ch9-3第三講曲面及其方程

1、§7.3曲面及其方程第三講IIV授課題目§7 3 曲面及其方程教學(xué)目的與要求1、理解曲面與方程之間的關(guān)系，會(huì)建立簡(jiǎn)單曲面的方程；2、理解旋轉(zhuǎn)曲面的概念，能建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程；3、理解柱面的概念，掌握柱面方程的特點(diǎn)；4、理解二次曲面的概念，知道二次曲面的方程與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：曲面方程的概念、旋轉(zhuǎn)曲面、柱面。難點(diǎn)：二次曲面的形狀，截痕法，伸縮變形法。講授內(nèi)容一、曲面方程的概念在空間解析幾何中、任何曲面都可以看作點(diǎn)的幾何軌跡 .在這樣的意義下、如果曲面S與三 元方程F(x *y .z)m有下述關(guān)系：(1) 曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(xjrZ)=0；(2

2、) 不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(xy.z)=0r那么、方程F(x、y.z)=0就叫做曲面S的方程、而曲面S就叫做方程F(x、yz)=O的圖形.常見(jiàn)的曲面的方程：1建立球心在點(diǎn) Mo(xo、yo.zo)、半徑為R的球面的方程. 設(shè)M(Xry、z)是球面上的任一點(diǎn)、那么|MoM|=R.J(x-Xo)2t(y-yo)2 4(z-Z0)2 =R *2 2 2 2(X 以o)科y-yo)丸zzo) =R .這就是球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程.而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程.所以2 2 2 2 (xfo)十(y-yo)丸z-zo) =R .就是球心在點(diǎn) Mo(xoyo、zo)、半徑為R的

3、球面的方程.特殊地、球心在原點(diǎn)O(oQ、o)、半徑為R的球面的方程為X2 為2 七2 =R2 .例2 設(shè)有點(diǎn)A(1 .2、3)和B(21 4)、求線段AB的垂直平分面的方程.解 由題意知道、所求的平面就是與 A和B等距離的點(diǎn)的幾何軌跡.設(shè)M(x* y *z)為所求平 面上的任一點(diǎn) '則有1§7.3曲面及其方程AM |=|BM |、J(x 1)2 +(y 利zd)2 = J(x_2)2 +(y +1)2 +(z4)2 .等式兩邊平方，然后化簡(jiǎn)得2x-6y 也z7=0.這就是所求平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程，而不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程以這個(gè)方程就是所求平面的方程.以

4、上表明作為點(diǎn)的幾何軌跡的曲面可以用它的點(diǎn)的坐標(biāo)間的方程來(lái)表示，反之，變量'所X、y和z間的方程通常表示一個(gè)曲面。因此在空間解析幾何中關(guān)于曲面的研究，有下列兩個(gè)基本問(wèn)題(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)、建立這曲面的方程； 已知坐標(biāo)x、y和z間的一個(gè)方程時(shí)、研究這方程所表示的曲面的形狀2 2 2例3 方程xz -2x+4y=0表示怎樣的曲面?解通過(guò)配方.原方程可以改寫成2 2 2(X1) +(y+2) +z=5.這是一個(gè)球面方程 '球心在點(diǎn)Mo(1 *-2*0)、半徑為R=J5 .一般地 '設(shè)有三兀二次方程2 2 2Ax 協(xié)y 快Z +Dx+Ey節(jié)zg=0,這個(gè)方程的特點(diǎn)

5、是缺xy護(hù)茁各項(xiàng)、而且平方項(xiàng)系數(shù)相同.只要將方程經(jīng)過(guò)配方就可以化成方程(X 如2 +(y -y0)2 +(z -z0)2 =R2 .的形式.它的圖形就是一個(gè)球面.二、旋轉(zhuǎn)曲面以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面 做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.設(shè)在yO z坐標(biāo)面上有一已知曲線C、它的方程為f (y -z) =0 -把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周、就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面.它的方程可以求得如下*這條定直線叫設(shè)M(x .y .Z)為曲面上任一點(diǎn)r它是曲線C上點(diǎn)Mi(0、yi .zi)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的.因 此有如下關(guān)系等式f(yi, zi)=0、zPi、|yi|=Jx2+y2 、從而得f

6、(±Jx2+y2, z)=0 -§7.3曲面及其方程這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.在曲線C的方程f(yz)=0中將y改 成± Jx2+y2、便得曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程f(±Jx2+y2, z) =0 .同理*曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為f(y, ±Vx2+z2)=0 .例4直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周、所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面 .兩直線的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn)、兩直線的夾角(Ova <y)叫做圓錐面的半頂角.試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)8O、旋轉(zhuǎn)軸為z軸、半頂角為 的圓錐面的方程. 解在yOz坐標(biāo)面內(nèi)、直線L的方程為z=y

7、cot a、將方程z=ycota中的y改成±Jx2勺2 *就得到所要求的圓錐面的方程z=±Jx2+y2cog .Z2W2 (X%2) r其中 a=cot a .x2例5.將zOx坐標(biāo)面上的雙曲線拿2-務(wù)勻分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周r求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面c2的方程.解繞x軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為xl_y2 + ； a2 c2 八繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為a2 c2這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面三、柱面例6方程x2+y2二R2表示怎樣的曲面？解 方程x2+y2二R2在xOy面上表示圓心在原點(diǎn) O、半徑為R的圓.在空間直角坐標(biāo)系中.這 方程不含豎坐標(biāo) Z*

8、即不論空間點(diǎn)的豎坐標(biāo) z怎樣 '只要它的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y能滿足這方程. 那么這些點(diǎn)就在這曲面上.也就是說(shuō)，過(guò)xOy面上的圓x+yR2,且平行于z軸的直線一定在x24y2祝2表示的曲面上.所以這個(gè)曲面可以看成是由平行于z軸的直線I沿xOy面上的圓叫做它的母線.x2®2釆2移動(dòng)而形成的.這曲面叫做圓柱面 xOy面上的圓x2+y2缶2叫做它的準(zhǔn)線、這平行于z軸 的直線方程X2勺2 =R2表示怎樣的曲面？在空間直角坐標(biāo)系中.過(guò)xOy面上的圓x24y2=R2作平行于z軸的直線I *則直線I上的 點(diǎn)都滿足方程x%yR2，因此直線I 一定在X24y2=R2表示的曲面上.所以這個(gè)曲面可以看

9、成是由 平行于z軸的直線I沿xOy面上的圓x%yR2移動(dòng)而形成的.這曲面叫做圓柱面rXOy面上的圓 x24y2爭(zhēng)2叫做它的準(zhǔn)線、這平行于z軸的直線I叫做它的母線.柱面：平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面、定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線、動(dòng)直線L叫做柱面的母線.上面我們看到、不含z的方程X2為2-R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面、它的母線平行于z軸*它的準(zhǔn)線是xOy面上的圓x24y2=R2.一般地、只含X、y而缺z的方程F(xj)n、在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面、其準(zhǔn)線是xOy面上的曲線 C：F(x.y)=0.例如*方程y2x表示母線平行于z軸的柱面，它的準(zhǔn)線是xOy面

10、上的拋物線y2Px*該柱面 叫做拋物柱面.又如*方程x-y=0表示母線平行于z軸的柱面 '其準(zhǔn)線是xOy面的直線x-y=0*所以它是過(guò) z軸的平面.類似地 '只含X、z而缺y的方程G(XrZ)=0和只含y、z而缺x的方程H(yrZ)=0分別表示母線 平行于y軸和X軸的柱面.例如、方程X遼n表示母線平行于y軸的柱面、其準(zhǔn)線是zOx面上的直線 X-z=0.所以它是 過(guò)y軸的平面.四、二次曲面與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線相類似.我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.把平面叫做一次曲面.?方法之一是用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面、從而了解曲面的立體形狀.這種方法叫怎樣了解三元方程F(x

11、 $n所表示的曲面的形狀呢的平面與曲面相截、考察其交線的形狀.然后加以綜合 做截痕法.研究曲面的另一種方程是伸縮變形法：S沿x軸方向伸縮M咅所得的曲面.設(shè)S是一個(gè)曲面-其方程為F(x耳.z)=0是將曲面顯然、若(X y .Z)忘S、則(hxy、z)忘s'；若(xyz)%；則葉兒y, Z)忘S .因此*對(duì)于任意的(x$*z盧S；有F(土X, y,z)=O '即Fpx, y, z)=0是曲面S'的方程.例如，把圓錐面 X2 +/ =a2z2沿y軸方向伸縮b倍、所得曲面的方程為a2 ,2宀自)22、即討牯9橢圓錐面由方程ol+bl =z2所表示的曲面稱為橢圓錐面圓錐曲面在y軸

12、方向伸縮而得的曲面X2把圓錐面J沿y軸方向伸縮I倍所得曲面稱為橢圓錐面S+.z2以垂直于z軸的平面Z三截此曲面、當(dāng)trn時(shí)得一點(diǎn)(0、0.0)；當(dāng)t丸時(shí)、得平面Z三上的橢圓X22+二 T (at)2 (bt)2當(dāng)t變化時(shí) '上式表示一族長(zhǎng)短軸比例不變的橢圓、當(dāng)|t|從大到小并變?yōu)?時(shí)*這族橢圓從大到小并縮為一點(diǎn).綜合上述討論、可得橢圓錐面的形狀如圖.(2)橢球面由方程X +石=1所表示的曲面稱為橢球面.球面在X軸、y軸或z軸方向伸縮而得的曲面.把為備弋2沿z軸方向伸縮1倍、得旋轉(zhuǎn)橢球面寧+計(jì)；再沿y軸方向伸縮=1x2即得橢球面務(wù)a2(3) 單葉雙曲面由方程M所表示的曲面稱為單葉雙曲面把

13、zOX面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面 學(xué)沿y軸方向伸縮b倍、即得單葉雙曲面fl話-音=1(4) 雙葉雙曲面由方程 備-與-z2=1所表示的曲面稱為雙葉雙曲面.a b c2 2 2把zOx面上的雙曲線聳-今=繞X軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面今2考1寧=1a ca再沿y軸方向伸縮b倍'即得雙葉雙曲面4耳弓=1ca2 b2 c2(5) 橢圓拋物面x2 y2由方程 芻所表示的曲面稱為橢圓拋物面.2,2再沿y軸aa2 b22把zOx面上的拋物線Ot-z繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面2 2方向伸縮b倍、所得曲面叫做橢圓拋物面討b=z(6)雙曲拋物面2 2由方程 芻_爲(wèi)氓所表示的曲面稱為雙曲拋物面.a2 b2雙曲拋物面又稱馬鞍面一t2其項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)為(t, 0,每)當(dāng)t變化時(shí) I的形狀不變位置只作平移a2L為平面y=0上的拋物線此拋物線開(kāi)口朝下用平面xn截此曲面所得截痕I為平面x=t上的拋物線而I的項(xiàng)點(diǎn)的軌跡x2 z存因此 以I為母線 L為準(zhǔn)線 母線I的項(xiàng)點(diǎn)在準(zhǔn)線L上滑動(dòng) 且母線作平行移動(dòng) 這樣得到的曲面便是雙曲拋物