1-9.極限的計算---兩個重要極限

1、模塊基本信息一級模塊名稱函數(shù)與極限二級模塊名稱計算模塊三級模塊名稱極限的計算-兩個重要極限模塊編號1-9先行知識極限的計算-常用計算方法模塊編號1-8知識內容教學要求掌握程度1、兩個重要極限的證明1、理解兩個重要極限一般掌握2、lim sin X型極限的計算（第一個重要極限公X 0 X式）2、熟練掌握簡單的利用兩個 重要極限公式求函數(shù)的極限3、|im（11）X型極限的計算（第二重要極限公XX式）3、一般掌握較復雜的利用兩 個重要極限求函數(shù)的極限能力目標1、培養(yǎng)學生的計算能力2、培養(yǎng)學生對知識的歸納能力時間分配45分鐘編撰陳亮1校對王清玲審核1危子青修訂熊文婷二審危子青一、正文編寫思路及特點：思

2、路：通過對兩個重要極限的特點分析，及例題層層遞進的訓練。讓 學生能夠靈活運用兩個重要極限求解相關函數(shù)的極限。特點：以兩個重要極限的基本模型為基礎，對類似的兩個重要極限進 行轉換計算，讓學生在對同類型的極限進行計算過程中， 掌握利用兩 個重要極限進行相關計算。二、授課部分（一）預備知識0型極限的計算（二）新課講授1無窮小的定義定義:如果當X Xo （或X）時，函數(shù)f X的極限為零，那么函數(shù)f就稱為X Xo （或X）時的無窮小量（簡稱f X為無窮?。?。引例lim沁X 0 X（說明:當X 0時，sinx, X均為無窮小量.）2、（第一個重要極限）lim1X 0 X（選講）I證明思路：函數(shù)的夾逼準則由

3、于lim sin X為0型極限，之前我們有因式分解法，而對于x 0 x 0xm0s 顯然無法利用因式分解法進行求解,x所以我們利用如下解法。首先注意到函數(shù)沁對于一切xx0都有定義如右圖，圖中的圓為單位圓BC 0ADAOA 圓心角 A0B X (0 x -)顯然sin xCBx AB tan xAD因S AOB S 扇形 AOB S AOD所以Isin x2sin x-x 丄tan x2 2x tan x不等號各邊都除以sin x就有1亠sin Xcosx 或cosx 沁 1x注意：此不等式當"2x 0時也成立而 lim cosx 1x 0根據(jù)夾逼準則得lim 沁 1.x 0 x使用說

4、明在極限lim中只要（x）是無窮小就有l(wèi)im 氾31(X), sin3x例1 求Imx 0 xsin3x廠 sin3xc解 lim lim 3 3x 0 xx 0 3x（一級）tanx例2求xm(一級)x，一 tanx . sin X 1sinx .1.解 lim limlim lim1X 0 X X 0 X cosx X 0 X X 0 cosx例 3 求 lim 1 cosxX 0X2（二級）解 lim1 sxX 0 X22si n2? lim 一廠2 X 0 X2；"21” 2X 0 (|)2（選講）例4求limX解:sin 2xsin 3x則（三級）limX沁lim泌sin

5、3x t 0 sin 3( t)sin 2tsin 3t3、（第二個重要極限）lim（1X考慮特殊情況lim （1丄）nn n（1 1）n的取值的表格如下：n丄)XXe .對n取不同正整數(shù)，可得數(shù)列n123102030100(1 1)nn29464272.5942.6532.6582.705（注：表格中算出的值均為無理數(shù)） 根據(jù)上述的表格，可得以下結論：數(shù)列（1數(shù)列（1數(shù)列（11）"單調、有界；n的極限存在；n1）n的極限為無理數(shù).n使用說明：在極限lim111（x）中只要（X）是無窮小（1型極限），就有l(wèi)im1（X）丄)nn解令t=n,則n1 lim(1 -)n n n例5求lim

6、 (1n（一級）lim(1t于是或nim (1n)nnlim(1 丄)心 lim(1 -±) n 1 nnnn1例 6 求!im(1 x)x（一級）于是1X)Xlim (1注：lim (1 x)x e 為 lim (1X 0X丄)XXe的等價形式.7 求 lim(1X2x2（二級）令t X2于是lim (1X宀2x2tim (11t)2(t 1)lim(12(t 1)1)廠2(tlim e t1）（選講）例8求|im（1X 02sin x)x（三級）lim (1解：X 02sin x)xlim(1 (X 0sin X)12s in Xsi nx X|Xmo(11 2sinx(sin注：例6、例7和例8中的函數(shù)均為幕指函數(shù),f（x）嚴幕指函數(shù)形如.若 lim f (X) A O,limg(x) B，則 lim f(x)g(X) AB.三、能力反饋部分(一)第一個重要極限sin 5xlimX 0 X lim Jsi n xX o'xcos4xlimX 0X2（一級）xsin -) X（一級）（二級）Xlim （1X）tan 竺X 02（二）第二個重要極限(