歐拉積分及其應(yīng)用

1、歐拉積分及其簡單應(yīng)用引言：我們知道無窮級數(shù)是構(gòu)造新函數(shù)的一種重要工具， 利用它我們可以構(gòu) 造出處處連續(xù)而處處不可微的函數(shù)， 還可以構(gòu)造出能填滿正方形的連續(xù)曲線 （參 見常庚哲、史濟(jì)懷著數(shù)學(xué)分析教程第三冊第 17章§ 17.8 ） 含參量積分是構(gòu)造新函數(shù)的另一重要工具， 歐拉積分就是在應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)的含 參量積分表示的函數(shù)。它雖身為含參量積分的一種特例， 被教科書編用于加深對 含參量積分所表示的函數(shù)的分析方法的理解。但本身也是許多積分的抽象概括， 能為相關(guān)積分的計算帶來方便。歐拉積分包括:伽馬（Gamm）函數(shù)：r （s）=s 1 x .cx e dx , s>0.貝塔（Beta）

2、函數(shù)：B（p, q）=10Xp1(1 x)q 1dx，p>0, q>0(2)F面我們分別討論這兩個函數(shù)的性質(zhì):、B函數(shù)Euler第一積分1、定義域:1B(P，q)= 0xp 1(1 x)q 1dxp1(1x)q 1dx + 1 x p1(1 x)q1dx= 11 +1221I1 = 02xp1(1x)q 1 dx1112xp 1dx =0dx其收斂須p>0對 l2= 1xp 1(12x)q1dx12 =11(12x)q1dx,令.1-x=t102tq1dx=2召dx其收斂須.q>0.0 t' q2、連續(xù)性B(p, q)定義域為 p>0,q>0.因為對

3、p。>0，q。>0 有 xp 1(1 x)q 1 < xp0 匕 x)q0 1 p> p。 ，q > q。而1x0W qv"，上一致收斂，因而推得 B(p，q)在p>0,q>0內(nèi)連續(xù)。3、對稱性 B(p，q)=B(p， q) 作變換x=1-y, 得1B(p，q)= oXp 七 x)q 1dx =4、遞推公式p0 1(1 x)q0 1dx收斂，故由魏爾斯特拉斯M判別法知B(p ,q)在p。W pv" ,q。0(1 y) p1yq1dy= B(q，p)B(p,q 1q)=B(p，q-1)(p>0,q>1) (1)P q 1B

4、(p,q)=B(p-1，q)(p>1,q>0).(2) p q 1B(p,q)= (P : 11)： 1 2)B(P-1，q-1)(P1"1)B(p , q)=B(p+1 , q)+ B(p , q+1)(p>-1,q>-1).(4)下面只證明(1); 可由對稱性及公式(1)推出；(3 )、 可由公式(1).、(2. 推得；當(dāng) P>0,q>1 時，有 B(p,q)=1 p 1 /X q 1 I 1X (1 X) dx = 0P01(1 x)q1dxpp 川 q 1=x (1x) |1|0Pp(1x)q 2dx=q 1p1x p10Lxp1(1x)(

5、1x)q2dx=q 1P0xp1(1x*1xp10(1 x)q1dx=q 1pB(p，q-1)-久B(p，q)P移項并整理得(1)5、B(p，q)的其他形式a,令 x= cos2t 則 B(p，q)=2 02sin2q 1 tcos2p 1tdt11特別的當(dāng) p=q=1, B(p，q) =B(丄，222)=0b.令x=1當(dāng) x:0 71 有 t :+0B(p,q)=tq 1t P 1r t P 1(?dt=0 F17dt = 0FVdt + 1tp1dt(1 t)pq考察tq(1 t)p q'dt,令 t=1,y則有tp1(1 t)p q dtdt.匚dt=1 (1 t)pq 0(1

6、t)pq屮1tq 1 B(p，q) = 0廠產(chǎn) dt二、r函數(shù)Euler第二積分1、定義域r (s)=Xs 1e XdX = Xs 1e XdX+ Xs 1e XdX = 11 + 120 0 1其中1I1 = 0 Xs 1e Xdx ,當(dāng)s > 1時是正常積分；當(dāng)Ovsv1時是收斂的無界函數(shù)反常積分(可用柯西判別法推得)12=4 Xs 1e Xdx,當(dāng)s>0時是收斂的無窮限反常積分(也可用柯西判別法推得) 所以，r函數(shù)在s>0時收斂，即定義域為s>0.2、連續(xù)性在任何閉區(qū)間a，b(a>0) 上,當(dāng) OvxW 1 時有 Xs 1e對 h s1 x由于Q Xa 1e

7、 XdX收斂，從而I1在a , b上一致收斂;對于12，當(dāng) K xv+x 時，有 XXs 1e xdx 收斂,從而12在a，b上也一致收斂，于是r(S)在s>0上連續(xù)3、可微性0 (Xs 1e x)dx= 0 Xs 1e xln xdx=(xs 1 ln x)e Xdx (利用狄利克雷判別法)它在任何閉區(qū)間a，b(a>0)上一致收斂.(s)在a，b上可導(dǎo).由a，b的任意性，r (s)在s>0上可導(dǎo)，且 r ' (s)= 0 xs 1e x In xdx s>0.依照上面的方法，還可推得r (s)(s)= 0 xs1ex(lnx)ndx.s>0.4、遞推公式

8、 r (s+1)=s r (s)證：分部積分法A ss x ,AA s1,s0xe dx= xe |0+s0x e dx= Ae設(shè)A-+x,就得到r (s)的遞推公式：r (s+1)=s r (s)設(shè)nvsw n+1，即卩Ovs nW 1，應(yīng)用遞推公式r (s-1)= .=s(s-1)(s-2)(s-n)s>0上存在任意階導(dǎo)數(shù)：A +sA ,s 1 x .x e dx0n 次可得到 r (s+1)=s r (s)=s(s-1) r (s-n)因(1) = e xdx =10若 s 為正整數(shù) n+1，則 r (n+2)=(n+1)n .2 r (1)=(n+1) !從上可以看出：(2) .

9、 r函數(shù)是階乘的推廣(x)!(2).如果已知(S)在0<s< 1上的值，那么在其他范圍內(nèi)的函數(shù)值可由它計 算出來，即可做出一個r函數(shù)值表三、r函數(shù)與B函數(shù)之間的關(guān)系n 2B (m,1)m n 2 m 1-B (m,n-1)=1當(dāng)m n為正整數(shù)時，反復(fù)應(yīng)用B函數(shù)的遞推公式可得: 1n 12 0 u2P冷u du，從而又由于B (m,1)=1 m 1 1 ox dx所以 B (m,n)=11 (m 1)!_(n 1)!(m 1)!m 1 m (m 1)! (m n 1)!即B (m，n)=皿如(n m)p、q也有相同的關(guān)系:一般地，對于任何正實數(shù)B (p,q)=(P) (q)(p q)

10、證：對于r函數(shù)，令x=u2,則dx 2udu，于是,xP 1 x .(P)0 x e dx2:y2q1edy/ / A2p 1x2.2q1y2.,R2 p1x2.(P) (q) 4 0 x p e dx 0 y q e y dy=|jm 4 0 x P e dx 令Dr 0, R 0, R，由二重積分化為累次積分計算公式有2p 1 2q 1 xDre(" y2)d = x2Pjlx Ry2q0 0丿(P)(q)lRm4Dx2p1y2q1e(x2 y2)dR2p 1=4 X yD2q 1e & y2)d .(4)這里D為平面上第一象限部分。下面討論（4）式右邊的反常二重積分。記

11、 Dr( x, y) | x2 y2 r2, x0,y 02 2于是有(P)(q) 4 x2p 1y2q1ey )dD對上式右邊積分應(yīng)用極坐標(biāo)變換，則可得r(P) (q) lim 4 02d 0r2(pq)2(cos )2p 1(sin )2qr1e r2rdr= lim202(cos )2P 1(sin )2q1d20rr2(p q)Hedrr=2 (cos )2p 1(sin )2q 1d ?r (p+q)再由B函數(shù)其他形式(a)就得到(P)(q) B(P,q) r (p+q)四、在計算積分之中的應(yīng)用1、積分值計算：1 I例 1、 Vx x2dx011 一解：原式=x2 (10 1x)2d

12、x331 - 1 - 1 x2 (1 x)2 dx 0(!，!)2 2(|)1 (1)2(3) = 2參考文獻(xiàn)：【1】、【2】、3】、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系， 數(shù)學(xué)分析 M ， （上，下冊 ）北京：高等教育出版社 2007 李鐵木 編著分析提綱與命題證明 M ，（第二冊）北京：宇航出版社， 1986 費(fèi)定輝，周學(xué)圣等，吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解（五） M ，濟(jì)南：山東科 學(xué)技術(shù)出版社， 1999【4】 裴禮文 . 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 M . 北京: 高等教育出版社 , 1993.【5】r . M.菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程M.北京：高等教育出版 社,1986.Solving definite integral calculation by using Euler integralWang Qing -GuoAbstract : In this paper, aiming at solving some very difficult definite integral calculation problems ,these problems are transformed into Euler integral through certain transformation at first ,then these problems are solve