著邊際，觸及不到問題的核心與實質(zhì)。（四）手足無措族基于知識及能力結(jié)構(gòu)不足。調(diào)查顯示手足無措族約占調(diào)查總?cè)藬?shù)的18%左右。有些學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時雖說也想深入的思辨，

6、但由于知識結(jié)構(gòu)及能力結(jié)構(gòu)不足，或者由于對數(shù)學(xué)問題缺乏必要的已有經(jīng)驗，從而致使自身和問題落差較大，不能很快搭起便捷的橋梁，因而思來思去，無從辨起。（五）“死扯眼球”族基于炫耀思維及自作聰明的原因。調(diào)查顯示“死扯眼球族”約占調(diào)查總?cè)藬?shù)的6%左右。有些學(xué)生自是聰明、眼高手低，為了吸引眼球，圍繞問題侃侃而論、夸夸其談，看似對問題了解頗深，但細(xì)細(xì)分析便會發(fā)現(xiàn)破綻百出，思亦詭思，辨亦詭辨。三、反思：學(xué)生究竟需要怎樣的數(shù)學(xué)思辨實踐證明：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要的是學(xué)會用數(shù)學(xué)的視野和眼光，從數(shù)學(xué)角度開展的數(shù)學(xué)思辨，更加追求圓融共生的數(shù)學(xué)思辨。那么何為“數(shù)學(xué)思辨”，我們所追求數(shù)學(xué)思辨的圓融共生包括哪些內(nèi)涵呢？ 數(shù)

7、學(xué)思辨它所指的是用數(shù)學(xué)的方法從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行的思考和辨析。數(shù)學(xué)思辨它是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，一種綜合的數(shù)學(xué)思維能力，它涉及數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思考、分析、辨別、推理、判斷、表述、交流等數(shù)學(xué)思維過程和活動。數(shù)學(xué)思辨是邏輯思維（主要用于解決問題）與非邏輯思維（主要用于發(fā)現(xiàn)問題）的有機(jī)統(tǒng)一。從表現(xiàn)方式上講，數(shù)學(xué)思辨主要分為隱性思辨和顯性思辨兩種方式。隱性思辨也就是學(xué)生內(nèi)在的思考、分析、推理和判斷，是一種內(nèi)隱的心理活動及思維活動。顯性思辨主要是學(xué)生運(yùn)用規(guī)范的學(xué)理性語言將內(nèi)心的隱性思辨顯性地呈現(xiàn)、表述出來，從而闡明觀點，交流思想，生成智慧。我們所追求思辨的圓融共生包括：數(shù)學(xué)思維上邏輯思維與非邏輯思維的圓融共生；數(shù)學(xué)課堂

8、上個體思辨與群體思辨的圓融共生；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)上自主思辨與他主思辨的圓融共生；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容上針對性思辨與拓展性思辨的圓融共生；數(shù)學(xué)思辨方式上隱性思辨與顯性思辨的圓融共生等等。四、追問：數(shù)學(xué)思辨究竟該思辨些什么我認(rèn)為，數(shù)學(xué)思辨應(yīng)該基于以下幾個方面的思辨：（一）基于問題的全局性、針對性思辨例如：本人在參加“江蘇省義務(wù)教育培訓(xùn)專家團(tuán)隊研修班”（2011.6徐州）學(xué)習(xí)中有幸執(zhí)教同課異構(gòu)觀摩課認(rèn)識小數(shù)（五上）時，在練習(xí)環(huán)節(jié)設(shè)計了這樣一道題：“9毫米用小數(shù)表示出來，你有幾種方法?”學(xué)生在極度興奮的探索過程中逐步思辨出：本題既包含了“9毫米分別等于零點幾厘米、等于零點零幾分米和零點零零幾米”這樣幾個極具針對性

9、的微觀問題，也蘊(yùn)含了“自己是怎樣理解小數(shù)”的這樣全局性宏觀問題。（二）基于觀點和答案的拓展性、批判性思辨對于同學(xué)的觀點和答案，要做到：1.判斷所提出和發(fā)表的“數(shù)學(xué)觀點”是否正確。2.思索“數(shù)學(xué)觀察性描述”是否具有可信度。3.辨析“數(shù)學(xué)表達(dá)”是否根據(jù)某一個數(shù)學(xué)原理、概念引申出來的。4.考量數(shù)學(xué)結(jié)論是否必要。5.分析數(shù)學(xué)推理是否含糊。6.質(zhì)疑“數(shù)學(xué)歸納性結(jié)論”是否有根據(jù)或來源。7.甄別所表述的是否只是一種數(shù)學(xué)假設(shè)。8.審思所下的數(shù)學(xué)定義是否適切等等。9.推斷多項“數(shù)學(xué)陳述”之間是否相互矛盾。（三）基于數(shù)學(xué)知識層面的認(rèn)知性、本質(zhì)性思辨例如上面角的初步認(rèn)識案例中所提到的“此角非彼角”的脆弱思辨現(xiàn)象，充

10、分說明學(xué)生將生活角與數(shù)學(xué)角混為一談，沒有真正抓住角的本質(zhì)特征，缺乏數(shù)學(xué)知識層面的認(rèn)知思辨能力。因而在后面教學(xué)中，我這樣引導(dǎo)學(xué)生思辨：首先在黑板上僅僅只是點一個點，詢問學(xué)生這是不是一個角？學(xué)生自然答不是；其次引領(lǐng)學(xué)生通過畫角、拼角等活動，讓學(xué)生本質(zhì)地思辨出數(shù)學(xué)上的角它必須是一個平面圖形，它應(yīng)該包括一個頂點和兩條邊，缺一不可。（四）基于數(shù)學(xué)方法策略的多元性、智慧性思辨數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不單單是掌握知識的過程，更是學(xué)生通過自己對數(shù)學(xué)問題的深入思考和辨析，總結(jié)出方法和策略的多元、智慧思辨過程。例如教學(xué)圓的認(rèn)識時，教師通過巧妙設(shè)計、層層引領(lǐng)，可使學(xué)生逐步從只用一支粉筆畫圓感知、思辨出“想要畫好一個圓，必須得借

11、助工具”；從借助硬幣、瓶蓋、帶有空心圓的三角板或直尺等工具畫圓體會、思辨出“我們可以用不同工具畫圓，但最常用的還是圓規(guī)?！?；從畫的不夠理想，不夠標(biāo)準(zhǔn)明晰、思辨出“用圓規(guī)畫圓時要注意：定長（確定半徑）、定點（確定位置）、旋轉(zhuǎn)一周（確定封閉曲線）”。五、踐行：如何達(dá)成圓融共生的數(shù)學(xué)思辨培養(yǎng)學(xué)生的思辨力必須抓住“思辨”訓(xùn)練這個根本。在訓(xùn)練過程中，既要促其內(nèi)“思”，更要導(dǎo)其外“辨”，還要教其圓“巧”，三者密切聯(lián)系，相輔相成，只有如此，才能真正達(dá)成圓融共生的數(shù)學(xué)思辨。 （一）“知”與“能”圓融共生：創(chuàng)鯰魚效應(yīng)，活思辨因子1.明晰數(shù)學(xué)核心概念數(shù)學(xué)思辨的法典依據(jù)凸顯思辨的深刻性“數(shù)學(xué)知識中最普遍的

12、形式是概念，所以概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心。數(shù)學(xué)實踐證明，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時出錯或產(chǎn)生困難，原因往往在于概念的了解上產(chǎn)生了障礙。因此，必須十分重視概念學(xué)習(xí)”（曹才翰等，1989）。只有掌握了數(shù)學(xué)核心概念，學(xué)生才能真正開展數(shù)學(xué)思辨，才能洞察本質(zhì)，由表及里，去偽存真，認(rèn)清數(shù)學(xué)問題的本來面目。例如，教學(xué)素數(shù)和合數(shù)，在思辨“所有的素數(shù)都是奇數(shù)嗎？所有的偶數(shù)都是合數(shù)嗎？”時，學(xué)生首先要分別明晰“什么叫素數(shù)；什么叫合數(shù)；什么叫奇數(shù)；什么叫偶數(shù)”，只有搞清楚這四個核心概念后，才能做出正確的判斷。2.厘清問題本質(zhì)要求數(shù)學(xué)思辨的核心保障聚焦思辨的縝密性為了厘清數(shù)學(xué)問題內(nèi)涵、本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律性，必須多視角、多側(cè)面、

13、多因素、多向度地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、辨析和論證，必須對可能出現(xiàn)的情況、可能起作用的因素、可能發(fā)生的后果逐一進(jìn)行考察和預(yù)測，然后經(jīng)過分析、綜合，依據(jù)對數(shù)學(xué)問題的主要矛盾和主要矛盾方面的基本判斷做出科學(xué)的抉擇或決策。例如，本人在支教期間中執(zhí)教示范課解決問題的策略（五上）在教學(xué)過程中通過操作、計算、填表、交流、驗證等活動，讓學(xué)生經(jīng)歷用列舉的策略解決簡單實際問題的過程，從而厘清了問題的本質(zhì)，并且深深懂得要想解決“有多少種不同的圍法”，必須有條理地一一列舉，做到不遺漏、不重復(fù)。3.領(lǐng)悟思辨策略思想數(shù)學(xué)思辨的終極追求關(guān)注思辨的靈活性在教學(xué)中，教師應(yīng)循序漸進(jìn)地引領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟并掌握數(shù)學(xué)思辨的方法策略，諸如：事實思辨、

14、類別思辨、對比思辨、分層思辨、層進(jìn)思辨、反面思辨及引申思辨等。只有如此，學(xué)生才真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思辨的真諦。例如：我在執(zhí)教市青藍(lán)課程公開課簡單周期現(xiàn)象中的規(guī)律時這樣引領(lǐng)：思辨問題（1）：觀察這些物體，它們排列有規(guī)律嗎？（目的：使學(xué)生初步觀察、尋找并感知這些物體的排列都是有規(guī)律的）思辨問題（2）：從左邊起，盆花是按什么順序擺放的？彩燈和彩旗呢？（目的：使學(xué)生由近及遠(yuǎn)分別清晰地觀察和找尋這三種物體的擺放規(guī)律）思辨問題（3）：這三種物體排列的規(guī)律有什么共同之處？（目的：使學(xué)生深入體會它們都是屬于一組一組依次重復(fù)出現(xiàn)的周期規(guī)律。）（二）“理”與“靈”圓融共生：構(gòu)學(xué)習(xí)場域，顯思辨魅力1.訓(xùn)練學(xué)理性語言追求數(shù)學(xué)

15、思辨的嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)范學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力往往體現(xiàn)在他善于選擇富有嚴(yán)謹(jǐn)和規(guī)范的學(xué)理性語言來展示他的數(shù)學(xué)觀點。數(shù)學(xué)學(xué)理性語言的表達(dá)形式與它的含義之間都有著確定的關(guān)系，詞序不同或一字之差就可能導(dǎo)致意義截然不同，如自然語言中“圍成”和“組成”是沒有明顯區(qū)別的，但在數(shù)學(xué)課堂中對“角”的定義表述是“由一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角”；對“三角形”的定義表述是“由三條線段圍成的圖形叫做三角形”。細(xì)細(xì)品味、思辨，我們便會發(fā)現(xiàn)：表述時通過“組成”和“圍成”這兩個規(guī)范的數(shù)學(xué)學(xué)理性語言的運(yùn)用，能夠本質(zhì)地區(qū)分出這兩個圖形一個是不封閉的平面圖形（角），另一個是封閉的平面圖形（三角形）。2.開展思辨性交流追求數(shù)學(xué)思辨的靈動

16、與智慧（1）互補(bǔ)式思辨取長補(bǔ)短、相互拓展。在思辨交流中，一方順承另一方的意思說，對一方所交流的思辨內(nèi)容進(jìn)行拓展性補(bǔ)充，深化另一方的思辨意思。例如：五年級圓的認(rèn)識片段師：剛才我們在黑板上畫了圓，在紙上畫了圓，又在空中畫了一個圓，這幾次畫圓，雖然地點變了，畫圓的工具也各不相同，但是它們是否存在相同處？ 請大家?guī)е@個問題小組內(nèi)互動思辨。生1：它們都要依靠一樣?xùn)|西。生2：它們都要先確定一個中心點，圍繞這個點旋轉(zhuǎn)。生3：它們都要旋轉(zhuǎn)一周，也就是要旋轉(zhuǎn)360度。師：這樣行嗎？（教師演示：圍繞緊靠小球的地方定點旋轉(zhuǎn)。）學(xué)生紛紛領(lǐng)悟，異口同聲：還要拉開一定的距離。師：現(xiàn)在誰來總結(jié)一下問題的答案？生：我們發(fā)現(xiàn)

17、無論用什么畫圓、在哪兒畫圓，它們都有三個共同的特點：第一，確定一個點；第二，確定一段距離；第三，旋轉(zhuǎn)一周。（2）正反式思辨左右兼顧、滴水不漏。在思辨交流中，一方對另一方的思辨表述方式及角度呈現(xiàn)一正一反，雙方從正反兩方面、兩個維度說，使思辨內(nèi)容左右兼顧、滴水不漏。例如：教學(xué)小數(shù)的性質(zhì)時，當(dāng)小數(shù)的性質(zhì)揭示后，出示：在學(xué)生回答后，教師可以進(jìn)一步引領(lǐng)：舉例說明0可以去掉及0不可以去掉的理由。從而激發(fā)學(xué)生不僅學(xué)會正面思辨：“17.000中的三個0都可以去掉，因為這三個0都是小數(shù)末尾的0，依據(jù)是小數(shù)的性質(zhì)小數(shù)的末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變”，而且學(xué)會了反面思辨：“如果將300個位和十位上的0去掉的話

18、，就變成3了，進(jìn)而改變了原來數(shù)的大小，因此整數(shù)部分?jǐn)?shù)位上的0不能去掉”。通過如此正反兩個方面的思辨，加深了學(xué)生對小數(shù)性質(zhì)的理解。（3）相映式思辨相錯交融、和諧一統(tǒng)。在思辨交流中，一方與另一方表述的各是一個觀點、一種發(fā)現(xiàn)，各自具有一個完整的意思和內(nèi)涵，而各方思辨內(nèi)容又能相互襯托，交相輝映，和諧地統(tǒng)一于一個題旨之中。例如:四年級下冊認(rèn)識平行四邊形一課，針對于“平行四邊形的邊有什么特點？”這一問題，有學(xué)生通過測量得出“上下兩條邊長度相等、左右兩條邊長度也相等”；有的同學(xué)則通過平移方法思辨道“平行四邊形上下兩條邊平行，左右兩條邊平行”；進(jìn)而引領(lǐng)學(xué)生思辨、概括出“平行四邊形兩組對邊分別平行且相等”。從中我們發(fā)現(xiàn)，測量和平移等實踐操作實質(zhì)上學(xué)生數(shù)學(xué)隱性思辨的具體外在表現(xiàn)，他們相映而至，和諧統(tǒng)一。（4）爭論式思辨百家爭鳴、齊贏共生。在思辨交流中，一方的發(fā)言是對另一方思辨觀點及內(nèi)容的批評和否定，提出了另一種完全不同的觀點，引發(fā)爭論。在進(jìn)行爭論式思辨時，要注意這樣幾點：首先，將問題理解，歸類；其次，找出該問題與自己觀點的矛盾之處；第三，從自己的觀點中找出更有深度的思想來反駁。第四，思辨時要相互尊重，在智慧碰撞中不斷吸收內(nèi)化，從而齊贏共生。例如：教