含絕對值的導數(shù)題

1、1.已知函數(shù)f xIn X X（1）求函數(shù)g X1的極值;（2）求函數(shù)h Xa a為實常數(shù)的單調(diào)區(qū)間;，/、11 Xg (x)= X1 =,當 0< x< 1 時，g ' (x)> 0;當 x> 1 時，g (x)< 0, 可得g (x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+s)上單調(diào)遞減, 故g (X)有極大值為g (1) = 0,無極小值.(2) h (x)= lnx + |x a| .解：(1) g (x)= Inx x+ 1,當 aw 0 時，h （X）=Inx + X a,1h' (x)= 1 +->0 恒成立，此時 h (X)在(0,

2、+ s) 上X單調(diào)遞增;當 a>0 時，h （X）lnx+ X a,Inx x+ a,x> a,0 < XV a.當X> a時，h(x)= Inx + X a, h ( x)=1 + 一0恒成立，此時h （乂）在（a,+s）X上單調(diào)遞增;11 一 X當 0<x< a 時，h (x)= Inxx+ a, h(x)= _ 1 =當0< aw 1時，h'（x）> 0恒成立，此時h （x）在（0, a）上單調(diào)遞增; 當 a> 1 時，當 0<x< 1 時 h（x）> 0,當 1wx< a 時 h（x）w 0, 所以h

3、 （幻在（0, 1）上單調(diào)遞增，在（1, a） 上單調(diào)遞減.綜上，當aw 1時，當a > 1時，h （X）的增區(qū)間為（ h （X）增區(qū)間為（0,0 ,+s）,無減區(qū)間；1）, （a,+s）；減區(qū)間為（1, a）.設(shè)a 0，函數(shù)f（x）X2 a|l nx 1|(1)當 a1時,求曲線y f（x）在X1處的切線方程；1,）時,求函數(shù)f（x）的最小值.1.解（1）當a1 時，f（x）X2 |lnx 11令X 1得f2, f所以曲線yf（x）在X1處的切線方程為：X y 1 0。e時，f(X) X2aln X af(X)0恒成立。f(X)在e,yminf (e)e2e時，f(X) X2aln X

4、 1）上增函數(shù)。（2）當X故當X e時,當1 X枷 X 退）（1 X e）f (X) 2X a (X e)f(X) 2xa 2(XX X1,即0 a2時，f（X）在x （1，e）時為正數(shù)，所以f（x）在區(qū)間1,e）上為增函數(shù)。故當X 1時,y min1a，且此時f(1) f(e)1(ii)當2，即2 a 2e時,X f (X)在（1，存時為負數(shù)，在間X存時為正數(shù)。所以上為減函數(shù)，在需e上為增函數(shù)X Ja 故當 "2時,ymin3a2旦In a22,且此時f諺f（e）上為減函數(shù)，故當 X e時，yminf e2 <3綜上所述,當 a 2e2 時，f(x)在 Xe時和12x e時的

5、最小值都是e 。所以此時2f (x)的最小值為f (e)e；當2 a2e2 時，f（x）在 Xe時的最小值為f購)? |ln|fJ|)f(e)222，而V23a a,af (J)f (x)的最小值為' 2一 In所以此時2 22。當0 a2時，在x e時最小值為2 .e ,在1x e時的最小值為f (1)1 af(X)在 X (1,e)而 f(1)時為負數(shù)，所以f（X）在區(qū)間1,ec 22e時,卩e(iii)當'2 ;即 af（e），所以此時f（x）的最小值為f （1）1 aymin3ay所以函數(shù)yf(x)的最小值為1 a,0 a 2a a c c 2 -In ，2 a 2e2

6、 22c 2e ,a 2e已知函數(shù) f1(x)e|x 2a I f2(x)e|x a|若 a 2,求 f (x)f1(x)+f2(x)在 x 2 , 3上的最小值;(II)若X a,)時，f2(x) f1(x),求a的取值范圍;(III)求函數(shù)g(x)fl(x) f2(x)|fl(x) f2(x)|解 ：(1) 因 為f(x) ex 31 e1 x 2 11當且僅當x=2時取等旦 由題意知，當x|x則由在x 1 , 6上的最小值.2且xex 2,2F 2e,3上的最小值為3e,即 |x 2a 1| |x2a對 x a,3, 所 以3eexf (x)在 x|x 2a 1|,所以)時，e號a,1,

7、即 2ax 3a2e2 ,|x a| 1ea|1恒成立所以2a 1| x a2a 02 3a2hi(x) |x (2a 1)|,h2(x) |x a | 1 ,則)恒成立,2a記,得所求a的取值范圍是0 a 2a(2 a-1,0)h1(x),h2(x)的1.象分別是以和(a,1)為頂點開口向上的 V型線，且射線的斜率均為7時，易知g(x)在x 122a 16 ,即 1 a，6的最小值為/I 0/11) e 1當a<1時，可知2a- 1<a,所以(i )當 0(1) h2(1),得 |a 1|r / 2 2af1(1) e(ii )當 hi(1) h2(1),得 |a 1|f2(1)

8、f1(2ae2 a當a2時，因為2a- 1>a，可知2a 1a 1 時，g(x)在 x1，6上的最小值為0 時，g(x)在 x1，6上的最小值為6,70(6)1 ,得 |2a 7| 1 ,即一a 4 時，g(x)在 x21 , 6上的最小值為2a 7e(ii )當h1(6)1且a 6時，即4 a 6 , g(x)在x 1 , 6上的最小值為f1(6)f2(a)e1(iii)當 a 值為 f2(6)e6時，因為h1 (6)ea 5綜上所述,函數(shù)g(x)在x南京三模)14.若不等式| ax32a 7 a 5 h2(6),所以g(x)在x 1 , 6上的最小2 ae2 2ae11 , 6上的最

9、小值為In x| > 1對任意x解答：顯然x 1時，有|a| 1,a1,or,a 1。a 0172e2aeea令 g(x) ax3 In x, g (x)23ax當a 1時，對任意x(0,1，g (x)g(x)min g(1) a1，此時g(x)當a 1時，對任意x(0,1， g (x)rr 1 1| g(x)|的最小值為-V 3a3 3故所求a6.已知函數(shù)(0,1都成立，則實數(shù)a取值范圍是x3ax31x'a,),3 ax31Ix1a) > 1,解得010，g(x)在(0,1上遞減,g(x) |的最小值為0，不適合題意。2e_。3f (x) |ex bx |,其中e為自然對

10、數(shù)的底.(1) 當b 1時，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；(2) 若函數(shù)y=f(x)有且只有一個零點，求實數(shù)b的取值范圍；(3) 當b>0時，判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0, 2)上是否存在極大值，若存在，求出極(圖1)(圖2)如圖2，當b>0時，直線y = bx與y= ex有且只有一個公共點,大值及相應(yīng)實數(shù)b的取值范圍.解：(1 )記 g(x)= ex bx.當 b = 1 時，g (x) = ex 1.當x>0時，g(x)>0,所以g(x)在(0)上為增函數(shù).又 g(0)= 1 > 0,所以當 x (0 ,+s)時，g(x)> 0.所以當 x

11、(0 ,+s )時，f(x)=l g(x) 1= g(x)，所以 f (1) = g (1) = e 1.所以曲線y= f(x)在點(1, e 1)處的切線方程為:y-(e 1)= (e 1)(x 1),即 y = (e 1)x.(沒有說明"在 x= 1附近，f(x)= ex bx”的扣1分)(2)解法一 f(x)= 0同解于g(x) = 0，因此，只需g(x)= 0有且只有一個解.即方程ex bx= 0有且只有一個解.ex因為x=0不滿足方程，所以方程同解于b=7.ex(x一 1)ex令 h(x)=，由 h (x)=x2= 0 得 x= 1 .當 x (1 ,+s )時，h (x)

12、> 0, h(x)單調(diào)遞增，h(x) (e,+s )；當 x (0, 1)時，h(x)v 0, h(x)單調(diào)遞減，h(x) (e,+s )；x所以當x (0，+s)時，方程b =-有且只有一解等價于b = e.x當 x ( s, 0)時，h(x)單調(diào)遞減，且 h(x) ( s, 0),x從而方程b =色有且只有一解等價于 b ( s, 0).x10分綜上所述，b的取值范圍為( s, 0) U e.解法二 f(x) = 0同解于g(x)= 0，因此，只需g(x) = 0有且只有一個解.即方程ex bx= 0有且只有一個解，即 ex = bx有且只有一解.也即曲線y= ex與直線y= bx有

13、且只有一個公共點.y= bx/1O如圖1，當b< 0時，直線Iy= exy = bx與y = ex總是有且只有一個公共點，滿足要求.y 1 r=exy= bx當且僅當直線y= bx與曲線y = ex相切.-0設(shè)切點為(-0, e )，根據(jù)曲線y= e-在-=-0處的切線方程為:-0-0y e = e (- -0).-0把原點(0, 0)代入得-0= 1，所以b = e = e.10分綜上所述，b的取值范圍為(s, 0) u e.(3 )由 g(x) = ex- b= 0,得 x= Inb.g(x)單調(diào)遞減.當 x ( s, Inb)時，g (x)< 0,當 x (lnb,+s )時

14、，g (x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以在x= Inb時，g(x)取極小值g(l nb)= b bl nb= b(1 Inb).當 0< b< e 時，g(lnb) = b blnb= b(1 Inb)> 0，從而當 x R 時，g(x)> 0.所以f(x)=l g(x) 1= g(x)在( g,+g )上無極大值.因此，在x (0, 2)上也無極大值.12分當 b> e 時，g(lnb)v 0.因為 g(0) = 1> 0, g(2lnb) = b2 2blnb= b(b 2lnb) >0,2(令 k(x)= x 2I nx.由 k(x)= 1

15、 - = 0 得 x= 2,從而當 x (2 ,+s )時，k(x)單調(diào)遞增, x又 k(e)= e 2>0，所以當 b>e 時，b 2lnb>0.)所以存在 xi (0, lnb), X2 (Inb, 2lnb)，使得 g(xi)= g(X2)= 0.此時 f(-)=ig(-) 1= -)(-)-；-VXVxX2,所以f(x)在(3 Xi)單調(diào)遞減，在(xi, Inb)上單調(diào)遞增，在(lnb, X2)單調(diào)遞減,14分在(x2 ,+8 )上單調(diào)遞增.所以在x= Inb時，f(x)有極大值.因為x (0, 2).所以，當Inb< 2，即e< bv e2時，f(x)在

16、(0, 2)上有極大值;當Inb>2,即b>e2時，f(x)在(0, 2)上不存在極大值.綜上所述，在區(qū)間(0, 2)上,當0< b< e或b> e2時，函數(shù)y = f(x)不存在極大值；當 e< b< e2 時，函數(shù) y = f(x),在 x= Inb 時取極大值 f(lnb)= b(lnb 1).7.已知函數(shù)f(x)(1)求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間;則 g (X)1所以g(X)在X 1時遞增，則g(X) g(1)0 ,(2)若函數(shù)f (X)有兩個零點X1,x2,(Xi X2)，求證:1x1ax2a2解：(1)由題意，函數(shù)的定義域為 (0,f(X)0時

17、，f(X)X 1 |InXX a I I nx,212x0，函數(shù)f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,f(X)a.X a -1nx?lnx22a, ca X -1nx, 0 X a2若Xa, f(X)若Xa , f(X)綜上,當a0時當a0時，函數(shù)(2)由(1)知，至多只有一個零點，不合題意;1a2x1旦2x2x a0，此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,2x0，此時函數(shù)f(X)單調(diào)遞減,，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)；f(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a)；單調(diào)遞增區(qū)間為(a,當a 0時，函數(shù)f(X)單調(diào)遞增,則必有a 0，此時函數(shù)f(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a)；單調(diào)遞增區(qū)間為(a,10分由 fCI)

18、 a 1l'n110, f(a) 0,a由題意，必須f(a)Ina 0，解得a 1 ,12分得 X1(1,a),而 f (a2)a a Ina(a 1 In a),1時，aIna 0設(shè) g(X)In X , X所以 f(a2) a2 aalna a(a 1 Ina)又 f(a)所以X2(a,a2),綜上，1X1aX216分20.(江蘇省徐州市 已知函數(shù)f (x) x'2011屆高三第一次調(diào)研考試)(本小題滿分16分)(1)若關(guān)于1,g(x) a|x 1|x的方程1 f(x)| g(x)只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍;若當x求函數(shù)顯然，x 1已是該方程的根，從而欲原方程只有一

19、解,即要求方程|x 1|R時，不等式f(x)A g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;h(x) |f(x)| g(x)在區(qū)間2,2上的最大值(直接寫出結(jié)果，不需給出演算步驟).20.【解析】本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)及圖象等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、運 算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊 與一般思想.2(1)方程 l f(x)| g(x)，即 |x 1| a|x 1|，變形得 |x 1|(|x 1| a) 0有且僅有一個等于1的解或無解,結(jié)合圖形得a 0.(2)不等式f(x)A g(x)對x R恒成立，即(x21)> a|x1|(* )對

20、 xR恒成立,當x1時，(* )顯然成立，此時a R ;當xx21a 1時，(* )可變形為以11，令(x)x2 1iT7ix(x1, (x 1),1), (x 1).因為當x 1 時，(X)2，當 x 1 時,(x)所以(X)2，故此時a < 2 .綜合，得所求實數(shù) a的取值范圍是2x ax a 1, (x > 1), x2 ax a 1, ( 1 w x 1),(3)因為 h(x)a 1,即 a當22時,結(jié)合圖形可知h(x)在2,1上遞減，在1,2上遞增,且 h( 2) 3a 3,h(2)a 3，經(jīng)比較，此時h(x)在2,2上的最大值為3a 3.0 < a < 1,

21、即 0 <當 2a w 2時，結(jié)合圖形可知h(x)在2, 1,上遞減，在h | , 1,2上遞增，且 h( 2)3a 3,h(2) a 3h(經(jīng)比較，知此時h(x)在2,2上的最大值為3a 3.當0時，結(jié)合圖形可知h(x)在2,11，1上遞減,在h 2, 1,2上遞增,且 h( 2) 3a 3,h(2) a 3h(|)經(jīng)比較，知此時h(x)在2,2上的最大值為a 3.3 aw 1,即-3 <當 22aa 2X/、 2-時，結(jié)合圖形可知h(x)在 21,自上遞減,|f(x)| g(x) lx2 1| a|x 1|= x ax a 1, (x 1).10 分aa在2,1, 2,2上遞增

22、，且 h( 2) 3a 3 0h(2) a 3 > 0 經(jīng)比較，知此時h(x)在2,2上的最大值為a 3.a ?即 a 3當22時，結(jié)合圖形可知h(x)在2,1上遞減，在1,2上遞增,故此時h(x)在2,2上的最大值為h(1) 0綜上所述，當a > 0時，h(x)在2,2上的最大值為3a 3 ；當3 < a 0時，h(x)在2,2上的最大值為a 3 ；當a 3時，h(x)在2,2上的最大值為0.16分20.（江蘇省鹽城市2011屆高三年級第一次調(diào)研）（本小題滿分16分）2已知函數(shù) f （X） X a|l nx 1| g（x） x|x a| 2 2l n 2,af（X）在區(qū)間1

23、，e上的最大值;f(x)a, X(n )若2（川）對任意X11,范圍.（I ）當a 1時,求函數(shù)20 .解：(I )當 a 11,）恒成立，求 a的取值范圍;）,總存在惟一的X22,），使得f （xJg（X2）成立，求a的取值X 1,e時 f (X) X21inx 1 f(x) 2x -f(1) 1所以f（x）在1,e遞增，所以f （x）max f（e）e2分.4(n)當 X e時，f(x) x a ln xf（X）2xa 0, f(x) 0恒成立,f（x）在e,）上增函數(shù)，故當X e時,yminf(e)e2當1 X e時，f（x）X2 aln Xf(X) 2xjt 1,即 0 a 2 時,f

24、（X）在（1，e）時為正數(shù),所以f （x）在區(qū)間1,e）上為增函數(shù)，故當1 時，y mina，且此時f(1) f(e)e2(ii)當-22e時,f (X)在X（，書）時為負數(shù)，在間屆）所以f（x）在區(qū)間聽2上為減函數(shù),上為增函數(shù)，故當a3a a, aymin 一In ' 2 時，y 222Xf(e)(iii)2 e，即2e時，f(X)在X (1,e)時為負數(shù),所以f(x)在區(qū)間i,e上為減函數(shù),故當 x e 時，yminf(e) e"分 9Ymin3aT綜上所述，函數(shù)y f(x)的最小值為1 a，0 a 2a. a _ c 2 -1 n-，2 a 2e2 22 c 2e，-

25、2e所以當3-a當2時，得 03-a2 (22e2)時,無解;3 -a2c 2(a 2e)時，得fieV3不成立.綜上，所求a的取值范圍是11(川)當0 a 2 時,g(x)在2,由 g(2)652a 2ln 21 a 得 32-l n2 a 23分12時，g(x)在2,)先減后增，由g (2)2a 22ln 23a2tln2ln 2tint2 2ln2(t l)h(t)2 int 0(12)所以h(t)單調(diào)遞增且h(2)0，所以h(t)0恒成立得22蟲當 2e22 -時，f(X)在'2遞增，在遞減,在a,)遞增,所以由a 3a a a g(2) 3 掄3X Ein? 22 2 22I

26、n 1 20 設(shè) m(t) t2 3t tlnt 22ln 2則 m(t)2t 2 Int20(t (2,e),所以 m(t)遞增，且 m(2)所以m(t)0恒成立，無解.當a22e時,2 X f(x)在'2遞增,在2a遞減，在a,所以由g(|)e22ln 20無解.綜上，所求a的取值范圍是532-I n2,4)3分1622.已知函數(shù) f(x)= Inx(x> 0).(1)求函數(shù)g (x) = f (x) x+ 1的極值；*(2)求函數(shù)h(x)= f (x)+ | x a|( a為實常數(shù))的單調(diào)區(qū)間；*(3)若不等式(x 當0v aw 1時，h'(x)>0恒成立，此

27、時h(x)在(0, a)上單調(diào)遞增;當 a> 1 時，當 0V XV 1 時 h'(x)> 0，當 1 w xv a 時 h'(x)w 0, 所以h(x)在(0, 1)上單調(diào)遞增，在(1, a)上單調(diào)遞減.綜上，當aw 1時，h(x)的增區(qū)間為(0,+8 )，無減區(qū)間； 1)f (x)> k(x 1)2對一切正實數(shù)x恒成立，求實數(shù) k的取值范圍.1 1 一 解：(1)g (x)= Inxx+ 1, g'(x) = - 1 =, 當 0V xV1 時，g'(x)> 0;當 x> 1 時，g'(x) v 0,可得g (x)在(0

28、,1)上單調(diào)遞增，在(1 ,+8 )上單調(diào)遞減，故g(X)有極大值為g (1)= 0，無極小值.(2)h(x)= lnx+ I X a| .1當 aw 0 時，h(x) = lnx+ x a, h'(x)= 1 + ->0恒成立，此時 h(x)在(0)上單調(diào)遞增;xelnx+ x a, x > a,當 a> 0 時，h(x) = inx x+ a, 0v xv a.1當x> a時，h(x)= lnx+ x a, h'(x) = 1 + ->0恒成立，此時h(x)在(a,+s )上單調(diào)遞增;入當a > 1時，h(x)增區(qū)間為(0, 1), (a

29、 ,+s )；減區(qū)間為(1, a).不等式(x2 1)f (x)> k(x1)2對一切正實數(shù)x恒成立，即(x2 1)1 nx > k(x 1)2對一切正實數(shù)x恒成立.當 0V XV 1 時，x2 1 < 0; InXV 0，貝U (x21)1 nx> 0;當 x> 1 時，x2 1 >0; InxA 0，則(x2 1)lnx> 0.因此當x> 0時，(x2 1)lnxA 0恒成立.又當 kw 0 時，k(x1)2< 0,故當 kw 0 時，(x2 1)lnxA k(x 1)2 恒成立. 下面討論k>0的情形.當 x>0 且 XM1 時，(x2 1)lnx k(x1)2= (x2 1)lnx k(x1). X I 1沁k(x 1)1