第7講不定積分

1、第8講不定積分 內(nèi)容精要1.原函數(shù)：設(shè)f(X)在I上連續(xù)，如果存在一個F(x)，使得F (X)= f(X)或者dF(x) = f(x)dx，則稱F(x)為f (x)的一個原函數(shù)。注意：存在性：連續(xù)函數(shù)存在原函數(shù)，且連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)也是連續(xù)函數(shù);無窮多性：如果F(x)是f (x)的一個原函數(shù)，那么F(x)+c仍是f(x)的原函數(shù)。2.不定積分：如果F(x)是f (x)的一個原函數(shù)，則稱F(x)+c是f (x)的不定積分，用記號Jf(x)dx表示。即 Jf(x)dx = F(x) +C 3.積分與微分的關(guān)系 d J f (x)dx = f (x) dx ； 2(ff(x)dx) = f(x); d

2、x JF (x)dx=F(x) +C ； JdF(x)=F(x)+C。4. 不定積分的性質(zhì)Jkf (x)dx = k J f (x)dx ； Jf(X)+ g(x)dx = Jf (x)dx+ Jg(x)dx 5. 基本積分表Jkdx =kx+C=十 +C,(a H -1)ot +11J-dx =ln x+C XXJaXdX 孟 +CJsin xdx =cosx + CJcosxdx = s in x + C2Jsec xdx =tanx +C2Jcsc xdx =-cotx+CJ secxta n xdx = secx + CJ cscx cot xdx = - cot X + C1f2 d

3、x = arcta n x + C1+x I . dx =arcsin x+C6. 第一換元法 若被積函數(shù)f(x)可以寫成g(x)(x)，則Jf (x)dx = Jg(W(x)Q(x)dx令 jg(u)du 筍X)= G(u)+cu現(xiàn))第一類換元法主要用于Jf(x)dx不易計(jì)算，而Jg(x)d(x) = Jg(u)du容易求出的情 形。7.第二類換元法設(shè) X =(t)單調(diào)可微，且 0(t) H0，若 Jf h(t)4(t)dt =F(t) + C，則Jf(x)dx = F第二類換元法主要用于J f (x)dx不易計(jì)算，而J f (x)(t)dt = Jh(t)dt容易求出的情形。8.分部積分法

4、Judv =uv - fvdu9.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分，關(guān)鍵是將真分式分解成幾個部分分式之和，首先要正確地寫出部分分式的形式，然后確定系數(shù)，應(yīng)該注意：分母分解成一次因式與二次質(zhì)因式的乘積后，若分母中含有因子k(x+a)，則部分分式中應(yīng)有k項(xiàng)A1+A2+ Ak(x+ a)k (x+ a)2x + a若分母中含有因子(x? + px +q)s，則部分分式中應(yīng)有 s項(xiàng)M1X + N1 十 M2X + N2 十+ Msx + Ns (X2 + px+q)s (X2 + px+q)sx2 + px+q10.三角有理函數(shù)的積分由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之三角有理函數(shù).一般記為R

5、(sin x,cos x)x令tan-,x曲如u，則有o2u1 usin x= , cosx = , dx1+u21+u2=du1+u2fR(si nx,cosx)dx=.11+u1-u2 ”1 +u2 丿典型例題題型1 ：有關(guān)不定積分概念及性質(zhì)的命題例1 ：設(shè)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)為sin(2x+1)，則 f x)=()(A) 2cos(2x+l)(B) 2cos(2x+1)解：由題意可知sin(2x+1)= f(X)，即 f(X)=2cos(2x+1)所以 f(X)=/sin(2x+1)，故選 D。例2:設(shè)函數(shù)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則f(3x)dx等于()(A) 3f(X) +C1(B)

6、3 f(3xC(D) 3f (3x)(C) f(3x)+C1 1解：Jf (3x)dx = - Jf (3x)d(3x) =- f (3x) +C，故選 B.33題型2 :分段函數(shù)不定積分的計(jì)算11 Ovx 1例 1:設(shè) f(l nx)=，及 f(0)=1,求 f(x).X, X a11 t 0解：設(shè)|nx=t,x于是原式變?yōu)?和，二0 所以，當(dāng) t0時，f (t) = Jf(t)dt = Jddt =6 +C2.由于f (t )= Jf t dt = jddt =6 +C2在(w,兄)內(nèi)連續(xù)(包括t=0)，所以其原函數(shù)f (x)在(Y,P)內(nèi)存在且連續(xù)，由f(x)在t=0連續(xù),有im f二！

7、im f(t)二f(0)，而f(0)=1，例1:設(shè)F(x)是f (X)的一個原函數(shù)，則Jcosxf (sin x)dx=()(A) F(x)+C(B)F(sin X)+C(C) -F(x)+C(D)-F(si nx)+C即得C1 =1 +C2 =1.故得C1 =1,C2 =0.所以lx +1 , X f(x)門 X 、題型3:利用第一換元法計(jì)算不定積分,x0時,有2 -Xdx12a213a2心H+c當(dāng)X co時,有相同的結(jié)果。dx例2 :求不定積分f dXx2Jx2 -4解:令x=l,當(dāng)心時，”1dxJR4x(V)原理:反三角函數(shù)的代換 令反三角函數(shù)為t被積函數(shù)f (x)含有arctanx，又

8、含有 一11 +X2,則令 arctanx =t ,從而 x= tant ;被積函數(shù)f (x)含有arcsinx，又含有=，則令arcsinx=t，從而x=sint ；求不定積分rarcsin x dx解：令 arcsinx =t ，貝U x =sint，于是x2 J1 -x2arcsin x dcostdt = ft esc 2題型5:利用分部積分法求不定積分 tdtsin tcost=-Jtd(cott) = -(tcott Jcottdt) = tcott +ln sint +Carcs in x +ln x +C例2 :求不定積分fx2 arctan xdx.X2 +1解：令 arct

9、anx =t ，貝U x =tant，于是x2arctanXdx2ta n2t +1X2 +1tdt = Jt tan 2tdt2=Jt(sec t -1)dt2tJtsec tdt Jtdt = Jtd(tant)2t2= ttant-伽tdt-2(I)直接利用分部積分u，其余為dv ；u，其余為dv ；u，其余為dv ；選取反三角函數(shù)為 u，其余為dv ；當(dāng)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之積時,u,v選取任意，且要用兩次分部積分公式。對象：當(dāng)被積函數(shù)為幕函數(shù)與三角函數(shù)之積時，選取幕函數(shù)為 當(dāng)被積函數(shù)為幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積時，選取幕函數(shù)為 當(dāng)被積函數(shù)為幕函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之積時，選取對數(shù)函數(shù)為 當(dāng)

10、被積函數(shù)為幕函數(shù)與反三角函數(shù)之積時，2例1:求不定積分Jxtan2 xdx2 2 2 1 2解：fxtan xdx = J(xsec X-x)dx = Jxsec xdxX,12,_i12=Jxd(tanxx =xtan x - Jtanxdx-x1 2= xta nx + l nlcosxl-x +C例2 :求不定積分Jxedx 解：Jxedx = - fxde = -xe+ Jedx = -xe一 Jedx)=一xe一e+C = -(X +1)e+CI 3求不定積分J巴Jdx、x解:獸 dx =-In 3xd(1-l n3x + 34l n2xdxX，XX，11=-In3X-3JIn 2x

11、d(-)=-XX1 . 31,33, -ln x lnx x=ln3 X -3ln2 X -6 Jln xd(1)xxX=-丄1 n3x-3ln2x-6ln x+6f2dxXXX X1 . 33.26.6 ,.=一一In X-ln x-|nx-+CXX=-(ln3 x + 3ln2Xx+ 6ln x+6) +Cx+6f丄In xdx x求不定積分 J (arcsi nx)2dxdx1 解: f(arcsin x)2dx =x(arcsin x)2 - fx 2arcsin x-xV1= x(arcsin x)2+ 2 farcsin xd Ji -x2= x(arcsin x)2+ 2 / X

12、2 arcsin x - 2 J 丿1 -x1J1 -X2dx= x(arcsin x)2= x(arcsin x)2+ 2 Ji x2 arcsin x - 2 Jdx + 2 Ji -x2 arcsin x -2x +C例5:求不定積分 Jxarctanxdx.解 Jxarctanxdx= Jarctanxdx2=arcta nx-1 fdx22T +x2x21 f=arctanx - f M -22、Iijdx2 .x , X 1=a r ct axn- + 2 2ar (xaCn例6 :求不定積分e2? dx解：Je%in2dxJs吟尹-丄 ex sin - +1 fe二X 丄 cos

13、-dx2 2 2 2 21 lx.X 1esi n-2 21 2x.Xesin-2 21 .Xesin-2 2_丄 fcos-dex8 21x一一 e cos-821 e8-2xx cos-21_2x 1 x ,+一 fe (- s in-)dx8 2 21 rlx x . -fe sin -dx16 2一1尹c(diǎn)os2+C1.上屮sinxdx丄ernZ16 2 2 2(n)換元法與分部積分法的結(jié)合 例1 ：求不定積分 Jedx解：令 奴=t ,則 X =t3,dx=3t2dtje酥dx =3 Jtdt =3 det-6 Jtddt= 3t2e6 ftdet =3t2et -6te6 fetdt

14、 =3 qd +6+C =須化2 -2t +2) +C =3e 衣(疔-2仮 + 2) +C例2:求不定積分 jcos(lnx)dx解：令 Inx=t,則 X =et,dx =etdt,fcos(ln x)dx = Jet costdt = Jcostdeet cost + Je sintdt=et cost + Jsin td d =cost sint - fet costdt =x cos(l n X)+ xs in (l n x) - fcos(l n x)dxx心0s(lnx)dx=2cos(lnx)+sin(ln x)+C例3 :求不定積分令普dx解：先作變換，令arcsinx =t

15、，則x =sint，于是arcs in x , dxx2 7r7fJcostdt = ft csc2 tdtsi n2tcost-ft d c 0 tt - t( c o 卜 ctodtt )斗cott + ln stn+CIarcsixnx(川)分部積分的雜例例1：求不定積分farcsdx.X解dx = _2 farcsin Vxd J1-x-X= -2/1 -x arcs in 仮中 2 J-xdarcs in 奴=-2Jl -x arcsin 坂 + f-dx vx=-2-x arcsin 仮中 2 V?中 C例2 :求不定積分庁乎dx.xarctanxdx=farcta nxd+x2+

16、 x2=J1 +x2 arctanx - J _ dxTvkX=J1 +x2 arctanx - f dx1+x2=Jl +x2 arctanx In(x + Jl +x2) +C例3 :求不定積分X2 arctan x , dx.X2 +1f X=x arctan x - 1 +x2dx - Jarctanxd(arctan x)解x2a嚴(yán)n Xdx “arctan xdx-00 dxX2 +1、一-、 X +11 2 1 2=Xarctan x 一 In(1 + x ) (arctan x) + C2 2例4：求不定積分Jxf (x)dx解：Jxf 7x)dx = fxd( f (x) =

17、xf(X)- J f (x)dx = xf (x) - f (x) +Csin X例5：設(shè)叱為f(x)的一個原函數(shù)，求不定積分Jxf (x)dxX.解：由已知得 f f (x)d =-si +C X所以有 f(xHXcOssinXx2又因?yàn)?Jxf (x)dx = Jxd(f(X) =xf(x) - J f (x)dxxc c 9(- sin s ixnC例6：設(shè)函數(shù)f (x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算不定積分f f(X)+ f (x)sin xdx解：J f (x) + f (x)sin xdx = J f (x)sin xdx + J f (x)sin xdx=ff( x) si txdJsi

18、 nxd (f (x =f f ( x) s i rxdx f (伙)s+iX f (x ) ccxdx = Jf(x)sin(d 丈f(x) si nX c cxd f x= Jf(x)sirxdx f(x) si nxf (x ) Coxs f x ) sXdx C=f( X)”s i nx - f (X ) c oxS C題型6:有理分式函數(shù)的積分dx例1:求不定積分 f2一2(x+1) (X +1)解：這是有理函數(shù)的積分，先把被積函數(shù)分解成部分分式之和，設(shè)A + B + Cx + D(X +1)2(x2 +1) (x+1)2 x+1X2+1(*)有 1 = A(x2 +1) +B(x

19、+1)(x2 +1) +(Cx +D)(x +1)21令x = -1，解得A =-2令 X = 0，得 A + B + D = 1（* ）式兩邊對x求導(dǎo)得0 =2Ax + B(x2 +1) + 2Bx(x +1) +C(x +1)2 +2(Cx + D)(x +1)令 x = 0，得 B +C + 2D =0 令 x = -1，得-2A + 2B =0 由(1)、( 2)、(3)、(4)解得11A = B = , C = 一，D = 02因此f_(A+B)x2 +(B +C A)x +(A+C)3-(x+1)2(x2 +1)dx,1+ld X +12 x+1 丄 ld(X+1)2 4X2 +1

20、-d(x2 +1)+c2 2(x+1)+C1例2 :求不定積分Jx石dx12Bx + C 2+1 (x+1)(x2-x+1)亠+2x+1 X x + 1x3+1X3 +1從而于是A + B =0B+C -A=0A + C = 1解得aJ3B = 133x-2 13(x+1) 3(x2 x+1 )1 dx 1 2x1 =23 x+1 6 XIdxx+iT11=-l n|x+1 -ln36(x+1)2 + -x+1 Ta2丄.x -x+1dx(x) + 24亠 1+ 2x-1+arctan=- +CV3V31 arcta n2律1 +CV3例3 :求不定積分xfdx3 x -x解:5丄4cX +X -8人r/ 23dx 可(XX -X+ x+12J + x8d+3)dxx -xX丄X丄丄1.cr1.=+ + x+ fdx8f dx3 2x-1x3-xx3 x211111=+ +x + ln|x-1 -81(-丄 +丄亠 +丄 丄)dx3 2x 2x-1 2 x + 132=寧 +牛 +x+8ln|xl -3ln|x_1|-4lnlx+1 +C3 2題型7:三角有理