弧長(zhǎng)的公式、扇形面積公式及其應(yīng)用

1、【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：弧長(zhǎng)及扇形的面積圓錐的側(cè)面積 二. 教學(xué)要求1、了解弧長(zhǎng)計(jì)算公式及扇形面積計(jì)算公式，并會(huì)運(yùn)用公式解決具體問(wèn)題。2、了解圓錐的側(cè)面積公式，并會(huì)應(yīng)用公式解決問(wèn)題。 三. 重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：1、弧長(zhǎng)的公式、扇形面積公式及其應(yīng)用。2、圓錐的側(cè)面積展開(kāi)圖及圓錐的側(cè)面積、全面積的計(jì)算。難點(diǎn)：1、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式的推導(dǎo)。2、圓錐的側(cè)面積、全面積的計(jì)算。 知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C2R，所以1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式

2、：，說(shuō)明：（1）在弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R10，計(jì)算20°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l時(shí)，不要錯(cuò)寫(xiě)成。（2）在弧長(zhǎng)公式中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。 知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角是360°的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式是。又因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式：。&#

3、160;知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的?。ò踊?、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長(zhǎng)弦長(zhǎng)弧長(zhǎng)（3）弓形的面積如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和AOB的面積計(jì)算出來(lái)，就可以得到弓形AmB的面積。當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示，  當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，例：如圖所示，O的半徑為2，ABC45°，則圖中陰影部分的面積是 （        ）（結(jié)果用表示）分析：

4、由圖可知由圓周角定理可知ABCAOC，所以AOC2ABC90°，所以O(shè)AC是直角三角形，所以，所以注意：（1）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。 圓周長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積 知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說(shuō)明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的

5、關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積知識(shí)小結(jié)：圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過(guò)程 由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如RtSOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖的特征扇形矩形面積計(jì)算方法 【典型例題】例1. （2003.遼寧）如圖所示，在同心圓中，兩圓的半徑分別為2，1，AOB120°，則陰影部分的面積是（  &#

6、160;  ）A.        B.         C.         D. 分析：陰影部分所在的兩個(gè)扇形的圓心角為，所以故答案為：B. 例2. （2004·陜西）如圖所示，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，連接AC，BC，AB10厘米，tanBAC，求陰影部分的面積。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：（1）直徑所對(duì)圓周角為90°，（2

7、）解直角三角形的知識(shí)（3）組合圖形面積的計(jì)算。解：因?yàn)锳B為直徑，所以ACB90°， 在RtABC中，AB10， tanBAC，而tanBAC設(shè)BC3k，AC4k，（k不為0，且為正數(shù)）由勾股定理得所以BC6，AC8，而所以 例3. （2003.福州）如圖所示，已知扇形AOB的圓心角為直角，正方形OCDE內(nèi)接于扇形AOB，點(diǎn)C，E，D分別在OA，OB及AB弧上，過(guò)點(diǎn)A作AFED交ED的延長(zhǎng)線于F，垂足為F，如果正方形的邊長(zhǎng)為1，那么陰影部分的面積為（    ）分析：連接OD，由正方形性質(zhì)可知EODDOC45°，在RtOED中，OD，因

8、為正方形的邊長(zhǎng)為1，所以O(shè)EDE1，所以，設(shè)兩部分陰影的面積中的一部分為M，另一部分為N，則，陰影部分面積可求，但這種方法較麻煩，用割補(bǔ)法解此題較為簡(jiǎn)單，設(shè)一部分空白面積為P，因?yàn)锽ODDOC，所以所以MP，所以答案：。 例4. 如圖所示，直角梯形ABCD中，B90°，ADBC，AB2，BC7，AD3，以BC為軸把直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積。分析：將直角梯形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是由相同底面的圓柱和圓錐組成的，所得幾何體的表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和底面積三者之和。解：作DHBC于H，所以DHAB2CHBCBHBCAD734在CDH中

9、，所以 例5. （2003.寧波）已知扇形的圓心角為120°，面積為300平方厘米（1）求扇形的弧長(zhǎng)。（2）若把此扇形卷成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的軸截面面積是多少？分析：（1）由扇形面積公式，可得扇形半徑R，扇形的弧長(zhǎng)可由弧長(zhǎng)公式求得。（2）由此扇形卷成的圓錐如圖所示，這個(gè)圓錐的軸截面為等腰三角形ABC，（1）問(wèn)中求得的弧長(zhǎng)是這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)，而圓周長(zhǎng)公式為C2r，底面圓半徑r即CD的長(zhǎng)可求，圓錐的高AD可在RtADC中求得，所以可求。解：（1）設(shè)扇形的半徑為R，由，得，解得R30.所以扇形的弧長(zhǎng)（厘米）。（2）如圖所示，在等腰三角形ABC中，ABACR30，BC2r，底

10、面圓周長(zhǎng)C2r，因?yàn)榈酌鎴A周長(zhǎng)即為扇形的弧長(zhǎng)，所以在RtADC中，高AD所以軸截面面積（平方厘米）。 【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一、選擇題1. 若一個(gè)扇形的圓心角是45°，面積為2，則這個(gè)扇形的半徑是（     ）A. 4     B. 2  C. 47     D. 22. 扇形的圓心角是60°，則扇形的面積是所在圖面積的（       ）  &#

11、160; A.        B.       C.         D. 3. 扇形的面積等于其半徑的平方，則扇形的圓心角是（    ）    A. 90°      B.   C.      D.

12、180°4. 兩同心圓的圓心是O，大圓的半徑是以O(shè)A，OB分別交小圓于點(diǎn)M， N已知大圓半徑是小圓半徑的3倍，則扇形OAB的面積是扇形OMN的面積的（    ）A. 2倍    B. 3倍    C. 6倍       D. 9倍5. 半圓O的直徑為6cm，BAC30°，則陰影部分的面積是（    ）     A.    B. 

13、   C.     D.6 用一個(gè)半徑長(zhǎng)為 6cm 的半圓圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則此圓錐的底面半徑為（    ）A. 2cm         B. 3cm            C. 4cm           D. 6c

14、m7. 圓錐的全面積和側(cè)面積之比是3 ：2，這個(gè)圓錐的軸截面的頂角是（ ）A. 30°          B. 60°             C. 90°            D. 120°8. 已知兩個(gè)母線相等的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰好能

15、拼成一個(gè)圓，且它們的側(cè)面積之比為12，則它們的高之比為（     ）    A. 2：1      B. 3：2          C. 2：      D. 5：9. 如圖，在ABC中，C Rt，AC > BC，若以AC為底面圓半徑，BC為高的圓錐的側(cè)面積為S1，以BC為底面圓半徑，AC為高的圓錐的側(cè)面積為S2，則（ &

16、#160;  ）A. S1S2    B. S1 > S2    C. S1 < S2   D. S1、S2的大小關(guān)系不確定 二、填空題1. 扇形的弧長(zhǎng)是12cm，其圓心角是90°，則扇形的半徑是          cm ，扇形的面積是          cm2.2. 扇形的半徑是一個(gè)圓的半徑的3

17、倍，且扇形面積等于圓面積，則扇形的圓心角是      .3. 已知扇形面積是12cm2，半徑為8cm，則扇形周長(zhǎng)為        .4 在ABC中，AB3，AC4，A90°，把RtABC繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，其全面積為S1；把RtABC繞AB旋轉(zhuǎn)一周得到另一個(gè)圓錐，其全面積為S2，則S1： S2      。5. 一個(gè)圓柱形容器的底面直徑為2cm，要用一塊圓心角為240°的扇形鐵板做一個(gè)圓錐形的蓋

18、子，做成的蓋子要能蓋住圓柱形容器，這個(gè)扇形的半徑至少要有        cm。6. 如圖，扇形AOB的圓心角為60°，半徑為6cm，C，D分別是的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積是        。7. 如圖正方形的邊長(zhǎng)為2，分別以正方形的兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心，以2為半徑畫(huà)弧，則陰影部分面積為        。         三、計(jì)算題1. 如圖，在RtABC中，ACBC ，以A為圓心畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，若圖中兩個(gè)陰影部分的面積相等，求AC與AF的長(zhǎng)度之比（取3）。2. 一個(gè)等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱）的側(cè)面積是S1，另一個(gè)圓錐的側(cè)面積是S2，如果圓錐和圓柱等底等高，求3. 圓錐的底面半徑是R，母線長(zhǎng)是3