第1章--單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)題解(共7頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習(xí) 題1-1一單層房屋結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為題1-1圖所示的模型，房頂質(zhì)量為m，視為一剛性桿；柱子高h(yuǎn)，視為無(wú)質(zhì)量的彈性桿，其抗彎剛度為EJ。求該房屋作水平方向振動(dòng)時(shí)的固有頻率。解：由于兩根桿都是彈性的，可以看作是兩根相同的彈簧的并聯(lián)。題1-1圖等效彈簧系數(shù)為k則 其中為兩根桿的靜形變量，由材料力學(xué)易知= 則 = 設(shè)靜平衡位置水平向右為正方向，則有 所以固有頻率1-2 一均質(zhì)等直桿，長(zhǎng)為 l，重量為W，用兩根長(zhǎng)h的相同的鉛垂線懸掛成水平位置，如題1-2圖所示。試寫(xiě)出此桿繞通過(guò)重心的鉛垂軸作微擺動(dòng)的振動(dòng)微分方程，并求出振動(dòng)固有周期。qFsinaaFhmgqF題1-2圖解：給桿一個(gè)

2、微轉(zhuǎn)角qqha2Fcosamg由動(dòng)量矩定理：其中 1-3求題1-3圖中系統(tǒng)的固有頻率，懸臂梁端點(diǎn)的剛度分別是k1和k3，懸臂梁的質(zhì)量忽略不計(jì)。題1-3圖解：懸臂梁可看成剛度分別為k1和k3的彈簧，因此，k1與k2串聯(lián)，設(shè)總剛度為k1。k1與k3并聯(lián)，設(shè)總剛度為k2。k2與k4串聯(lián)，設(shè)總剛度為k。即為，1-4求題1-4圖所示的階梯軸一圓盤系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率。其中J1、J2和J3是三個(gè)軸段截面的極慣性矩，I是圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，各個(gè)軸段的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不計(jì)，材料剪切彈性模量為G。解：題1-4圖 （1） （2） （3） （4）1-5如題1-5圖所示，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓盤在水平面上可作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，鼓輪繞軸

3、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，忽略繩子的彈性、質(zhì)量及個(gè)軸承間的摩擦力，求此系統(tǒng)的固有頻率。題1-5圖解：此系統(tǒng)是一個(gè)保守系統(tǒng)，能量守恒.如圖題中的廣義坐標(biāo)，設(shè)系統(tǒng)的振動(dòng)方程為：則系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度表達(dá)式為：系統(tǒng)最大位移和速度分別為：系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能表達(dá)式為：彈性勢(shì)能為：系統(tǒng)最大動(dòng)能為：最大彈性勢(shì)能為：由于系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此：由上式可解得系統(tǒng)的固有頻率為：1-6如題1-6圖所示，剛性曲臂繞支點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，求系統(tǒng)的固有頻率。題1-6圖解：設(shè)曲臂順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的角為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為。很小，系統(tǒng)的動(dòng)能為所以， 取系統(tǒng)平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)。設(shè)各彈簧在靜平衡位置伸長(zhǎng)為，由， （A）由題意可

4、知，系統(tǒng)勢(shì)能為（B）將（A）式代入（B）式，可得系統(tǒng)最大勢(shì)能為，由， 得 所以，有1-7一個(gè)有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，質(zhì)量為10 kg，彈簧靜伸長(zhǎng)是1cm，自由振動(dòng)20個(gè)循環(huán)后，振幅從0.64 cm減至0.16cm，求阻尼系數(shù)c。解：振動(dòng)衰減曲線得包絡(luò)方程為：振動(dòng)20個(gè)循環(huán)后，振幅比為：代入,得：又 c = 6.9 N s /m，1-8一長(zhǎng)度為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)剛性桿鉸接于O點(diǎn)并以彈簧和粘性阻尼器支承，如題2-8圖所示。寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和固有頻率的表達(dá)式。OmgjXOYOFKFC題1-8圖解：圖（1）為系統(tǒng)的靜平衡位置，畫(huà)受力圖如（2）。由動(dòng)量矩定理，列系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：當(dāng)

5、npn時(shí)，ccC題1-9圖1-9如題1-9圖所示的系統(tǒng)中，剛桿質(zhì)量不計(jì)，試寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)及固有頻率。解：題1-10圖1-10如題1-10圖所示，質(zhì)量為2000 kg的重物以3 cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，與彈簧及阻尼器相撞后一起作自由振動(dòng)。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，問(wèn)重物在碰撞后多少時(shí)間達(dá)到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系統(tǒng)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為所以有 +x =0 其特征方程為：+r+=0 r =-0.494.875i所以：x =cos4.875t+sin4.875t由于n < pn，由已知條件， m/s。故通解為其中，。代入初始條件，得，得 =0.006sin4.875t=0.006(-0.49) sin4.875t+0.0064.875cos4.875物體達(dá)到最大振幅時(shí)，有既得t = 0.30 s時(shí)，物體最大振幅為 cm1-11由實(shí)驗(yàn)測(cè)得一個(gè)