一元二次方程根的分布練習(xí)及答案

1、一元二次方程根的分布一.一元二次方程根的基本分布一一零分布所謂一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相對(duì)于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就是指這個(gè)二次方程一個(gè)根比零大，一個(gè)根比零小，或者說，這兩個(gè)根 分布在零的兩側(cè)。設(shè)一元二次方程2axbx的兩個(gè)實(shí)根為X1 , X2，且X12b 4ac 0x2?！径ɡ?1 X1X20 （兩個(gè)正根）XiX2X1X2推論:XiX2b2 4ac a 0 f(0) ccab2 4ac 00af(0) c 00圍。求m的取值范分析：依題意有4(m 1)2 2(m 1) m m14m(m1)0< m <1。b24ac【定理21 X1X2XiX

2、2X1X2推論:XiX2b2 4ac0af(0) cb 02b 4ac 00af(0) c 0 b 0由二次函數(shù)圖象易知它的正確性。【例21若2kX 3kX k取值范圍。（k次30的兩根都是負(fù)數(shù),12亠或 k>3）5c【定理3】xi 0 X2 0a3kx k0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)【例3】k在何范圍內(nèi)取值，一元二次方程 kx2 根？分析：依題意有匚3 <o=>o< k<3k【定理4】0 , X2是負(fù)根？分析：由已知k - 3=0,.k=3，代入原方程得3x2+5x=0,另一根為負(fù)。元二次方程的非零分布 設(shè)一元二次方程 ax 數(shù)。則一元二次方程根的bxk分布c 0 (即

3、Xi,k分布a 0）的兩實(shí)根為Xi, X2，且Xi X2。k為常 X2相對(duì)于k的位置）有以下若干定理?！径ɡ?】kXib2af (k)b4ac0【定理2】x1kkX2b2a【定理3】Xi推論1推論2XiXiC 03cJfc)cOX2xaca(a0。b c)【定理5】k1Xik2 Pi X2P2f(ki) f(k2) f(Pi) f(P2)00或00f(ki) f(k2) f(Pi) f(P2)0000此定理可直接由定理4推出，請(qǐng)讀者自證。b204ac【定理6】k1aXiX2 k2 f (ki)f(k2)b204acki00b2aaf(ki)f(k2)k2k1002" k22a0三、例

4、題與練習(xí)【例51已知方程(129 )(12 m 丿4(2 )若一元二次方程0的兩實(shí)根都大于1，求m的取值范圍。(m(m2或 m(3)若一元二次方程1或m2已知方程【例61范圍。(2)已知方程X(12(3)已知方程x2式：改為較小實(shí)根(4)若方程(5)若方程X2求k的取值范圍。mx22晶)mx2 (m1)x1)xx2276)0的兩個(gè)實(shí)根都大于 -1 ,0的兩實(shí)根都小于2 ,求m的取值范圍。求m的取值范圍。(m2)32mx22m(m(k243(k(不可能;k12)2)x 2k 1(丄k22m20有一根大于2,另一根比2小，求m的取值 f)0有一實(shí)根在0和1之間，求m的取值范圍。0的較大實(shí)根在120

5、的兩實(shí)根均在區(qū)間(0和1之間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。1、1 )內(nèi)，求k的取值范圍。(6)已知關(guān)于x的方程(m0的兩根中，一根在2-)31)x2 2mx m20和1之間，另一根在1和2之間,60的兩根為m V7)m47或2且滿足1 ，求m的取值范圍。【例71已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(2) 若方程兩根均在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，求m的范圍.(-1, 0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1, 2)內(nèi)，求m的范圍.本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問題，解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對(duì)于二次函數(shù)性質(zhì)所 具有的意義.技巧與方法：設(shè)出二次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，

6、然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.解：(1)條件說明拋物線 f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(1，0)和(1，2) 內(nèi)，畫出示意圖，得mf (0) 2m 10,mf( 1) 2 0,f (1) 4m 20,mf (2) 6m 50m12R,1 二2，56(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，列不等式組f(0) 0,f(1) 0,0,0 m 1m1練習(xí)：1 于12 '應(yīng)或m 1 應(yīng),0.(這里0< m<1是因?yàn)閷?duì)稱軸x= m應(yīng)在區(qū)間(0 , 1)內(nèi)通過)1. 若方程 4x (m 3)?2x提示：令2x = t轉(zhuǎn)化為關(guān)于2. 若關(guān)于x的方程lg( x 范圍

7、。m 0有兩個(gè)不相同的實(shí)根，求m的取值范圍。t的一元二次方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根。答案：20x) lg(8x6a3)0有唯一的實(shí)根,0< m <1求實(shí)數(shù)a的取值提示：原方程等價(jià)于2x2x20x020x 8x 6a20或 x 012x 6a 30令 f (x) = x2+12x+6a+311(1)若拋物線y = f(x)與x軸相切，有 =144 4(6a+3)=0即a= 2將a =11代入式有 x = 6不滿足式， a豐11 o2 2(2)若拋物線y = f(X)與x軸相交，注意到其對(duì)稱軸 為x= 6,故交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有且僅有一個(gè)滿足式 的充要條件是f( 20)f(0) 0.當(dāng)俚60解得

8、1631ao621丄時(shí)原方程有唯一解。22x +20 x =8 x 6a 3(x< 20 或 x>0)另法：原方程等價(jià)于求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使直線y=8x 2x +20 x ( x< 20或x >0)有且只有問題轉(zhuǎn)化為：6a 3與拋物線y =一個(gè)公共點(diǎn)。雖然兩個(gè)函數(shù)圖像都明確，但在什么條件下它們有且 只有一個(gè)公共點(diǎn)卻不明顯，可將變形為X2+12X+3= 6a( x< 20或x>0)，再在同一坐標(biāo)系中分別也作出拋 物線y = x +12X+3和直線y= 6a ,如圖，顯然當(dāng) 3<11Ay' 163A丨20 Xjy01111d6a w 163即 一 a -時(shí)直線y = 6a與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。 2a)(x b) 2( a < b )，并且a ,3.已知(<A、6f (x) =( x )，則實(shí)數(shù)< a <b <b,、的大小關(guān)系是(B、a <<< bC、, 是方程)a < <b<f(x) =0的兩根< a <<b4.方程 f (x)