截面的幾何性質(zhì)

1、附錄 截面的幾何性質(zhì)§I1 截面的靜矩和形心位置dACzyyyCzCO圖I1z如圖I1所示平面圖形代表一任意截面，以下兩積分 （I1）分別定義為該截面對(duì)于z軸和y軸的靜矩。靜矩可用來(lái)確定截面的形心位置。由靜力學(xué)中確定物體重心的公式可得利用公式（I1），上式可寫成 （I2）或 （I3） （I4）如果一個(gè)平面圖形是由若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的組合圖形，則由靜矩的定義可知，整個(gè)圖形對(duì)某一坐標(biāo)軸的靜矩應(yīng)該等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的靜矩的代數(shù)和。即： （I5）式中Ai、yci和zci分別表示某一組成部分的面積和其形心坐標(biāo)，n為簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。將式（I5）代入式（I4），得到組合圖形形心坐標(biāo)的計(jì)算公

2、式為 （I6）yC0.12m0.4myy0.6m0.2mOyzCCC例題I1圖例題I1 圖a所示為對(duì)稱T型截面，求該截面的形心位置。解：建立直角坐標(biāo)系z(mì)Oy，其中y為截面的對(duì)稱軸。因圖形相對(duì)于y軸對(duì)稱，其形心一定在該對(duì)稱軸上，因此zC=0，只需計(jì)算yC值。將截面分成、兩個(gè)矩形，則A=0.072m2，A=0.08m2y=0.46m，y=0.2m §I2 慣性矩、慣性積和極慣性矩dAyyO圖I2zz如圖I2所示平面圖形代表一任意截面，在圖形平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系z(mì)Oy?，F(xiàn)在圖形內(nèi)取微面積dA，dA的形心在坐標(biāo)系z(mì)Oy中的坐標(biāo)為y和z，到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為。現(xiàn)定義y2dA和z2dA為微面積dA

3、對(duì)z軸和y軸的慣性矩，2dA為微面積dA對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩，而以下三個(gè)積分 （I7）分別定義為該截面對(duì)于z軸和y軸的慣性矩以及對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩。由圖（I2）可見，所以有 （I8）即任意截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的兩任意正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。另外，微面積dA與它到兩軸距離的乘積zydA稱為微面積dA對(duì)y、z軸的慣性積，而積分 （I9）定義為該截面對(duì)于y、z軸的慣性積。從上述定義可見，同一截面對(duì)于不同坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積一般是不同的。慣性矩的數(shù)值恒為正值，而慣性積則可能為正，可能為負(fù)，也可能等于零。慣性矩和慣性積的常用單位是m4或mm4。zdACz1y1y1abO圖I3

4、z1yzy§I3 慣性矩、慣性積的平行移軸和轉(zhuǎn)軸公式一、慣性矩、慣性積的平行移軸公式圖I3所示為一任意截面，z、y為通過(guò)截面形心的一對(duì)正交軸，z1、y1為與z、y平行的坐標(biāo)軸，截面形心C在坐標(biāo)系z(mì)1O y1中的坐標(biāo)為（b，a），已知截面對(duì)z、y軸慣性矩和慣性積為Iz、Iy、Iyz，下面求截面對(duì)z1、y1軸慣性矩和慣性積Iz1、Iy1、Iy1z1。 （I10）同理可得 （I11）式（I10）、（I11）稱為慣性矩的平行移軸公式。下面求截面對(duì)y1、z1軸的慣性積。根據(jù)定義 由于z、y軸是截面的形心軸，所以Sz=Sy=0，即 （I12）式（I12）稱為慣性積的平行移軸公式。二、慣性矩、慣性

5、積的轉(zhuǎn)軸公式圖（I4）所示為一任意截面，z、y為過(guò)任一點(diǎn)O的一對(duì)正交軸，截面對(duì)z、y軸慣性矩Iz、Iy和慣性積Iyz已知?，F(xiàn)將z、y軸繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角（以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎┑玫搅硪粚?duì)正交軸z1、y1軸，下面求截面對(duì)z1、y1軸慣性矩和慣性積、。y1yz1zdAz1zyy1O圖I4 （I13）同理可得 （I14） （I15）式（I13）、（I14）稱為慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，式（I15）稱為慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。§I4 形心主軸和形心主慣性矩一、主慣性軸、主慣性矩由式（I15）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)=0o，即兩坐標(biāo)軸互相重合時(shí)，；當(dāng)=90o時(shí)，因此必定有這樣的一對(duì)坐標(biāo)軸，使截面對(duì)它的慣性積為零。通常把這樣的一對(duì)

6、坐標(biāo)軸稱為截面的主慣性軸，簡(jiǎn)稱主軸，截面對(duì)主軸的慣性矩叫做主慣性矩。假設(shè)將z、y軸繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)0角得到主軸z0、y0，由主軸的定義從而得 （I16）上式就是確定主軸的公式，式中負(fù)號(hào)放在分子上，為的是和下面兩式相符。這樣確定的0角就使得等于。由式（I16）及三角公式可得將此二式代入到式（I13）、（I14）便可得到截面對(duì)主軸z0、y0的主慣性矩 （I17）二、形心主軸、形心主慣性矩通過(guò)截面上的任何一點(diǎn)均可找到一對(duì)主軸。通過(guò)截面形心的主軸叫做形心主軸，截面對(duì)形心主軸的慣性矩叫做形心主慣性矩。例題I5 求例I1中截面的形心主慣性矩。解：在例題I1中已求出形心位置為，過(guò)形心的主軸z0、y0如圖所示，z0

7、軸到兩個(gè)矩形形心的距離分別為，截面對(duì)z0軸的慣性矩為兩個(gè)矩形對(duì)z0軸的慣性矩之和，即 截面對(duì)y0軸慣性矩為第六章 梁的應(yīng)力§61 梁的正應(yīng)力一、純彎曲與平面假設(shè)本節(jié)將推導(dǎo)梁彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。為了方便，我們先研究梁橫截面上只有彎矩的情況，這種情況稱為“純彎曲”。如圖61所示的梁，在如圖所示荷載作用下，中間CD段就屬于這種情況，由其剪力圖和彎矩圖可以看到，在CD段內(nèi)的彎矩M=Fa=常數(shù)，而剪力FS等于零。FS圖M圖alABaACD圖61(a)(b)(c)FFFFFa(b)圖62(a)mnpqmnpqFFCD我們先作如下的實(shí)驗(yàn)，觀察到如下的一些現(xiàn)象：（1）變形前，梁側(cè)面上與縱

8、向直線垂直的橫向線在變形后仍為直線，并且仍然與變形后的梁軸線（簡(jiǎn)稱撓曲線）保持垂直，但相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度。（2）變形前互相平行的縱向直線，變形后均變?yōu)閳A弧線，并且上部的縱線縮短，下部的縱線伸長(zhǎng)。在梁中一定有一層上的纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，此層稱為中性層。中性層與梁橫截面的交線稱為中性軸。根據(jù)這些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，我們對(duì)純彎曲情況下作出如下假設(shè)：1.平面假設(shè)：梁的橫截面在梁彎曲后仍然保持為平面，并且仍然與變形后的梁軸線保持垂直。圖63中性層b中性軸(b)abO1O2mnpq(a)dxmnpqdy(c)dxabO2O12.單向受力假設(shè)：梁的縱向纖維處于單向受力狀態(tài)，且縱向纖維之間的相互作用可忽略不計(jì)。二、正應(yīng)

9、力公式的推導(dǎo)1幾何方面相應(yīng)的縱向線應(yīng)變?yōu)?(61)式（61）表明：梁的縱向纖維的應(yīng)變與纖維距中性層的距離成正比，離中性層愈遠(yuǎn)，纖維的線應(yīng)變愈大。dA圖64yzOdAyzhb2物理方面在彈性范圍內(nèi)正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系為將式（61）代入，得 （62）3靜力學(xué)方面由圖64可以看出，梁橫截面上各微面積上的微內(nèi)力dFN=dA構(gòu)成了空間平行力系，它們向截面形心簡(jiǎn)化的結(jié)果應(yīng)為以下三個(gè)內(nèi)力分量，由截面法可求得該截面上只有彎矩M，即上式中FN，My均等于零，所以有 （d） （e） （f）由式（d）得因E、為常量，所以有 （g）即梁橫截面對(duì)中性軸（z軸）的靜矩等于零。由此可知，中性軸通過(guò)橫截面的形心，于是就確定了

10、中性軸的位置。由式（e）可得因此 （h）即梁橫截面對(duì)y、z軸的慣性積等于零，說(shuō)明y、z軸應(yīng)為橫截面的主軸，又y、z軸過(guò)橫截面的形心，所以其應(yīng)為橫截面的形心主軸。最后由式（f）可得即式中是梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。將上式整理可得 （63）由式（63）可知：曲率與彎矩M成正比，與EIz成反比。在相同彎矩下，EIz值越大，梁的彎曲變形就越小。EIz表明梁抵抗彎曲變形的能力，稱為梁的彎曲剛度。將式（63）代入式（62），可得 （64）這就是梁在純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力的計(jì)算公式。ACBFalbKyh/2h/2例題61圖z例題61長(zhǎng)為l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b=

11、0.12m，y=0.06m，a=2m，F(xiàn)=1.5kN，求C截面上K點(diǎn)的正應(yīng)力。解：先求出C截面上彎矩截面對(duì)中性軸的慣性矩將MC、Iz、y代入正應(yīng)力計(jì)算公式，則有K點(diǎn)的正應(yīng)力為正值，表明其應(yīng)為拉應(yīng)力。§62 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用一、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的位置，此時(shí)而對(duì)整個(gè)等截面梁來(lái)講，最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在彎矩最大的橫截面上，距中性軸最遠(yuǎn)的位置，即引用符號(hào)，則上式可改寫成 （65）式中的Wz叫做彎曲截面系數(shù)（或抗彎截面系數(shù)），它與梁的截面形狀和尺寸有關(guān)。對(duì)矩形截面對(duì)圓形截面正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 （66）二、三種強(qiáng)度問(wèn)題的計(jì)算根據(jù)式（66）可以求解與梁強(qiáng)度有關(guān)的三

12、種問(wèn)題。（1）強(qiáng)度校核（2）選擇截面 此時(shí)應(yīng)將式（106）改寫為（3）確定許用荷載 此時(shí)應(yīng)將式（106）改寫為(b) M圖qlBA(a)例題62圖bh例題62 圖a所示一矩形截面的簡(jiǎn)支木梁，已知l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，彎曲時(shí)木材的許用正應(yīng)力=10Mpa，校核該梁的強(qiáng)度。解：先畫梁的彎矩圖（圖b）。由梁的彎矩圖可以看出，梁中最大彎矩應(yīng)發(fā)生在跨中截面上，其值為彎曲截面系數(shù)為由于最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大彎矩所在截面上，所以有所以滿足正應(yīng)力強(qiáng)度要求。§63 梁橫截面上的切應(yīng)力·梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件一、矩形截面梁的切應(yīng)力矩形截面梁的切應(yīng)力公式的推導(dǎo)，采用

13、了下面的兩條假設(shè)：（1）橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力均與側(cè)邊平行。（2）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即距中性軸等距離各點(diǎn)的切應(yīng)力相等。aaFxAB圖65bhdxbb （68）式（68）即為矩形截面梁橫截面任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式。式中：FS為橫截面上的剪力；S z*為面積A1對(duì)中性軸的靜矩；Iz橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b為截面的寬度。圖67max(b)bhzyA1(a)y對(duì)于矩形截面梁，由圖67a可知 (e)將其代入式（68），可得 (f)此式表明矩形截面梁橫截面上切應(yīng)力沿梁高按二次拋物線形規(guī)律分布。在截面上、下邊緣（）處，=0，而在中性軸上（y=0）的切應(yīng)力有最大值，如圖107b。即 (g)例題65 一矩

14、形截面的簡(jiǎn)支梁如圖所示。已知：l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F(xiàn)=3kN，求m m截面上K點(diǎn)的切應(yīng)力。習(xí)題65圖Fl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*解：先求出m m截面上的剪力為3kN，截面對(duì)中性軸的慣性矩為面積A*對(duì)中性軸的靜矩為則K點(diǎn)的切應(yīng)力為二、工字形截面梁的切應(yīng)力1腹板上的切應(yīng)力式中：FS為橫截面上的剪力；Sz*為欲求應(yīng)力點(diǎn)到截面邊緣間的面積對(duì)中性軸的靜矩；Iz為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b1為腹板的厚度。圖68(b)(c)(a)切應(yīng)力沿腹板高度的分布規(guī)律如圖68a所示，仍是按拋物線規(guī)律分布，最大切應(yīng)力max仍發(fā)生在截面的中性軸上。2翼緣上的切應(yīng)

15、力翼緣上的水平切應(yīng)力可認(rèn)為沿翼緣厚度是均勻分布的，其計(jì)算公式仍與矩形截面的切應(yīng)力的形式相同，即式中FS為橫截面上的剪力；Sz*為欲求應(yīng)力點(diǎn)到翼緣邊緣間的面積對(duì)中性軸的靜矩；Iz橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；為翼緣的厚度。三、T字型截面梁的切應(yīng)力T字型截面可以看成是由兩個(gè)矩形組成，下面的狹長(zhǎng)矩形與工字形截面的腹板相似，該部分上的切應(yīng)力仍用下式計(jì)算：最大切應(yīng)力仍然發(fā)生在截面的中性軸上。四、圓形及環(huán)形截面梁的切應(yīng)力圓形及薄壁環(huán)形截面其最大豎向切應(yīng)力也都發(fā)生在中性軸上，并沿中性軸均勻分布，計(jì)算公式分別為圓形截面式中FS為橫截面上的剪力，A為圓形截面的面積。薄壁環(huán)型截面式中FS為橫截面上的剪力，A為薄壁環(huán)型截

16、面的面積。五、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件 （69）此式即為切應(yīng)力的強(qiáng)度條件。例題66 一外伸工字型鋼梁如圖a所示。工字鋼的型號(hào)為22a，已知：l=6m，F(xiàn)=30kN，q=6kN/m，材料的許用應(yīng)力=170MPa，=100MPa,試校核梁的強(qiáng)度。qA(a)BCFl/3Dl/2l/212kN17kN13kN(b) FS圖例題66圖39kN.m12kN.m(c) M圖解：（1）校核最大正應(yīng)力彎矩圖如圖c所示，最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大彎矩的截面上。查型鋼表可知?jiǎng)t最大正應(yīng)力（2）校核最大切應(yīng)力剪力圖如圖b所示，最大切應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大剪力的截面上。查型鋼表可知?jiǎng)t最大切應(yīng)力所以此梁安全。§64 梁的合理截面形狀及變截面梁一、梁的合理截面形式由梁的強(qiáng)度條件公式（66）可知,梁的抗彎能力直接取決于其彎曲截面系數(shù)Wz的大小。所以梁的合理截面形式就是截面面積相同的條件下具有較大的彎曲截面系數(shù)。Wz值與截面的高度及截面的面積分布有關(guān)。截面的高度愈大，面積分布得離中性軸愈遠(yuǎn)，Wz值就愈大；反之，截面的高度愈小，面積分