2018版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.1數(shù)列的概念與簡單表示法(一)學(xué)案新人教A版必修5

1、2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.2.理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的 任意一項(xiàng).3.對(duì)于比較簡單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前n項(xiàng)寫出它的通項(xiàng)公式.戸知識(shí)梳理_ 自豐學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的概念1 數(shù)列與數(shù)列的項(xiàng)按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1 項(xiàng)(通常也叫做首項(xiàng))，排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2 項(xiàng)， ，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng).2.數(shù)列的表示方式數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,，an,，簡記為 邊3 .數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)：(1)確定性；(2)可重復(fù)性；

2、(3)有序性.思考 1 數(shù)列的項(xiàng)和它的項(xiàng)數(shù)是否相同？答案 數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念.數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，是一個(gè)函數(shù)值，也就是相當(dāng)于f(n),而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值，相當(dāng)于f(n)中的n.思考 2 數(shù)列 1, 2, 3, 4, 5,數(shù)列 5, 3, 2, 4, 1 與1 , 2, 3, 4, 5有什么區(qū)別？ 答案 數(shù)列 1 , 2,3, 4, 5 和數(shù)列 5, 3, 2 , 4 , 1 為兩個(gè)不同的數(shù)列，因?yàn)槎叩脑仨樞?不同，而集合1 , 2 , 3 , 4 ,5與這兩個(gè)數(shù)列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集 合中的元素具有無序性

3、.知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的分類(1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以將數(shù)列分為兩類：1有窮數(shù)列一一項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.2無窮數(shù)列一一項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列.根據(jù)數(shù)列的每一項(xiàng)隨序號(hào)變化的情況分類：1遞增數(shù)列一一從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列:2遞減數(shù)列一一從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列:3常數(shù)列一一各項(xiàng)相等的數(shù)列;4擺動(dòng)數(shù)列一一從第 2 項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.(3)根據(jù)其他原則，還可將數(shù)列分為有(無)數(shù)列、周期數(shù)列等.思考判斷正誤(1)數(shù)列 1, 2, 3, 4,，2n是無窮數(shù)列( )2（2）由所有的自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列均為遞增數(shù)列（）答案（1）X（2）X解析（1）中的數(shù)列

4、是有窮數(shù)列，共有 2n個(gè)數(shù).中“由自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列”是否遞增，取決于這些自然數(shù)排列的順序，未必全是遞增的，如 2, 1, 3, 4, 5并不是遞增數(shù)列.知識(shí)點(diǎn)三數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè) 數(shù)列的通項(xiàng)公式.思考 1 數(shù)列的通項(xiàng)公式有什么作用？答案（1）可以求得這個(gè)數(shù)列的任一項(xiàng)，即可以根據(jù)通項(xiàng)公式寫出數(shù)列；（2）可以確定這個(gè)數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，還可以知道這個(gè)數(shù)列是遞增（減）數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列，還是常數(shù)列；（3）可以判斷一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng).思考 2 數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=- 58+ 16nn2,則（）A. an是遞增數(shù)列B

5、. an是遞減數(shù)列C. an先增后減，有最大值D. an先減后增，有最小值答案 C解析 易于看出an是關(guān)于n的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為n= 8，故an先增后減，有最大值.戸題型探究題型一數(shù)列的概念與分類例 1（1）下列四個(gè)數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（）D. 1,.2,. 3，21(3a)x3,xw7,*嚏點(diǎn)突破B. sin2nV，sin3nVC. 1,1 1 12，4，8,A.13設(shè)函數(shù)f(x) = 7,數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）499A.(4, 3) B . 4, 3) C . (1 , 3) D . (2 , 3)答案C (2)D解析(1)中，A 是遞減數(shù)列，B 是擺動(dòng)數(shù)列，D 是

6、有窮數(shù)列，故選 C.中，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，要證an遞增，則應(yīng)有3a0,a1,a7=(3a)x73a8=a8 6,解得 2a3，選 D.反思與感悟(1)有窮數(shù)列與無窮數(shù)列： 判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列,數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng)若數(shù)列含有限項(xiàng)，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列.數(shù)列的單調(diào)性：若滿足anan+1,則是遞減數(shù)列;答案(1) (6)(3)(4)(5)(1) (2)(5)題型二觀察法寫數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 例 2 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.2468(1)3,石，35, 63,;只需觀察若滿足an=an+1,則是常數(shù)列；若an與an+1跟蹤訓(xùn)練(1)2 0001(2)0 ,

7、 2,1(3)1 , 2,(4)1 ，(5)1 , 0,(6)3 , 3,， 無窮數(shù)列是， 遞增數(shù)列是,遞減數(shù)列是常數(shù)列是,擺動(dòng)數(shù)列是.(將正確答案的序號(hào)填在橫線上)其中有窮數(shù)列是的大小不確定時(shí)，則是擺動(dòng)數(shù)列.5解(1)分子均為偶數(shù)，分母分別為1X3, 3X5, 5X7, 7X9,是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積.2將分母統(tǒng)一成 2，則數(shù)列變?yōu)?2, 4, 9,126, 25,，其各項(xiàng)的分子為n2, an=號(hào).該數(shù)列的前 4 項(xiàng)的絕對(duì)值與序號(hào)相同，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故an= ( - 1)nn.2n(4)由 9, 99, 999, 9 999，的通項(xiàng)公式可知，所求通項(xiàng)公式為an= -(10 1).反

8、思與感悟(1)用觀察歸納法寫出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律, 具體可參考以下幾個(gè)思路：1先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等.2分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的關(guān)系式.3對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再以(1)k或(1)k+1處理符號(hào).4對(duì)于周期數(shù)列可以考慮拆成幾個(gè)簡單數(shù)列之和的形式或利用周期函數(shù)來解決.(2)熟記一些基本數(shù)列的通項(xiàng)公式，如:1數(shù)列1, 1, 1, 1，的通項(xiàng)公式是an= ( 1)n.2數(shù)列 1, 2, 3, 4，的通項(xiàng)公式是an=n.3數(shù)列 1, 3, 5, 7,的通項(xiàng)公式是an= 2n 1.4數(shù)列 2,

9、4, 6, 8，的通項(xiàng)公式是an= 2n.5數(shù)列 1, 2, 4, 8，的通項(xiàng)公式是an= 2n1.跟蹤訓(xùn)練 2 已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1) 1 , 3, 7, 15, 31,；(2) 4 , 44, 444, 4 444，；解答案不唯一.(1)觀察發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)分別加上1 后，數(shù)列變?yōu)?2, 4, 8, 16, 32,，新數(shù)列的通項(xiàng)為 2n，故原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an= 2n 1.9各項(xiàng)乘 4，變?yōu)?9, 99, 999，各項(xiàng)加上 1 后，數(shù)列變?yōu)?10, 100, 1 000,，新數(shù)列41_42(4)2， 5,2, 11， 7,4.17，；(5)1 , 2, 1 , 2,

10、 1, 2,故an=2n(2n- 1)( 2n+ 1)數(shù)列 1, 4, 9,16,的通項(xiàng)公式是2an=n.12314，39，5136,45725，936,6的通項(xiàng)為 10n，故原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an= 9(10n 1).7(3)所給數(shù)列有這樣幾個(gè)特點(diǎn)：1符號(hào)正、負(fù)相間；2整數(shù)部分構(gòu)成奇數(shù)列；3分母為從 2 開始的自然數(shù)的平方；4分子依次大 1.綜合這些特點(diǎn)寫出表達(dá)式，再化簡即可.由所給的幾項(xiàng)可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=(卜2n1)+(n+1)2/4各分母分別加上 1，數(shù)列又變?yōu)?,(1)計(jì)算a3+a4的值；1120 是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？若是，應(yīng)為第幾項(xiàng)？若不是，說明理由如1解(1)-an=n(

11、n+ 2)，1 1 1 1-a3=嵐=15,a4=4X6=24，1113a3+a4+.1524120一n(n+ 2) = 120,n2+ 2n 120 = 0,n= 10 或n= 12(舍)，1即 120 是數(shù)列 2的第 10 項(xiàng)(5)an=3+ ( 1)nG 或者可寫成分段函數(shù)形式：2Z)an=1,n為奇數(shù)，n N ,2,n為偶數(shù)，n N一.題型三通項(xiàng)公式的應(yīng)用1例 3 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=一-、(nN*)，則所以&=n(n+ 2)所以( 1)小3只2/n2n+ 3n+n 1z2.(n+ 1)(4)數(shù)列的符號(hào)規(guī)律是正、 負(fù)相間， 使各項(xiàng)分子為4,數(shù)列變?yōu)?， 5,8,春，再把4X(

12、1)3n18反思與感悟(1)利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)少與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n, 就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng).(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng);若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng).跟蹤訓(xùn)練 3 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a匸一n2+n+ 110.(1)20 是不是an中的一項(xiàng)？當(dāng)n取何值時(shí)，an= 0?2解(1)令an=-n+n+ 110= 20,即nn 90= 0,.(n+ 9)(n 10) = 0, n= 10 或一 9(舍). 20 是數(shù)列

13、an中的一項(xiàng)，且為數(shù)列an中的第 10 項(xiàng).2令an=n+n+110 = 0,2即nn 110 = 0,(n11)(n+ 10) = 0,n= 11 或n= 10(舍)，當(dāng)n= 11 時(shí)，an= 0.當(dāng)堂檢測1 下列數(shù)列的關(guān)系是()(1)1 , 4, 9, 16, 25; (2)25 , 16, 9, 4, 1 ; (3)9 , 4, 1 , 16 , 25.A. 都是同一個(gè)數(shù)列B. 都不相同C. (1),是同一數(shù)列D. (2) , (3)是同一數(shù)列答案 B解析三個(gè)數(shù)列中的數(shù)字相同，但排列的順序不同，故三個(gè)數(shù)列均不相同.2下列數(shù)列中，是有窮數(shù)列的是()11111(1)1 , 1 , 1 , 1

14、,；(2)6 , 5 , 4 , 3,；(3) 10 , 8 , 6 , 4 , 2 (勺 2 , 2 , 2, 2.A. (2) , (3) B . (2) , (3) , (4)若 120 為數(shù)列an中的項(xiàng)，則1n(n+2)1120，自查自糾9C. (1) , (2),， D .(3), (4)答案 D解析(1) , (2)是無窮數(shù)列， (4)是有窮數(shù)列3.數(shù)列an滿足an+1= &+ 1,則數(shù)列an是()10A.遞增數(shù)列 B .遞減數(shù)列C.常數(shù)列 D .擺動(dòng)數(shù)列答案 A解析 /an+1an= 10,. an為遞增數(shù)列.4數(shù)列i, 5，15,24的一個(gè)通項(xiàng)公式是（2n+n2n+ 1答案 D

15、解析 數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，分母是3, 5, 7, 9,可表示為 2n+ 1，分子可調(diào)整,，、弋十nn（n+ 2）為 1X3, 2X4, 3x5, 4X6,故通項(xiàng)an= （ 1）2n+5 已知數(shù)列 1, .3,：5, 、:7,，、:2n 1,，則 3 .;5 是它的（）A.第 28 項(xiàng) B .第 24 項(xiàng)C.第 23 項(xiàng) D .第 22 項(xiàng)答案 C解析 數(shù)列的通項(xiàng)公式為an= 2n 1.令：2n 1 = 3 ,；5,.n= 23.6.已知數(shù)列an的前 4 項(xiàng)分別為 2, 0, 2, 0,，則下列各式不可以作為數(shù)列an的通項(xiàng)公式的一項(xiàng)是（）A.an=1+(八n+1Bnn1)an=2sin22,n為奇數(shù)C.an=1cosnnD.an=0,n為偶數(shù)答案 Bnn解析 將n= 1, 2, 3, 4 代入各選擇項(xiàng)，驗(yàn)證得an= 2sin 三不能作為通項(xiàng)公式.A.an= ( 1)B.an= ( 1)n2+ 32n1C.an=(1)2(n+ 1) 12n 1D.an= ( 1)n(n+ 2)2n+ 1111.與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)也有三個(gè)性質(zhì):(1) 確定性：一個(gè)數(shù)在不在數(shù)列中，即一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的.(2) 可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù).(3) 有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些“